Clase 6: Movimiento en 2D: Proyectiles
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Transcript Clase 6: Movimiento en 2D: Proyectiles
Física para Ciencias:
Movimiento en 2 dimensiones
Dictado por:
Profesor Aldo Valcarce
1er semestre 2014
FIS109C โ 2: Física para Ciencias
1 er semestre 2014
Definición de posición y velocidad en 2D
La posición de un objeto en 2-D.
y
โ๐
๐๐
๐๐
El vector
desplazamiento es
โ๐ = ๐๐ โ ๐๐ = โ๐ฅ + โ๐ฆ
El vector
velocidad es
โ๐
๐ฃ=
โ๐ก
FIS109C โ 2: Física para Ciencias
โ๐ฅ
๐ฃ๐ฅ =
โ๐ก
Posición
๐๐ = ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐
๐๐ = ๐ฅ๐ + ๐ฆ๐
x
โ๐ฅ = ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐
โ๐ฆ = ๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐
โ๐ฆ
๐ฃ๐ฆ =
โ๐ก
1 er semestre 2014
Movimiento en 2-D: Ejemplo
Un explorador camina 10 km al norte y después 5 km en una dirección de
30° al sur del este. ¿Cuál es su desplazamiento total?
N
30°
๐1
๐2
Si ese desplazamiento fue
realizado en 4 horas ¿Cuál fue la
velocidad promedio?
โ๐
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Definición de velocidad instantánea en 2D
โ๐
๐ฃ = lim
โ๐กโ0 โ๐ก
En la figura la velocidad instantánea
sería representada por la diferencia
entre a) un vector muy cercano al
vector P y b) el vector P, dividido por
el tiempo requerido para hacer ese
desplazamiento.
Se define la rapidez (๐) como la magnitud del vector de velocidad
instantánea.
๐ฃ= ๐ฃ
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๐ฃ=
(๐ฃ๐ฅ,๐ โ ๐ฃ๐ฅ,๐ )2 + (๐ฃ๐ฆ,๐ โ ๐ฃ๐ฆ,๐ )2
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Definición de aceleración en 2D
โ๐ฃ ๐ฃ๐ โ ๐ฃ๐
๐=
=
โ๐ก
๐ก๐ โ ๐ก๐
โ๐ฃ
๐ = lim
โ๐กโ0 โ๐ก
Pueden ocurrir varios cambios cuando un cuerpo se acelera:
1.
La magnitud del vector velocidad (la rapidez ๐ฃ) puede cambiar con ๐ก.
2.
La dirección del vector velocidad puede cambiar con ๐ก, pero su
magnitud (๐ฃ) permanece constante.
3.
La magnitud como la dirección pueden cambiar simultáneamente.
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Velocidad en 2D con aceleración
constante
La velocidad final ๐ฃ๐ de un cuerpo con velocidad inicial ๐ฃ๐ y una
aceleración constante ๐ será:
๐ฃ๐ = ๐ฃ๐ + ๐ × ๐ก
๐ฃ๐ = ๐ฃ๐ฅ,๐ ๐ + ๐ฃ๐ฆ,๐ ๐ + ๐๐ฅ ๐ + ๐๐ฆ ๐ × ๐ก
๐ฃ๐ = ๐ฃ๐ฅ,๐ + ๐๐ฅ × ๐ก ๐ + ๐ฃ๐ฆ,๐ + ๐๐ฆ × ๐ก ๐
Eje x
๐ฃ๐ฅ,๐ = ๐ฃ๐ฅ,๐ + ๐๐ฅ × ๐ก
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Eje y
๐ฃ๐ฆ,๐ = ๐ฃ๐ฆ,๐ + ๐๐ฆ × ๐ก
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Posición en 2D con aceleración
constante
La velocidad final ๐ฃ๐ de un cuerpo con posición inicial ๐๐ , velocidad
inicial ๐ฃ๐ y una aceleración constante ๐ será:
1
๐๐ = ๐๐ + ๐ฃ๐ × ๐ก + ๐ × ๐ก 2
2
1
๐๐ฅ ๐ + ๐๐ฆ ๐ × ๐ก 2
2
1
๐ + ๐ฆ๐ + ๐ฃ๐ฆ,๐ × ๐ก + ๐๐ฆ × ๐ก 2 ๐
2
๐๐ = ๐ฅ๐ ๐ + ๐ฆ๐ ๐ + ๐ฃ๐ฅ,๐ ๐ + ๐ฃ๐ฆ,๐ ๐ × ๐ก +
1
๐๐ = ๐ฅ๐ + ๐ฃ๐ฅ,๐ × ๐ก + ๐๐ฅ × ๐ก 2
2
Eje x
1
๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐ = ๐ฃ๐ฅ,๐ × ๐ก + ๐๐ฅ × ๐ก 2
2
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Eje y
1
๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐ = ๐ฃ๐ฆ,๐ × ๐ก + ๐๐ฆ × ๐ก 2
2
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Ecuaciones de Movimiento en 2D
Eje x
Eje y
1
๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐ = ๐ฃ๐ฅ,๐ + ๐ฃ๐ฅ,๐ × ๐ก
2
1
๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐ = ๐ฃ๐ฆ,๐ + ๐ฃ๐ฆ,๐ × ๐ก
2
๐ฃ๐ฅ,๐ = ๐ฃ๐ฅ,๐ + ๐๐ฅ × ๐ก
๐ฃ๐ฆ,๐ = ๐ฃ๐ฆ,๐ + ๐๐ฆ × ๐ก
1
๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐ = ๐ฃ๐ฅ,๐ × ๐ก + ๐๐ฅ × ๐ก 2
2
1
๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐ = ๐ฃ๐ฆ,๐ × ๐ก + ๐๐ฆ × ๐ก 2
2
๐ฃ๐ฅ,๐ 2 = ๐ฃ๐ฅ,๐ 2 + 2๐๐ฅ ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐
๐ฃ๐ฆ,๐ 2 = ๐ฃ๐ฆ,๐ 2 + 2๐๐ฆ ๐ฆ๐ โ ๐ฆ๐
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Ejemplo: Mov. 2D con ๐ constante
Una partícula parte del origen en ๐ก = 0 con una velocidad inicial que
tiene una componente ๐ฅ de 20 m/s y una componente ๐ฆ de -15 m/s.
La partícula se mueve en el plano ๐ฅ๐ฆ solo con una componente de
aceleración ๐ฅ, dada por ๐๐ฅ = 4,0 m/s2.
a)
Determine las componentes del vector velocidad en cualquier
tiempo y el vector velocidad total en cualquier tiempo ๐ก.
b)
Calcule la velocidad y la rapidez de la partícula en ๐ก=5 s.
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Proyectiles
๏ฌ Movimiento 2-D
๏ฌ Aceleración vertical
๐๐ฆ = โ๐
๏ฌ Aceleración horizontal
๐๐ฅ = 0
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Componentes de ๐ฃ en proyectiles
En este caso, con el sistema de coordenadas que se muestra
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๐ = โ๐ ๐
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Independencia de las componentes
Fotografía de múltiple exposicion que muestra
la posición de dos esferas a intervalos iguales
de tiempo. Una se dejó caer desde una
posición de reposo y la otra se lanzó
horizontalmente.
Se ve que la altura (y por lo tanto el
desplazamiento vertical) de las esferas es la
misma.
El movimiento en la dirección vertical no se
entera de lo que pasa en la dirección
horizontal.
Los movimientos vertical y horizontal son
independientes.
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Componente horizontal no cambia
๐๐ y ๐ฃ๐ฆ son independientes:
๐๐ es constante (๐๐ฅ = 0).
๐ฃ๐ฆ,๐ = ๐ฃ๐ฆ,๐ โ ๐ โ๐ก
๐ = ๐๐ ๐ + ๐๐ ๐
Entonces, la magnitud de ๐ฃ
aumenta y su dirección cambia.
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Proyectiles: Ejemplo 1
2,0 m/s
1,5 m
โx
Una pelota rueda sobre una mesa con velocidad 2,0 m/s. Cae del borde
da la mesa. ¿A qué distancia, โ๐ฅ, de la mesa llega la pelota al suelo?
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Proyectiles: Ejemplo 2
Se lanza una pelota al aire y 5,0 s después llega al suelo a una
distancia horizontal de 30m. ¿Con qué ángulo fue lanzada?
y
a
โx=30 m
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x
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Proyectiles: Ejemplo 3
100 m/s
37°
Se dispara un proyectil desde la orilla de un acantilado de
140 m de altura con una velocidad de 100 m/s a un ángulo
de 37° con la horizontal.
140 m
a) Calcule el alcance โx, del proyectil.
R = 1,14 km
b) Calcule el tiempo que tarda el proyectil en llegar al nivel del acantilado
R = 12,3 s
c) Calcule la rapidez y la dirección de la velocidad final. R: 113 m/s, -45° al horizontal
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Proyectiles: Ejercicio 4
¿Qué ángulo de lanzamiento maximiza el alcance de un proyectil? (se
supone โy =0)
๏ฑ ๏ฝ 45
o
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Resumen
Se definieron los vectores posición ๐, desplazamiento โ๐, velocidad ๐ฃ y
aceleración ๐ en 2 dimensiones.
El movimiento en 2 dimensiones se puede descomponer como si fuese un
vector. La posición está definida como:
1
๐๐ = ๐ฅ๐ + ๐ฃ๐ฅ,๐ × ๐ก + ๐๐ฅ × ๐ก 2
2
1
๐ + ๐ฆ๐ + ๐ฃ๐ฆ,๐ × ๐ก + ๐๐ฆ × ๐ก 2 ๐
2
En el movimiento de proyectiles:
๐๐ es constante (๐๐ฅ = 0).
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๐ฃ๐ฆ,๐ = ๐ฃ๐ฆ,๐ โ ๐ โ๐ก
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