Transcript Cyfrowe Przetwarzani..

SEMINARIUM DYPLOMOWE
Autorzy:
Paweł Zajdel
Jakub Kwolek
Wojciech Król
2012
Kolorem czerwonym oznaczone są
odpowiedzi błędne, a kolorem zielonym
odpowiedzi prawidłowe. Odpowiedzi
zaczerpnięte z testu oznaczono *.
Odpowiedź poprawna ponieważ z definicji
za sygnał cyfrowy uważamy sygnał, którego
dziedzina i zbiór wartości są dyskretne.
Pytanie 1
…w połączeniu z kwantyzacją daje sygnał
cyfrowy. *
Nie jest operacją zawsze odwracalną. Próbkowanie jest
odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione
są warunki twierdzenia Shannona.
… zamienia sygnał analogowy na dyskretny.
…polega na zerowaniu sygnału w odpowiednich
miejscach.
…nie ma nic wspólnego z aliasingiem.
Ma, ponieważ aliasing wynika np. z niespełnienia
warunku odpowiednio dużej częstotliwości próbkowania
f p  2 fm
Pytanie 1
… jest operacją zawsze odwracalną.
Aby odtworzyć z próbek sygnał analogowy muszą być
spełnione warunki:
f m  0 takie,
a) Widmo
sygnału
jest
ograniczone
(istnieje
^
że s f   0 dla f  f m .
b) Częstotliwość próbkowania sygnału f p  2 f m .
Nigdy nie można.
Można przy spełnieniu pewnych
warunków.
Pytanie 2
Zawsze można. *
Sygnały o ograniczonym widmie (1 założenie
twierdzenia Shannona) mają nieskończony
czas trwania. I na odwrót: sygnały o
skończonym czasie trwania mają
nieograniczone widmo.
Pytanie 3
…zakłada ograniczone widmo i
dostatecznie drobną dyskretyzację. *
…wymaga nieskończonego czasu trwania
sygnału.
Jeżeli są spełnione następujące warunki:

2
1) nośnik widma sygnału s  L () jest ograniczony,
tzn. istnieje f m  0 takie, że s ( f )  0 dla f  f m ,

{
s
(
n

t
)}
n  sygnału są pobierane w
2) próbki
odstępach czasu ∆t takich, że
1 df
 f p  2 fm
t
to wtedy sygnał s (t ) może być odtworzony z ciągu
próbek za pomocą szeregu:
s(t ) 


n  
s(nt )
sin( (t  nt ) / t )
 (t  nt ) / t
Pytanie 3
Twierdzenie to brzmi następująco:
Teza twierdzenia Shannona „ukazuje”, że sygnał
analogowy może zostać odtworzony z próbek, jeśli
spełnione są pewne warunki.
Pytanie 3
…formułuje podstawy teoretyczne
przetworników cyfrowo-analogowych.
t
Niespełnienie jednego z tych warunków prowadzi
do powstania aliasingu.
Pytanie 4
… jest wynikiem niespełnienia jednego z założeń
twierdzenie Shannona. *
Założenia te to:
1) nośnik widma sygnału jest
ograniczony tzn.

istnieje takie f m  0 , że s( f )  0 dla f  fm
2) próbki sygnału są pobierane w odstępach
df
1
czasu ∆t takich że
 f p  2 fm
Pytanie 4
…usuwa zniekształcenia powstające w wyniku
próbkowania.
… powstaje gdy próbkowany sygnał posiada
częstotliwości wyższe od połowy częstotliwości
próbkowania.
Pytanie 5
… stosowanym przed próbkowaniem. *
Filtr antyaliasingowy eliminuje składowe o
częstotliwości powyżej pewnej określonej
wartości, aby spełnione były założenia
twierdzenia Shannona o próbkowaniu
(pytanie 2)
… pasmowoprzepustowym.
…górnoprzepustowym.
Z-transformata przedstawia się następująco:
df
H ( z) 

n
h
(
n
)
z

n  
wyrażając z we współrzędnych biegunowych, tzn. z  re j
Z-transformacja przybiera postać:
H ( z )  H (re j ) 

j  n
h
(
n
)(
re
) 

n  

 n  jn
h
(
n
)
r
(e )

n  
Gdy r=1 to transformata ta upraszcza się do transformaty
Fouriera.
Pytanie 6
… odpowiada z-transformacie na kole
jednostkowym. *
Pytanie 6
Zatem na płaszczyźnie z, kontur powierzchni H(z) dla
tych wartości, gdzie z  1 jest transformatą Fouriera
ciągu h(n).
Na płaszczyźnie z z  1 jest okręgiem jednostkowym o
środku w punkcie z=0.
Należy zwrócić uwagę na to, że oś częstotliwości
płaszczyzny z jest równoważna zawinięciu osi
częstotliwości j wokół koła jednostkowego na
płaszczyźnie z. Częstotliwość na płaszczyźnie z nie
jest odległością wzdłuż linii prostej, ale kątem
wewnątrz koła i jest ograniczona do zakresu od –π do
π radianów.
Pytanie 6
…wymaga przekształcenia sygnału dyskretnego
na analogowy.
…opiera się na metodzie przybliżonego
wyznaczania całki transformacji Fouriera.
Do analizy częstotliwościowej sygnałów
dyskretnych należy użyć dyskretnej
transformacji Fouriera. Przybliżona metodą
prostokątów całka transformacji Fouriera po
racjonalizacji przyjmuje postać dyskretnej
transformacji Fouriera.
Pytanie 7
… służy do wyliczania widm sygnałów
analogowych. *
Dyskretna transformacja Fouriera (DFT) służy
do wyliczania widm sygnałów dyskretnych.
Do wyliczania widm sygnałów analogowych
służy transformacja Fouriera.
Pytanie 7
…jest wykorzystywana dla analizy
częstotliwościowej sygnałów cyfrowych
…jest przekształceniem liniowym. 

Liniowość DFT tzn. as1 (n)  bs2 (n)  a s1 (k )  b s 2 (k )
bo W (as1  bs2 )  aWs1  bWs2 , gdzie W jest macierzą
przekształcenia.
Dla przypomnienia:
przekształcenie DFT można zapisać macierzowo:

s  Ws
Pytanie 8
…przekształca widmo sygnału dyskretnego
w sygnał w dziedzinie czasu. *
Operacja ta jest przeprowadzana przez odwrotną
DFT (IDFT).
…opiera się na schematach motylkowych.
Na schematach motylkowych oparty jest
algorytm FFT.
…przekształca wektor (może być zespolony)
w wektor (na ogół zespolony).
Wzór operacji DFT:
, gdzie
n 0
2
j
w  e N , zatem wartości wyjściowe są na ogół
zespolone (dla N>2), natomiast wartości
wejściowe to ciąg próbek (które możemy
przedstawić jako liczby zespolone).
Pytanie 8
N 1
sk    sn wkn
^
k , n {0,1,2,..., N  1}
…zależy od maksymalnej częstotliwości
zawartej w sygnale.
Pytanie 9
…jest taka sama jak ilość próbek w dziedzinie
czasu. *
N 1
^
sk    sn wkn ,
Wzór operacji DFT
to:
2
n 0
j
N
gdzie w  e
,
N-ilość próbek,
Pytanie 9
…zależy wyłącznie od gęstości dyskretyzacji w
dziedzinie czasu.
Przy założeniu, że będziemy próbkować sygnał
za każdym razem w tym samym przedziale
czasowym to im większa gęstość
dyskretyzacji tym więsza ilość próbek.
Ilość otrzymanych próbek z sygnału czasowego
jest równa ilości próbek dyskretnego widma.
Macierz przekształcenia DFT ma postać:
 
W  wkn  C NxN
przy czym k jest numerem a n numerem kolumny.
Numeracja rozpoczyna się od 0.
…symetryczna.
Każdy element o indeksie kn jest taki sam jak element
o indeksie nk w macierzy W.
Pytanie 10
…kwadratowa. *
Ponieważ elementy macierzy W powstają przez
podniesienie2do potęgi k*n wartości zespolonej:
j
2
2
N
we
 cos( )  j sin( )
N
N
a jak wiadomo moduł czyli
2
2 2
cos ( )  sin ( )  1
N
N
2
Pytanie 10
…złożona z wartości zespolonych o module
równym 1.
N
4M
 2 N log 2 N
2
Pytanie 11
…wymaga ilości mnożeń proporcjonalnej
do liczby próbek sygnału pomnożonej przez
logarytm z liczby próbek.
M
W FFT ilość próbek to N  2 , ilość poziomów
(etapów) operacji wynosi M. Na każdym
poziomie dokonujemy N/2 operacji
motylkowych, z których każda zawiera 4
operacje mnożenia, zatem ilość mnożeń to:
Pytanie 11
…służy do efektywnego wyliczania wartości
DFT.
…jest przekształceniem całkowym.
Nie, operuje na danych dyskretnych.
Pytanie 12
…oparta jest na schematach motylkowych. *
Algorytm FFT można przedstawić graficznie za
pomocą schematu motylkowego.
…jest wykorzystywana do obliczania widm
sygnałów analogowych.
Jest to sposób liczenia DFT, szybszy od
tradycyjnego.
…została opracowana przez Huffmana.
Została opracowana przez Jamesa Cooley’a i
Johna Tukey’a
Pytanie 13
… teoretycznie daje takie same wyniki jak DFT. *
FFT daje takie same wyniki jak DFT, lecz jest o wiele
efektywniejszym sposobem wyliczania widm sygnałów
dyskretnych, gdyż liczba operacji mnożenia jest
proporcjonalna do iloczynu ilości próbek i logarytmu
z ilości próbek, a liczba mnożeń w DFT jest
proporcjonalna do drugiej ilości liczby próbek.
Przypomnienie:
FFT jest akronimem szybkiej transformacji Fouriera.
Z ang. Fast Fourier Transform.
Pytanie 13
…służy do kompresji widm sygnałów.
… oznacza filtry dolnoprzepustowe.
…oznacza filtrację pasmową.
…jest akronimem ciągłej transformacji Fouriera.
Pytanie 14
…jest filtrem dolnoprzepustowym.
… służy do wyznaczania widma sygnału złożonego
z dwóch próbek.
Dla N=2 próbek mamy tylko jeden poziom w FFT, zatem
wystarczy jedna operacja motylkowa do obliczenia
widma.
s(n)  s1 (n) * s2 (n) 
 s (k ) s (n  k )  s ( z )  s ( z ) s ( z )
k  
1
1
2
wyprowadzenie:


s ( z )    s1 (k ) s2 (n  k ) z n 
n   k  


2

n
s
(
k
)
s
(
n

k
)
z

1 2
k  

n  
k
s
(
k
)
z
s2 ( z )  s1 ( z )s2 ( z )
1
k  
Skorzystaliśmy z transformaty sygnału
przesuniętego:
s(n)  s ( z)  s(n  n0 )  z n0 s ( z)
Pytanie 15
…zamienia splot dwóch sygnałów w iloczyn ich
z-transformat. *
_
_
_
Pytanie 15
…jest przekształceniem całkowym.
…zamienia sygnał dyskretny w funkcję
określoną na zbiorze liczb zespolonych.
Filtry cyfrowe uzależniają odpowiedź na wyjściu
od bieżących i poprzednich próbek wejściowych
(+ wyjściowych dla IIR) i współczynników filtru.
Przesunięcie próbek w dziedzinie czasu odpowiada
pomnożeniu z transformaty przez z  n . Dlatego też można
modelować filtry za pomocą z-transmitancji.
N
Przykład:
n
H ( z )   hn z
n 0
Pytanie 16
…modelem matematycznym filtru cyfrowego. *
Pytanie 16
…ilorazem widma sygnału wyjściowego przez widmo
sygnału wejściowego.
Jest ilorazem, ale z-transformaty sygnału wyjściowego
przez z-transformatę sygnału wejściowego.
… na kole jednostkowym charakterystyką
częstotliwościową filtru.
_
 z  

n



n
z
1

n  
…

Pytanie 17
… z 1 *
…1
Z definicji dyskretnego impulsu Diraca oraz z definicji
z-transformaty:
 n  1 dla n  0 oraz 0 dla n  0
H( f ) 
sˆ wy ( f )
sˆ we ( f )
…obserwując odpowiedzi filtrów na
wymuszenia sinusoidalne.
Obserwując odpowiedzi filtrów na impuls diraca
(tak jest teoretycznie, w praktyce obserwuje
się odp. filtrów na wymuszenia sinusoidalne)
…z z-transmitancji przez podstawienie exp(2πjf).
H ( z) z e j 2 f  H ( f )
Pytanie 18
…dzieląc widmo sygnału wyjściowego przez
widmo sygnału wejściowego.
Pytanie 19
… amplitudowa filtru. *
…fazowa filtru.
…zespoloną filtru.
N
s
wy
m   hn s we m  n
n 0
…może mieć liniową charakterystykę amplitudową.
Cechą filtrów FIR jest możliwość uzyskania liniowej
charakterystyki fazowej.
…niezależnie od wejścia generuje wyłącznie sygnały
o skończonym czasie trwania.
Gdy na wejście podamy sygnał o nieskończonym czasie
trwania to również na wyjściu otrzymamy sygnał
o nieskończonym czasie trwania.
Pytanie 20
… wyznacza wartości sygnału wyjściowego tylko
w oparciu o próbkowanie sygnału wejściowego. *
Z definicji filtru FIR widać, że jest on nierekursywny:
FIR-Finite Impulse Response Filter
…ma z-transformację w postaci wielomianu z
niedodatnimi potęgami.
Definicja filtru FIR:
N
s (m)   hn s (m  n)  s ( z )  H ( z ) s ( z )
wy
we
wy
we
n 0
N
Transmitancja z filtru FIR:
H ( z )   hn z  n
n 0
…wyznacza wartości sygnału wyjściowego w
oparciu o sygnał wejściowy i poprzednie
próbki sygnału wyjściowego.
Pytanie 21
…oznaczany jest akronimem FIR. *
Filtr ten jest filtrem cyfrowym, więc projektuje się
go poprzez wyznaczenie odpowiednich współczynników.
… dyskretnej transformacji Fouriera.
Można zaprojektować filtr FIR używając odwrotnej DFT.
… algorytmie optymalizacyjnym Remeza.
… odpowiednim dobraniu jego odpowiedzi
impulsowej.
Pytanie 22
… wyznaczeniu elementów elektronicznych,
z których będzie on zbudowany. *
Pytanie 23
… projektowania filtrów o nieskończonej
odpowiedzi impulsowej. *
Metoda Remeza służy do projektowania filtrów
FIR, należy do metod optymalizacyjnych.
… projektowania filtrów o skończonej
odpowiedzi impulsowej.
… kompresji sygnałów.
…metodach projektowania filtrów
analogowych.
Filtry IIR można projektować za pomocą metody
biliniowej, w której projektuje się filtr
analogowy, a potem transformuję się
transmitancję tego filtru do postaci cyfrowej.
Pytanie 24
…algorytmie Remeza. *
Algorytm ten jest jedną z metod projektowania
filtrów FIR.
Twierdzenie Czebyszewa wykorzystujemy po to, aby
udowodnić, że istnieje tylko jeden zestaw
Współczynników, dla których δ osiąga najmniejszą
wartość. δ jest maksymalnym błędem założonej
charakterystyki filtru od ch-ki uzyskanej dla danego
zestawu parametrów.
Pytanie 25
… odwracalności DFT. *
… bezbłędnego odtwarzania sygnału
analogowego ze sygnału cyfrowego.
…jednoznaczności projektowanych filtrów.
s we m   s1we m   s2we m 


s wy m    hn s1we m  n   s2we m  n  
n
   hn s1we m  n     hn s2we m  n   s1wy m   s2wy m 
n
n
…wymagają badania stabilności.
Filtry FIR są zawsze stabilne, gdyż w ich transmitancji
występują tylko zera (brak biegunów).
Pytanie 26
… może mieć liniową charakterystykę fazową. *
Jest to jego podstawowa zaleta.
…jest przekształceniem liniowym.
Niech:
s wy (k , l )   hn,m s we (k  n, l  n)
m
n
I jego z-transmitancja:
H ( zx , z y ) 
m n
h
z
 m,n x z y
( m,n )M we
…prezentację charakterystyk filtrów na
płaszczyźnie.
Pytanie 27
…dwuwymiarową transformację Fouriera. *
…filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej do
przetwarzania obrazów.
Definicja filtru 2-D FIR:
W przeciwieństwie do filtrów FIR, których główną zaletą
jest możliwość uzyskania liniowej fazy, filtry IIR nie
mogą być zaprojektowane tak, aby posiadały liniową
fazę. Wada ta powoduje wprowadzanie różnych opóźnień
dla różnych składowych sygnału.
Pytanie 28
…może mieć liniową charakterystykę fazową. *
n 0
n 1
…ma z-transmitancję w postaci ilorazu wielomianów
z niedodatnimi potęgami.
M
n
b
z

n
n 0
Z-transmitancja filtru IIR: H ( z ) 
N
1   an z  n
n 1
Pytanie 28
…wyznacza wartości sygnału wyjściowego w oparciu
o próbki sygnału wejściowego i poprzednie próbki
sygnału wyjściowego.
M
N
wy
we
wy
s
(
m
)

b
s
(
m

n
)

a
s
Definicja filtru IIR:
n
 n ( m  n)
H ( z) 

n 0
N
n
1   an z  n
n 1
Filtr IIR jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko
N
n
wtedy, gdy wszystkie zera wielomianu Pz   z   an z N n
n 1
charakterystycznego leżą wewnątrz koła jednostkowego,
tzn. zn  1 .
Pytanie 29
…mają skończoną odpowiedź impulsową. *
…wymagają zabezpieczenia przed niestabilnością.
M
Z-transmitancja filtru IIR:
b z n
Pytanie 29
…są iteracyjnymi procedurami obliczeniowymi.
Dla obliczenia danej próbki wyjściowej dokonywane są
po kolei operacje mnożenia i dodawania, więc można
nazwać to procedurą iteracyjną.
Należy zwrócić uwagę, że brane pod uwagę są minory
wyznacznika Hurwitza…
Filtr IIR jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie pierwiastki wielomianu
charakterystycznego (mianownik transmitancji Z
układu) leżą wewnątrz koła jednostkowego.
Warunek ten jest równoważny następującemu: wszystkie
pierwiastki wielomianu charakterystycznego
(mianownik transmitancji w dziedzinie s) mają
ujemną część rzeczywistą
Pytanie 30
…w metodzie Hurwitza wszystkie minory
wiodące są większe od zera. *
Pytanie 30
Kryterium stabilności Hurwitza:
1) Warunek konieczny – wszystkie współczynniki
wielomianu charakterystycznego są większe od zera
2) Warunek wystarczający – wszystkie minory wiodące
wyznacznika Hurwitza są większe od zera
Wtedy pierwiastki wielomianu charakterystycznego mają
ujemną część rzeczywistą.
Wielomian chrakterystyczny:
N
P( s)   cn s n
n 0
Pytanie 30
Wyznacznik Hurwitza wygląda następująco:
…istnieją ograniczone stałe takie, że z
ograniczonego wejścia wynika ograniczone
wyjście.
Jest to warunek stabilności BIBO – Bounded Input
Bounded Output
Pytanie 30
…wszystkie zera wielomianu
charakterystycznego leżą wewnątrz koła
jednostkowego.
Pytanie 31
… metodach projektowania filtrów analogowych. *
…dyskretnej transformacji Fouriera.
…algorytmie optymalizacyjnym Remeza.
Przypomnienie podstawowego algorytmu projektowania
filtrów IIR:
j ( f )
1) Przyjmujemy założenia projektowe H ( f )  A( f )e


2) Modyfikujemy założenia projektowe posługując się
zależnością:
1
f 
arctg ( 2f )



4)
Projektujemy filtr analogowy
W oparciu o powyższy filtr wyliczamy
z-transmitancję posługując się podstawieniem
z 1
s
z 1
Pytanie 31
3)
Pytanie 32
...z falkową dekompozycją sygnałów. *
…z projektowaniem filtrów.
…z próbkowaniem sygnałów.
Ma charakter dyskretny.
…opiera się na filtracji i
podpróbkowaniu.
…wykorzystuje schematy motylkowe.
Pytanie 33
…ma charakter poufny. *
Pytanie 34
…jest operacją odwrotną do nadpróbkowania ze stałą 2 *
Pytanie 34
… polega na pomijaniu co drugiej wartości z próbek
sygnału.
…polega na zerowaniu co drugiej wartości z próbek.
Pytanie 35
…bezbłędne odtworzenie sygnału analogowego z jego
dyskretnych wartości. *
…sygnał wyjściowy jest tylko opóźnioną i ewentualnie
wzmocnioną wersją sygnału wejściowego.
…bezbłędne odtworzenie sygnału z jego widma.
Pytanie 35
Schemat perfekcyjnej rekonstrukcji.
H1, G1 – filtry dolnoprzepustowe
H2, G2 – filtry górnoprzepustowe
Pytanie 36
…jest metodą kompresji sygnałów. *
…ułatwia filtrację sygnałów.
…zamienia sygnał analogowy na cyfrowy.
Główną zaletą kompresji bezstratnej jest możliwość
dekompresji sygnału do identycznej postaci pierwotnej
w przeciwieństwie do kompresji stratnej, gdzie
zdekompresowany sygnał jest nieco inny niż oryginał.
…opiera się na kwantyzacji sygnałów
Na kwantyzacji sygnałów opiera się kompresja stratna.
Bezstratna kompresja wykorzystuje metody słownikowe
i statystyczne, np. kodowanie Huffmana.
Pytanie 37
… jest procedurą odwracalną
Pytanie 37
…jest na ogół bardziej efektywna od
kompresji stratnej. *
Jest to jedna z metod kompresji bezstratnej.
Dany jest alfabet źródłowy (zbiór symboli) oraz zbiór
stowarzyszonych z nim prawdopodobieństw. Kodowanie
Huffmana polega na utworzeniu słów kodowych
o długości odwrotnie proporcjonalnej
do prawdopodobieństwa wystąpienia danego symbolu.
Jest kodem prefiksowym, tzn. kodem, w którym żadne
słowo kodowe nie jest prefiksem innego słowa kodowego
Pytanie 38
…jest metodą kompresji sygnałów. *
Pytanie 38
Pytanie 38
…służy do szyfrowania informacji.
…zamienia sygnał analogowy na cyfrowy.
Jednym z kroków kompresji może być właśnie
kwantyzacja
…jest procedurą odwracalną.
Tak, jednak tracimy mniej znaczące dane
…nie może być stosowana do kompresji
obrazów.
Może być stosowany do kompresji obrazów (np.
JPEG)
Pytanie 39
…opiera się na kwantyzacji sygnałów. *
Kwantyzacja skalarna może być kwantyzacją
równomierną lub nierównomierną. W tym drugim
przypadku różnica pomiędzy sąsiednimi poziomam
decyzyjnymi nie jest jednakowa, dlatego nie jest to
operacja liniowa.
Pytanie 40
Filtracja IIR.
Nadpróbkowanie.
Kwantyzacja skalarna. *