Transcript Le codage des nombres en informatique

Le codage des nombres en
informatique
• Vocabulaire
Et Histoire du Codage
• Le binaire
• Les opérations en binaire
• Les différentes bases...
Vers une généralisation
• Le codage des entiers positifs...
Et négatifs
• Le codage des nombres décimaux
Vocabulaire
• Un bit : Il s'agit de la plus petite unité d'information manipulable par
une machine numérique.
• Le poids : C'est la valeur d'un bit. Cette valeur dépend de la position
du bit en partant de la droite, du plus faible au plus fort.
• Un octet : c’est une unité d'information composée de 8 bits. Il permet
par exemple de stocker un caractère, tel qu'une lettre ou un chiffre.
• Une base : C'est une décomposition, qui permet l'écriture d'un
chiffre d'un façon particulière suivant le numéro de la base
Histoire du binaire
Dans la fin des années 30, Claude Shannon,
mathématicien, démontra qu'avec des
interrupteurs, on pouvait effectuer des opérations
logiques en associant le nombre 1 au vrai (fermés)
et 0 au faux (ouvert). Il s'est aidé des travaux de
Boole. A eux deux, ils ont posé les prémices de
l'informatique. En effet, à l'heure actuelle nos
ordinateurs ne sont fait que de "transitors » qui
gèrent l'état 0 ou 1.
Le binaire
Le codage de l'information est
nommé base binaire. C'est avec ce
codage que fonctionnent les
ordinateurs. Il consiste à utiliser
deux états (représentés par les
chiffres 0 et 1) pour coder les
informations. 1 signifie « vrai » et 0
signifie « faux ».
C'est l'application des travaux de
Shannon
Les informations codées
peuvent être des chiffres, mais
aussi des lettres, et même des
phrases.
Opérations dans le binaire
• Addition binaire : L'addition en binaire se fait avec les mêmes règles
qu'en décimale :
On commence à additionner les bits de poids faible (les bits de
droite)
puis on a des retenues lorsque la somme de deux bits de même
poids dépasse la valeur de l'unité la plus grande (dans le cas du
binaire : 1)
cette retenue est alors reportée sur le bit de poids plus fort
suivant...
• Multiplication : La table de multiplication en binaire est très simple :
0*0=0, 0*1=0, 1*0=0, 1*1=1.
• Il faut, pour visualiser simplement, poser les différentes opérations.
Cela permet une meilleure compréhension.
Les différentes bases
• Il existe plusieurs bases : La base 2, la base 8 et la base 16. Le chiffre les
caractérisant indique par quelle puissance un nombre que l'on veut
transposez va être décomposer. Il indique également le nombre de
caractère qui définissent la base : 2 pour la base 2 , le 0 et 1.Et 16 pour la
base hexadécimale.
1101 en base B = 10 :1*10^3 + 1*10^2 + 0*10^1 + 1*10^0 = 1101
577 en base B = 8 :1*8^3 + 1*8^2 + 0*8^1 + 1*8^0 = 1101
13 en base B = 2 :1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 1101
On peut généraliser cela à une base n : en base n, on a besoin de n chiffres,
de zéro à n-1. Et l'on décomposera notre chiffre en puissance de n.
Représentation des entiers positifs
Pour représenter un entier positif en binaire il existe
deux méthodes :
-La méthode des puissances: en utilisant le poids de
chaque bit (présentée ici), et la méthode des
divisions
on décompose notre nombre en différents paquets
correspondant à chaque puissance de 2 (en base 2).
Puis on ajoute les puissances de 2 manquantes.
Et enfin on trouve le nombre en binaire en observant
si il y a ou non la puissance de 2 multipliée par 0 ou 1
-L 2ème méthode est celle des divisions
Pour passer du binaire, au décimal, on procède
comme ceci :
-On compte le nombre de rang du nombre
-On multiplie par 2^n le rang n (0 à droite)
-Enfin on remplace les puissances de 2 par
leurs valeurs et on les ajoute.
26= 16 + 8 + 2
26= 1×16 + 1×8 + 1×2
26= 1×2^4 + 1×2^3 +
1×2^1
26= 1×2^4 + 1×2^3 +
0×2^2 + 1×2^1 +
0×2^0
26= 1×2^4 + 1×2^3 +
0×2^2 + 1×2^1 +
0×2^0
Représentation des entiers négatifs
Les nombres négatifs
Exemple : le nombre 14, codé sur 8 bits est représenté ainsi :
00001110
et (–14) ainsi :
-inversion des bits : 11110001
-ajout d’une unité : 11110010
-résultat : 11110010
Remarque : le résultat intermédiaire, 11110001, est appelé « complément à 1 ».
Faisons la somme de 14 et de (–14), de la même façon que s’il s’agissait d’entiers
positifs : 00001110 + 11110010 = 100000000
Le résultat étant codé sur 8 bits, le 1 situé à gauche n’est pas pris en compte. On
obtient donc 14 + (-14) = 0.
Représentation des nombres
décimaux
• Codage de la base 10 à la base 2
La partie entière se code comme expliqué précédemment: soit grâce aux divisions,
soit grâce aux puissances. La partie décimale se code grâce
à des multiplications (par 2 en base 2). Et si le résultat de la multiplication est >1
ou=1
alors on ajoute un 1 et inversement si le résultat est <1.
Par exemple : 0,125 de base 10 → base 2.
Nombre
Multiplicateur
Résultat
Partie entière
0,125
2
0,250<1
0
0,250
2
0,5<1
0
0,5
2
1=1
1
Réponse: 0.125= 0.001
Représentation des nombres décimaux
Codage de la base 2 à la base 10
Pour passer de la base 2 à la base 10, on utilise la même
technique que pour une nombre sans virgule.
Il suffit simplement de passer avec les exposants négatifs
lorsque l'on passe dans la partie décimale.
Ici par exemple :
8 + 0 + 2 + 0 + ½ + 0 + ¼ = 10,625