Transcript Metody obliczania fazora w systemach elektroenergetycznych

Metody obliczania fazora
w systemach elektroenergetycznych
Wydział Elektrotechniki, Automatyki Informatyki i Inżynierii
Biomedycznej
Katedra Metrologii i Elektroniki
mgr inż. Szymon Barczentewicz
1
Plan prezentacji
•
Definicja fazora
•
Zastosowanie fazora
•
Dokładność obliczania fazora
•
Podział metod obliczania fazora
•
Przykłady metod obliczania
•
Porównanie wybranych metod
•
Podsumowanie
•
Literatura
2
Definicja fazora
Dla harmonicznej podstawowej ciągłego okresowego sygnału napięcia
x(t )  X m cos(2f 0t   )  X m cos(0t   )
(1)
fazor definiowany jest jako
(2)
X  ( X m / 2 )e j  X r  jX i .
Jeśli częstotliwość i amplituda sygnału sinusoidalnego zmieniają się w czasie, wtedy (1) może być
przedstawione jako
x(t )  X m (t ) cos(2f 0t  2  g (t )dt   ),

(3)

gdzie
g t  f in t  f 0 jest różnicą pomiędzy rzeczywistą i podstawową częstotliwością. Fazor
dany jest wtedy wzorem.
X (t )  ( X m (t ) / 2 )e

j ( 2 g ( t ) dt  )
.
(4)
W praktyce fazor obliczany jest z N próbek ciągłego sygnału próbkowanego z okresem Δt
xn  X m cos(2 fin nt   ).
(5)
3
Definicja fazora
Rys. 1. Konwencja reprezentacji fazora.
4
Definicja fazora
Rozważmy sygnał sinusoidalny
o częstotliwości innej niż
częstotliwość
podstawowa
obserwowany w chwilach 0,
1T0, 2T0, 3T0, …, nT0, gdzie
T0=1/f0.
Rys. 2. Sygnał sinusoidalny o częstotliwości f>f0.
5
Definicja fazora
Rys. 3. Sygnał sinusoidalny
o częstotliwości innej niż podstawowa.
6
Definicja fazora
7
Zastosowanie fazora w sieci elektroenergetycznej
– Wielkoobszarowe systemy monitorowania i
wizualizacji (WAMV),
– Detekcja wahań,
– Monitorowanie częstotliwości i napięcia,
– Detekcja zakłóceń,
– Analiza post factum.
Rys. 4. „WAMS and WACS Enabling the
Smart Grid at Statnett”, S. LØvlund, J. O.
Gjerde
8
Weryfikacja metod obliczania fazora
Standard IEEE C37.118.1-2011 definiuje kilka wskaźników określających dokładność
obliczania fazora.
TVE (Total Vector Error)
TVE | X zmierzone  X prawdziwe | / | X prawdziwe |
(6)
FE (Frequency Error)
FE | f prawdziwe  f zmierzone |
(7)
RFE (ROCOF Error)
RFE | (df prawdziwe / dt )  (df zmierzone / dt ) |
(8)
tr (Time response)
tr  supTVE t   U  inf{TVE (t )  U}
(9)
Standard definiuje dwie klasy pomiarowe:
- P class – klasa ochronna,
- M class – klasa pomiarowa.
9
Weryfikacja metod obliczania fazora
Tab. 1. Wymagania dla synchrofazora – statyczny sygnał testowy.
10
Weryfikacja metod obliczania fazora
Tab. 2. Wymagania dla synchrofazora – modulowany sygnał testowy.
Tab. 3. Wymagania dla częstotliwości i ROCOF – modulowany sygnał testowy.
11
Podział metod wyznaczania fazora
12
Metody wyznaczania fazora oparte na
DFT - I
Okienkowane DFT:
DFT Xk sygnału xn definiowane jest jako
N 1
-
-
-
najprostsze i najłatwiejsze do
implementacji,
X k   xn e  j ( 2 / N ) kn , k  0,1,2,..., N  1
Częstotliwość sygnału, w Hz, jest
częstotliwością prążka DFT o indeksie
k=k0
w przypadku próbkowania
niesynchronicznego metody są podatne
f 0  k0 /(Nt )
na przeciek widmowy i próbkowanie
widma ciągłego przez DFT (picked
Synchroniczne próbkowanie
fence effect),
(całkowita liczba okresów):
zastosowanie okien zmniejsza wpływ
przecieku widmowego.
(10)
n 0
(11)
f0 = 50 Hz
k0 = 1,2,5
13
Metody wyznaczania fazora oparte na
DFT - II
Interpolowane DFT (IpDFT):
-
Mniej wrażliwe na wpływ próbkowania
widma ciągłego przez DFT (picked
fence effect),
-
oparte na statycznym modelu fazora.
X  ( X m / 2 )e j  X r  jXi .
Rys 4. Ilustracja problemu interpolowanego DFT, fk, f0, fk+1
– częstotliwości prążków DFT, f0 – częstotliwość sygnału
sinusoidalnego, δ – korekta częstotliwości.
14
Metody wyznaczania fazora oparte na
DFT - III
Model 4 i 6 parametrowy :
WLS:
-
-
opierają się na dynamicznym modelu
fazora,
-
mniejsza dokładność jeśli w
mierzonym sygnale zawarte są
harmoniczne inne niż podstawowa.
dynamicznym model fazora,
X (t )  ( X m (t ) / 2 )e
-

j ( 2 g ( t ) dt  )
.
fazor estymowany przez rozwinięcie w
szereg Taylora.
15
Metody wyznaczania fazora
Taylor-Fouriera Transform:
Filtr Kalmana:
-
-
dynamicznym model fazora,
X (t )  ( X m (t ) / 2 )e

j ( 2 g ( t ) dt  )
-
mniej podatne na wyższe
harmoniczne,
-
wymagające obliczeniowo.
.
zarówno na statyczny jak i
dynamiczny model fazora,
X  ( X m / 2 )e j  X r  jXi .
-
do estymacji modelu dynamicznego
wykorzystuje model statyczny.
16
Przykłady metod wykorzystujących IpDFT - I
2-punktowe IpDFT z oknem Hanninga [Bel13]:
Sygnał xn mnożony jest przez okno Hanninga
vn  wn xn .
(12)
Obliczane jest DFT z okienkowanego sygnału vn. Szukamy prążka o największej amplitudzie
|Vk max|, aby obliczyć δ

2 | Vkmax 1 |  | Vkmax |
.
(13)
fin  (kmax   ) /( Nt ),
(14)
| Vkmax |  | Vkmax 1 |
Częstotliwość, amplituda i faza dane są wzorami:
0.5
0.25 0.5 0.25
/


,
sin( )   1    1
(15)
  arg{Vk }  arg{e j ( / N )( N 1)}.
(16)
X m | Vkmax |
max
17
Przykłady metod wykorzystujących IpDFT - II
Metoda Bertocco-Yoshidy IpDFT z korekcją przecieku widmowego [Bar13]:
Obliczane jest DFT Xk sygnału xn. Szukany jest prążek o największej amplitudzie
obliczyć stosunek R i współczynnik λ.
R
  e j
X kmax 1  X kmax
X kmax  X kmax 1
k max
|Vk max|, aby
,
rR
,
 j 2 / N
j 2 / N
re
 Re
 e  jk max  e  jk max 1   (2 / N )k.
r
, k
 e  jk max 1  e  jk max
(17)
(18)
(19)
Częstotliwość, amplituda i faza dana są wzorami:
fin  Im{ln( )}/(2t ),
X m  2 X kmax / c ,   ( 2 X kmax / c ),
c  (1  N ) /(1  e jk max ).
Wykonywana jest korekcja przecieku widmowego zgodnie z [Wu10]
(20)
(21)
(22)
18
Przykłady metod wykorzystujących WLS - I
Estymator WLS [OSer07]:
Fazor X(t) (4) przybliżany jest pierwszymi I-tymi wyrazami zespolonego szeregu Taylora
X t   X I t   X tn   X tn t 
'
X '' tn 2t
2!
X  I  tn  I

t , tn  T / 2  t  tn  T / 2
I!
(23)
gdzie Δt=t-tn jest przesunięciem czasu względem czasu odniesienia, X(i)(tn), dla i = 1,…,I,
jest i-tą pochodną (4). Dla N próbek okres T = N/fs współczynniki wielomianu Taylora
otrzymywane są za pomocą WLS dane są
X nI  2AIHW HWAI  AIHW HWxn
1
(24)
gdzie xn (5) to wektor kolumnowy N-elementowy, W to macierz diagonalna stworzona z
wartości wybranego okna w(.),

X nI  X n*I X n*I 1  X n*1 X n*0 X n0 X n1  X nI 1 X nI

T
(25)
z XnI = X(I)(tn)/(i! fsi), i = 0,1,…,I jest wektorem estymowanych wyrazów szeregu Taylora, i
gdzie H, T, * oznaczają kolejno sprzężenie hermitowskie, transpozycję i sprzężenie.
19
Przykłady metod wykorzystujących WLS - II
Ostatecznie macierz o wymiarach Nx2(I+1)
 AI ,1
AI  
 AI , 2
AI ,3 
AI , 4 
(26)
zawiera poszczególne wyrazy szeregu
aI ,1 lq   l  N  1 
2 

I 1 q
a 
 j l  s 
I , 2 lq
 l  s 
I 1 q
e
e
q 1
 N 1  2
j
l 
 2
 fs
2
fs
a 
I ,4
 l  s  e
lq
q 1
, l  1,,
 N 1  2
l 
2
 fs
 j
aI ,3 lq   l  N  1  e 
2 

 N 1  2
j
l 
 2
 fs
, l  1,,
N 1
 s i q  1,, I  1,
2
, l  1,,
, l  1,,
N 1
 s i q  1,, I  1,
2
N 1
 s i q  1,, I  1,
2
(27)
N 1
 s i q  1,, I  1,
2
gdzie s = 1/2 jeśli N jest parzyste lub s = 0 jeśli N jest nieparzyste, a l oznacza liczbę
okresów badanego sygnału.
Amplituda i faza estymowanego fazora dana jest przez
X n  X n0 , n  X n0 .
(28)
20
Porównanie wybranych metod
Rys. 5. Maksymalne TVE zależące od rzeczywistej
częstotliwości fin. Single frequency. (maxTVE = 1% IEEE
Std C7.118)
Rys. 6. Maksymalne TVE zależące od rzeczywistej
częstotliwości fin. 10% zakłócenie wyższymi
harmonicznymi do 50-tej harmonicznej. (maxTVE =
1% IEEE Std C7.118)
21
Porównanie wybranych metod
x(t )  X m (1  kx cos(mt )) cos(0t  ka cos(mt   )).
Rys. 7. Maksymalne TVE zależące od częstotliwości
modulacji fm. (maxTVE = 3% IEEE Std C7.118)
Rys. 8. Maksymalne FE w zależności od częstotliwości
modulacji fm. (maxFE = 0.06 Hz IEEE Std C7.118)
22
Podsumowanie
Jakie są problemy do rozwiązania?
•
•
•
•
Dokładność metod,
odporność na różnego typu zakłócenia,
czas wykonywania algorytmów,
implementacja na różnego typu platformach sprzętowych.
Dalsze prace nad doktoratem:
•
•
•
•
Implementacja i porównanie wybranych metod obliczania fazora.
Wiarygodne porównanie metod obliczania fazora.
Propozycja nowych metod.
Sprzętowa aplikacja wybranych metod.
23
Literatura
[Bar13]
S. Barczentewicz, K. Duda, D. Borkowski, "Compliance Verification of the Phasor
Estimation Based on Bertocco-Yoshida Interpolated DFT with Leakage Correction", Signal
Processing algorithms, architectures, arrangements, and applications, SPA'2013, Sep. 2013
[Bel14]
D. Belega, D. Macci, D. Petri, "Fast Synchrophasor Estimation by Means of FrequencyDomain and Time-Domain Algorithms", IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 63, no. 2, Feb.
2014.
[Chi01]
Chi-kong Wong, Ieng-tak Leong, Chu-san Lei, Jing-tao Wu , Ying-duo Han, "A Novel
Algorithm for Phasor Calculation Based on Wavelet Analysis", Power Engineering Society
Summer Meeting, vol 3., Jul. 2001.
[OSer07]
J. A. de la O Serna, "Dynamic Phasor Estimates for Power System Oscillations", IEEE Trans.
Instrum. Meas., vol. 56, no. 5, Oct. 2007.
[Pha09]
A. G. Phadke, B. Kasztenny, "Synchronized phasor and frequency measuremnt under
transient conditions", IEEE Trans. Power Del., vol. 24, no. 1, Jan. 2009.
[Pre08]
W. Premerlani, B. Kasztenny, "Development and Implementation of a Synchrophasor
Estimator Capable of Measurements Under Dynamic Conditions",", IEEE Trans. Power Del.,
vol. 23, no. 1, Jan. 2008.
[Sil11]
R. P. Silva, A. C. Delbem, "Genetic algorithms applied to phasor estimation and
frequency
tracking in PMU development", International Journal of Electric Power and Energy Systems,
vol. 44, 2013
24
Koniec
Dziękuję za uwagę
25