Transcript Wykład 4 - Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych

Zaawansowane metody analizy
sygnałów
Dr inż. Cezary Maj
Dr inż. Piotr Zając
Katedra Mikroelektroniki i Technik informatycznych PŁ
Rozmycie widma
Rozmycie widma polega na obserwacji
niezerowych wartości dla
częstotliwości innej niż faktyczna
czestotliwość sygnału.
FFT sygnalu
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0
50
100
150
200
250
Częstotliwość próbkowania
Sygnal
FFT sygnalu
1
500
0.8
400
0.4
350
0.2
300
0
250
-0.2
200
-0.4
150
-0.6
Fprob = 500Hz
100
-0.8
-1
Fsin = 20Hz
Probek = 1000
450
0.6
50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Sygnal
1.4
1.6
1.8
2
1
0
0
50
100
150
FFT sygnalu
200
250
600
0.8
500
0.6
0.4
400
0.2
0
300
Fprob = 100Hz
-0.2
200
-0.4
-0.6
100
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Liczba próbek
Sygnal
FFT sygnalu
1
25
Fsin = 20Hz
Fprob = 500Hz
0.8
0.6
20
0.4
0.2
15
0
-0.2
10
probek = 50
-0.4
-0.6
5
-0.8
-1
0
0.01
0.02
0.03
0.04 Sygnal
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
1
0
0.1
0
50
FFT sygnalu150
100
200
250
14
0.8
12
0.6
10
0.4
0.2
8
0
Fprob = 25
6
-0.2
-0.4
4
-0.6
2
-0.8
-1
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0
0
50
100
150
200
250
Liczba próbek
Sygnal
FFT sygnalu
1.2
8
1
7
Fsin = 20Hz
Fprob = 500Hz
6
0.8
5
0.6
4
0.4
3
probek = 14
0.2
2
0
-0.2
1
0
0.005
0.01
0.015
Sygnal
0.02
0.025
0.03 0
1
500
0.8
450
0.6
400
0.4
350
0.2
300
0
250
-0.2
200
-0.4
150
-0.6
100
-0.8
50
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
0
50
100
FFT sygnalu
150
200
250
Fprob = 1002
0
50
100
150
200
250
Skąd się bierze rozmycie
Okna czasowe
Funkcja służąca zmniejszeniu wpływu
„niedopasowania” parametrów
próbkowania.
Metoda okien czasowych polega na
wymnożeniu sygnału cyfrowego przez
okno czasowe.
Typy okien
Prostokatne
Bartletta
Typy okien
Hanninga
Hamminga
Typy okien
Blackmana
Kaisera
parametryzowane
Parametry okien
Wpływ nałożenia okna
Szerokość listka głównego widma okna wpływa na
rozróżnialność częstotliwościową DFT (jeżeli różnica
częstotliwości dwóch składowych jest mniejsza od
szerokości listka głównego, to odpowiadające im
prążki zleją się w jeden wskutek rozmycia
widma.
Wysokość listków bocznych widma okna wpływa na
rozróżnialność amplitudową DFT (jeżeli w sygnale
występuje składowa o amplitudzie porównywalnej z
amplitudą lisków
bocznych, to „utonie” ona w pofalowaniach widma.
Interpretacja nałożenia okna
W dziedzinie czasu nałożenie okna jest
wymnożeniem każdej próbki sygnału przez
odpowiadająca jej wartość próbki okna
Interpretacja nałożenia okna
W dziedzinie częstotliwości widmo powstaje poprzez
splot widma sygnału oraz okna.
FFT sygnalu
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Efekt końcowy
Sygnal
1
FFT sygnalu
400
0.5
300
0
200
-0.5
100
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
0
50
Sygnal + okno
100
150
200
250
200
250
FFT sygnalu + okno
1
300
0.5
200
0
100
-0.5
-1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
0
50
100
150
Szybka transformata Fouriera
Nakład obliczeniowy:
• 2N2 mnożeń
• 2(N-1)2 sumowań
Możliwe sposoby optymalizacji:
• Lustro widma
• Powtarzające się obliczenia
Idea FFT
Podział ciągu N-punktowego na dwa N/2-punktowe
• Oszczędność 2N2  2(N/2)2  2N2 /4 mnożeń
• 2(N-1)2  2(N/2-1)2  2(N-2)2 /2 sumowań
Możliwe sposoby optymalizacji:
• Lustro widma
• Powtarzające się obliczenia
Idea FFT
Idea FFT
FFT w praktyce
dekompozycja
FFT w praktyce
Obliczenie „motylkowe” – składanie DFT
FFT w praktyce
Pełny schemat blokowy
FFT w praktyce
FFT w praktyce
Aliasing
Nieodwracalne zniekształcenie sygnału
w procesie próbkowania wynikające z
niespełnienia warunków twierdzenia
Kotelnikowa-Shannona
Aliasing
Probkowanie 320Hz
FFT Fp=320
1
100
0
50
-1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0
20
40
60
Probkowanie 60Hz
20
0
10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0
5
10
Probkowanie 17Hz
4
0
2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
120
140
160
15
20
25
30
4
5
6
FFT Fp=17
1
-1
100
FFT Fp=60
1
-1
80
0.3
0.35
0.4
0.45
0
0
1
2
3
Filtr aliasingowy
Filtr aliasingowy
Jak dobrać odpowiednią częstotliwość odcięcia?
Próbkowanie - problemy
Czy próbkowanie z częstotliwością
spełniającą kryterium Nyquista jest
wystarczające?
Powielanie widm
Próbkowanie - problemy
Oversampling
Zwiększenie częstotliwości próbkowania
poprzez wstawienie odpowiedniej
ilości zerowych próbek i ich
interpolację.
Rekonstrukcja sygnału
Rekonstrukcja polega na wykonaniu
operacji interpolacji.
Interpolacja zerowego rzedu
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Interpolacja liniowa
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Rekonstrukcja sygnału
Idealna rekonstrukcja – przefiltrowanie
przez idealny filtr
Rekonstrukcja sygnału
Idealny filtr – funkcja sinc
Rekonstrukcja sygnału
Wymnożenie widm jest równoznaczne
ze splotem w dziedzinie czasu
Rekonstrukcja sygnału
Rekonstrukcja sygnału
Sygnał i jego rekonstrukcja z próbek
1.5
1
Sygnały
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 0.06
Time [s]
0.07
0.08
0.09
0.1