Transcript Clase 4: Ecuaciones de Movimiento

Física para Ciencias:
Ecuaciones de Movimiento
Dictado por:
Profesor Aldo Valcarce
1er semestre 2014
FIS109C – 2: Física para Ciencias
1 er semestre 2014
Resumen clase 3
 Se definieron los conceptos de:
 Posición
𝒙(𝒕)
 Distancia
𝒅
Ubicación de un objeto dependiendo del sistema de
referencia usado y su respectivo origen.
Diferencia entre dos posiciones. Siempre es positiva.
 Desplazamiento ∆𝒙 Diferencia entre la posición final y la posición inicial.
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
Puede ser positiva o negativa indicando la dirección con
respecto al origen, o sea, es un vector.
 Trayectoria
Unión de los puntos del espacio por donde pasa un móvil
puntual. Puede ser rectilínea (sin cambio de dirección) o
curvilínea (en 2 o 3 dimensiones).
 Distancia recorrida
Suma de las distancias individuales de cada trayectoria
rectilínea de un trayecto total.
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1 er semestre 2014
Resumen clase 3
 Cinemática: Movimiento en 1 dimensión:
 Posición con respecto al tiempo.
 Velocidad promedio ( 𝒗 ) e instantánea ( 𝒗𝒙 ).
𝒗=
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝚫𝒙
=
𝚫𝒕
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
 Rapidez: escalar (no tiene signo).
 Aceleración promedio ( 𝑎 ) e instantánea ( 𝑎𝑥 ).
𝒂=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝚫𝒗
=
𝚫𝒕
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
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1 er semestre 2014
Gráficos: Interpretación Matemática
Pendiente
Posición vs Tiempo
Línea tangente a la curva
en un punto (+ o –).
La pendiente de la curva
𝒙 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica el valor
de 𝒗(𝒕).
La pendiente de la curva
𝒗 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica el valor
de 𝒂(𝒕).
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Área
Superficie formada en
un Δt con respecto al eje
de las abscisas (+ o -).
Velocidad vs Tiempo
Aceleración vs Tiempo
El área bajo la curva
𝒗 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica la
variación de 𝒙(𝒕).
El área bajo la curva
𝒂 𝒕 𝒗𝒔 𝒕 indica la
variación de 𝒗(𝒕).
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Pendiente
Está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la
diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta.
Pendiente
Pendiente
∆𝑥(𝑡)
Pendiente
∆𝑡
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝚫𝒙
𝒗=
=
𝚫𝒕
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
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1 er semestre 2014
Pendiente
Está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la
diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta.
Pendiente
𝒗(𝒕)
Pendiente
∆𝑣(𝑡)
∆𝑥(𝑡)
Pendiente
∆𝑡
𝑥
𝚫𝒙
𝑣𝑓 − 𝑥
𝑣𝑖
𝚫𝒗
𝒗=
=
𝒂
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
𝚫𝒕
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Área: 𝑣 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝑠 𝑡
Área de un cuadrado:
A = largo × ancho
𝒗(𝒕)
Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣𝑖 × ∆𝑡 = ∆𝒙
Se puede interpretar usando la ecuación
de velocidad promedio: 𝑣 → 𝑣𝑖
𝚫𝒙
𝒗𝒊𝒗 = 𝚫𝒕 =
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
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𝑣𝑖
∆𝑡
𝑣𝑖 : vel. inicial
𝒕
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Área: 𝒂𝑣 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝑠 𝑡
Área de un cuadrado:
A = largo × ancho
𝒂(𝒕)
𝒗(𝒕)
𝑎𝑖 × ∆𝑡 ==∆𝒙
∆𝒗
Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣
Se puede interpretar usando la ecuación
aceleración promedio: 𝑣𝑎 →
de velocidad
→ 𝑣𝑎𝑖
− 𝑥𝑣𝑖𝑖
𝚫𝒗 𝑥𝑣𝑓𝑓 −
𝚫𝒙
𝒗𝒂𝒊𝒗𝒂 = 𝚫𝒕 = 𝑡 − 𝑡
𝑓𝑓
𝑖𝑖
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𝑎
𝑣𝑖
∆𝑡
𝑎:
𝑣𝑖 :acel.
vel. inicial
cte
𝒕
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Área: 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 con 𝒂 constante
Área de un cuadrado:
A = largo × ancho
Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝑣𝑖 × ∆𝑡
𝒗(𝒕)
𝑣𝑓
𝑣𝑓 : vel. final
𝑣𝑖
𝑣𝑖 : vel. inicial
Área de un triángulo:
A = base × altura / 2
1
Á𝑟𝑒𝑎 2 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 × ∆𝑡
2
Entonces la variación de la posición
∆𝑥 es: Á𝑟𝑒𝑎 1 + Á𝑟𝑒𝑎 2
1
∆𝑥 = 𝑣𝑖 × ∆𝑡 + 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 × ∆𝑡
2
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × ∆𝑡
2
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𝒕
∆𝒕
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Ecuaciones de Movimiento
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡
2
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Asumiendo 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡
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2da ecuación con 𝑎 cte
Usando la ecuación de aceleración promedio
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝚫𝒗
𝒂=
=
𝚫𝒕
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
Se asume 𝑎 = 𝑎
y 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡, o sea:
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝒂=
𝑡
Entonces:
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡
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Ecuaciones de Movimiento
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡
2
Asumiendo 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡
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3ra ecuación con 𝑎 cte
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡
2
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡 × 𝑡
2
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 + 𝑎 × 𝑡 2
2
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Ecuaciones de Movimiento
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡
2
Asumiendo 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 + 𝑎 × 𝑡 2
2
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4ta ecuación con 𝑎 cte
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑓 + 𝑣𝑖 × 𝑡
2
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡=
𝑎
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑓 + 𝑣𝑖 ×
2
𝑎
2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑓 2 −𝑣𝑖 2
𝑣𝑓 2 = 𝑣𝑖 2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
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Ecuaciones de Movimiento
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡
2
Asumiendo 𝑡𝑖 = 0 → ∆𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑡
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 + 𝑎 × 𝑡 2
2
𝑣𝑓 2 = 𝑣𝑖 2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
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Ecuaciones de Movimiento con 𝑎 = 0
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡
2
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 + 𝑎 × 𝑡 2
2
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡
𝑣𝑓 2 = 𝑣𝑖 2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖
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Ejemplo 1:
Si el metro se traslada desde la estación Baquedano a la estación
San Joaquín en 20 min
a) Calcule la velocidad promedio si las estaciones se encuentran
a 8 km de distancia.
b) Si un ciclista se desplaza en promedio 2 m/s ¿cuánto se
demora en recorrer esa misma distancia?
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Ejemplo 2:
Un avión aterriza sobre un portaviones a 63 m/s.
a) ¿Cuál es su aceleración si se detiene en 2,0 s?
b) ¿Cuál es el movimiento del avión mientras se está deteniendo?
c) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡
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Ejemplo 3:
Un atleta corre desde el reposo en una línea recta. En los primeros 10s,
su aceleración es 1,0 m/s² y en los próximos 6s, desacelera a 1.5 m/s²:
a) ¿Cuál es su velocidad después de los primeros 10s?
b) ¿Cuál es su velocidad después de 16s?
c) ¿Cuál es su velocidad promedio?
d) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡
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Ejemplo 4:
Un auto viaja a una rapidez constante de 45 m/s y pasa por un anuncio
detrás del cual se oculta una patrulla de policía. Un segundo después
de que pasa el auto la patrulla parte del anuncio para atraparlo,
acelerando a 3 m/s2.
a) ¿Cuánto demora la patrulla en alcanzar al auto?
b) Realice los gráficos: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣 𝑣𝑠 𝑡, 𝑎 𝑣𝑠 𝑡
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Resumen
 Interpretación matemática de los gráficos:
 Pendiente: 𝑥 𝑣𝑠 𝑡 → 𝑣 y 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 → 𝑎
 Área: 𝑣 𝑣𝑠 𝑡 → ∆𝑥 y 𝑎 𝑣𝑠 𝑡 → ∆𝑣
 Ecuación de movimiento sin aceleración:
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡
 Ecuaciones de movimiento con aceleración constante:
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 × 𝑡
2
1
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑖 × 𝑡 + 𝑎 × 𝑡 2
2
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎 × 𝑡
𝑣𝑓 2 = 𝑣𝑖 2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
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