Chapitre2 Le Codage
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Le codage
Exercice 2.1
Imaginons un ordinateur doté d’une mémoire de 4 bits
Quel est le nombre d’états possibles de la mémoire ?
16 états possibles
Quels sont ces états ?
0000
0100
1000
1100
0001
0101
1001
1101
0010
0110
1010
1110
0011
0111
1011
1111
L’arc-en-ciel
Quel est le nombre de couleurs de l’arc en ciel ?
Réponse 7
Quelles sont les couleurs visibles de l’arc en ciel ?
Rouge
Bleu
Orange
Indigo
Jaune
Violet
Vert
Exercice 2.2
On veut représenter chacune des sept couleurs de
l’arc-en-ciel par un mot, les sept mots devront être
distincts et de même longueur.
Quelle est la longueur minimale de ces mots ?
La longueur minimale doit correspondre au nombre
de lettres du nom de couleur le plus long
Il s’agit de Orange, Indigo et violet, soient six lettres (6)
Exercice 2.3
En France, comme dans d’autre pays de l’UE, le
numéro de la plaque minéralogique est de la forme :
LL CCC LL (où L est une lettre et C un chiffre)
Combien de véhicules ce système
permet-il d’immatriculer ?
Et si le système n’utilisait pas
les lettres I, O et U?
(risque de confusion avec le 1, 0 et V)
Représentation des entiers naturels
Notation décimale à position
45083 = 4x104 + 5x103 + 0x102 + 8x101 + 3x100
10 est appelé la base
La lecture se fait de droite à gauche
Notation binaire à position
101010 = 1x25 + 0x24 + 1x23 + 0x22 + 1x21 +0x20
(101010)2 = (42)10
Les mêmes remarques que pour le décimal
Exercice 2.4
Un horloger excentrique a eu l’idée de fabriquer une
montre sur laquelle l’heure est indiquée par 10 diodes
électroluminescentes appelées 1 h, 2 h, 4 h, 8 h, 1 min,
2 min, 4 min, 8 min, 16 min et 32 min. Pour connaître
l’heure, il suffit d’additionner les valeurs des diodes
allumées.
Quelle heure est-il quand sont allumées les diodes
1 h, 2 h, 4 h, 1 min, 2 min, 8 min, 16 min, et 32 min ?
Quelles sont les diodes allumées à 5 heures 55 minutes ?
La base cinq
Pour écrire un nombre en base 10, on a besoin de
10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9
La base 10 se note 10 dans la base 10
Pour écrire un nombre en base 2, on a besoin de deux
chiffres : 0 et 1
La base 2 se note 10 dans la base 2
Pour écrire un nombre en base 5, on a besoin de
5 chiffres : 0, 1, 2, 3 et 4
La base 5 se note 10 dans la base 5
Étonnant non !
Pas si étonnant que ça
Car une base b quelconque est toujours égale à
1xb1 + 0xb0
10
Exercice 2.5
Trouver la représentation de 47 en base 5
47 = 9 x 5 + 2 = (1 x 5 + 4) x 5 + 2 = (1 x 52) + (4 x 51) + (2 x 50)
(47)10 = (142)5
Sens de lecture des restes
Exercice 2.6
Traduire 944 en base 5
(944)10 = (12234)5
Conversion « inverse »
Étant donné le nombre (401302)5
Quelle est sa valeur en base 10 ?
Calcul :
4x55
+
4x3125 +
12500
+
0x54
+
1x53
+
3x52
+
0x51
+
2x50
0x625
+
1x125
+
3x25
+
0x5
+
2x1
0
+
125
+
75
+
0
+
2
(12702)10
Exercice 2.7
Trouver la représentation en base 10 des nombres
(2341)5 et (400)5
(2341)5 = 2x53 + 3x52 + 4x51 + 1x50 = (346)10
(400)5 = 4x52 + 0x51 + 0x50 = (100)10
Le binaire
Introduction
Quels sont les chiffres utilisés pour la base deux ?
0 et 1
Quel est le principe de numération en base deux ?
Le même que celui de la base dix
Rappel : Les puissances de 10 de droite à gauche
105
104
103
102
101
100
100000
10000
1000 100 10
1
Pour le binaire c’est le même principe
28 27
256 128
26
64
25
32
24
16
23
8
22
4
21
2
20
1
Exercice 2.8
Trouver la représentation en base deux du nombre (11)10
(1 1)10 = (1 0 1 1)2
Exercice 2.9
Trouver la représentation en base 2 des nombres :
1, 3, 7, 15, 31, 63
(1)10 = (1)2
(3)10 = (11)2
(7)10 = (111)2
(15)10 = (1111)2
(31)10 = (11111)2
(63)10 = (111111)2
Expliquer les résultats obtenus
Chacun de ces nombres est égal à la somme des n
premières puissances de 2 (n=0, 1, 2, 3, 4 et 5)
La base 16
Appelée hexadécimal
Les chiffres de l’hexadécimal sont :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, et F
Les mêmes règles de conversion
Tout base
Exercice 2.10
Trouver la représentation en base deux du
nombre (1000)10
Trouver la représentation en base 10 du
nombre (11111111)2
Trouver mentalement les nombres décimaux
correspondant aux nombres binaires suivants :
10010110 10000001
11000000
11110000
Multiplication par la base
Pour multiplier un nombre décimal par 10, on ajoute un
zéro à droite
Exprimer 3, 6, 12 et 24 en base 2 conclure
Recherche sur internet
L’arithmétique des Shadoks
Trouver sur internet le fonctionnement
de l’arithmétique des shadoks
Quel est la base utilisée ?
Quels sont les chiffres de cette base ?
Trouver sur le web une calculatrice binaire,
hexadécimal