Transcript 08_Filtracja sygnaÅ

Filtracja sygnałów
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Filtracja sygnałów
• Filtracja sygnału – szereg Fouriera
• Filtracja sygnału – przykłady
• Filtracja sygnału – przekształcenie Fouriera
• Wpływ filtracji na cha-ki częstotliwościowe sygnału
• Filtracja sygnału - przykład
„Teoria sygnałów” Zdzisław Papir
Filtracja sygnału – szereg Fouriera
x (t ) 

X
n  
x(t )
n
e
jn o t
H (s)
e st
yt 
H s e st
Szereg Fouriera sygnału wyjściowego y(t)
y (t ) 

X H  jn e


n  
n
o
Yn
jn o t


Y e
n  
jn o t
n
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Filtracja sygnału - przykłady
Piłokształtny sygnał wejściowy x(t)
Sygnał piłokształtny (okres T)
1
0.9
x(t)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
czas t/T
1
j
xt   
2 2

1 jn2t 1 1  1
e
   sin n ot 

2  n1 n
n   n
n0
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Filtr dolnoprzepustowy
R
C
H s  
1 Cs
1
1


R  1 Cs 1  Ts 1  s  g
 g  1 T , T  RC
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Filtr dolnoprzepustowy
H  j  
1
1  j g
,
H   
1
1   g 
2
0,  g  1

20log H    
 20log g ,  g  1
0
10
H  dB
-1
10
-2
10
-3
10
 dek 
g
-4
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Charakterystyka a-cz FDP w układzie logarytmicznym
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Szeregi Fouriera sygnałów
1
j
xt   
2 2

1 jnot 1 1  1
e
   sin n ot 

2  n1 n
n   n
no
H  j  
yt  
1
2

j
2

1
1 j g
1
n
n  
n o

1
1  jn o  g
e jno t
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Charakterystyki a-cz (fg/fo = 9)
Ch-aki a-cz filtru dolnoprzepustowego i sygnału piłokształtnego
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
filtr dolnoprzepustowy
0.4
0.3
fg/fo = 9
0.2
0.1
0
sygnał piłokształtny
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
nfo
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Sygnał wyjściowy y(t) (fg/fo = 9)
Odpowiedź filtru dolnoprzepustowego
1
fg/fo = 9
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
czas t/T
2.5
3
3.5
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Charakterystyki a-cz (fg/fo = 3)
Ch-aki a-cz filtru dolnoprzepustowego i sygnału piłokształtnego
1
0.8
fg/fo = 3
0.6
0.4
filtr dolnoprzepustowy
0.2
sygnał piłokształtny
0
0
10
20
30
40
50
nfo
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Sygnał wyjściowy y(t) (fg/fo = 3)
Odpowiedź filtru dolnoprzepustowego
1
0.9
0.8
fg/fo = 3
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.5
1
1.5
2
czas t/T
2.5
3
3.5
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Charakterystyki a-cz (fg/fo = 1)
Ch-aki a-cz filtru dolnoprzepustowego i sygnału piłokształtnego
1
0.8
fg/fo = 1
0.6
sygnał piłokształtny
0.4
0.2
filtr dolnoprzepustowy
0
0
10
20
30
40
50
nfo
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Sygnał wyjściowy y(t) (fg/fo = 1)
Odpowiedź filtru dolnoprzestowego
1
0.9
fg/fo = 1
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
0.5
1
1.5
2
czas t/T
2.5
3
3.5
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Charakterystyki a-cz (fg/fo = 1/3)
Odpowiedź filtru dolnoprzepustowego
1
0.8
fg/fo = 1/3
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
nfo
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Sygnał wyjściowy y(t) (fg/fo = 1/3)
Odpowiedź filtru dolnoprzepustowego
0.75
0.7
fg/fo = 1/3
0.65
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0
0.5
1
1.5
2
czas t/T
2.5
3
3.5
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Filtr górnoprzepustowy
C
R
R
Ts
H s  

R  1 Cs 1  Ts
 g  1 T , T  RC
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Filtr górnoprzepustowy
H  dB
H  j  
j  g
1  j  g
,
H   
 g
1   g 
2
 g ,  g  1
20 log H    
0,  g  1

0
10
 dec
g
-1
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
Charakterystyka a-cz FGP w układzie logarytmicznym
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Szeregi Fouriera sygnałów
x t  
1
2

j
2

1
 ne
jn o t
n  
no
H  j  
yt  
j
2

1
n
n  
no


1
2


sin n t 


n
1
1
o
n 1
j  g
1 j  g
jn o  g
1  jn o  g
e
jn o t

1
2

o  g
 1  jn
n  
no
o
g
e jno t
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Charakterystyki a-cz (fg/fo = 9)
Cha-ki a-cz filtru górnoprzepustowego i sygnału piłokształtnego
1
0.8
filtr górnoprzepustowy
0.6
0.4
fg/fo = 9
0.2
sygnał piłokształtny
0
0
10
20
30
40
50
nfo
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Sygnał wyjściowy y(t) (fg/fo = 9)
Odpowiedź filtru górnoprzepustowego
10
5
0
-5
fg/fo = 9
-10
-15
-20
-25
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
czas t/T
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Charakterystyki a-cz (fg/fo = 3)
Cha-ki a-cz filtru górnoprzepustowego i sygnału piłokształtnego
1
0.8
filtr górnoprzepustowy
0.6
0.4
fg/fo = 3
0.2
sygnał piłokształtny
0
0
10
20
30
40
50
nfo
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Sygnał wyjściowy y(t) (fg/fo = 3)
Odpowiedź filtru górnoprzepustowego
2
1
0
-1
-2
fg/fo = 3
-3
-4
-5
-6
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
czas t/T
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Charakterystyki a-cz (fg/fo = 1)
Cha-ki a-cz filtru górnoprzepustowego i sygnału piłokształtnego
1
0.8
filtr górnoprzepustowy
0.6
0.4
fg/fo = 1
0.2
sygnał piłokształtny
0
0
10
20
30
40
50
nfo
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Sygnał wyjściowy y(t) (fg/fo = 1)
Odpowiedź filtru górnoprzepustowego
0.6
0.4
fg/fo = 1
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
czas t/T
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Charakterystyki a-cz (fg/fo = 1/3)
Cha-ki a-cz filtru górnoprzepustowego i sygnału piłokształtnego
1
filtr górnoprzepustowy
0.8
0.6
fg/fo = 0,3
0.4
0.2
sygnał piłokształtny
0
0
10
20
30
40
50
nfo
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Sygnał wyjściowy y(t) (fg/fo = 1/3)
Odpowiedź filtru górnoprzepustowego
0.04
0.02
0
-0.02
fg/fo = 0,3
-0.04
-0.06
0
0.5
1
1.5
2
czas t/T
2.5
3
3.5
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Filtracja sygnału – przekształcenie Fouriera
1
x(t ) 
2



X  j e d
x(t )
1
X  j e jt
2
H (s)
jt
yt 
1
H  j X  j e jt
2
Transformata Fouriera sygnału wyjściowego y(t)
1 
jt
y (t ) 
H  j X  j e d

2 
Y  j    H  j  X  j 
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Filtracja sygnału – przekształcenie Fouriera
x(t )  X  j 
H (s)
yt   Y  j 
Y  j   H  j X  j 
Odpowiedź impulsowa filtru
Y  j   H  j X  j   ht   xt 
yt   ht   xt    t 
x(t )   t 
h(t )
yt   h(t )
Odpowiedź impulsowa filtru jest sygnałem wyjściowym
filtru, na wejście którego podano impuls Diraca (t).
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Wpływ filtracji na charakterystyki
częstotliwościowe sygnału
x(t )  X  j 
yt   Y  j 
H (s)
Y  j   H  j X  j 
X  j   X  j  e j  
H  j   H  j  e
j  
Y  j   X  j  H  j  e j     
Filtracja zmienia charakterystykę:
• amplitudowo-częstotliwościową
• fazowo-częstotliwościową
sygnału wejściowego.
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Filtracja sygnału - przykład
Si x    sin   d
1
xt   1t      
j
H  j    2W  
x
0
W
1 
1  jt
y t  
    e d 


2  
j 
W
W

W
j t
1 1 e
1 1  cost  j sin t

d



d 


2 2j  
2 2j 

W
W
W
Wt
0
0
1 1  sin t
1 1  sin
1 1
 
d   
d   Si Wt 
2  
2  
2 
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Sinus całkowy
właściwości
Si x    sin   d
x
0
1. Sinus całkowy jest funkcja nieparzystą
x
x
  u
Si  x    sin   d 
  sin u u du  Si x 
0
0
d  du
2. Sinus całkowy w pobliżu zera (x  0)
Si 0   sin   d  0
0
0
Si x  0   d  x, sin    0
x
0
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Sinus całkowy
właściwości
Si x    sin   d
x
0
3. Asymptota pozioma (x )

lim Si x    sin   d   2
x 


0
0
1 
1
sin   d   sin   d  F sin     0
2 
2
4. Ekstrema lokalne
dSi x dx  sin x x  0  x  k , k  0
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Filtracja sygnału - przykład
1 1


y W   Si   f W 
1
2 
Przesterowanie odpowiedzi
filtru nie zależy od szerokości
jego pasma.
1 1
y t    SiWt 
2 
tr = 2/W = 1/B
-/W
Czas narastania odpowiedzi
filtru jest odwrotnie proporcjonalny do szerokości
jego pasma.
+/W
0
„Teoria sygnałów”  Zdzisław Papir
Podsumowanie
• Sygnał wyjściowy filtru pobudzanego sygnałem okresowym
jest też sygnałem okresowym; szereg Fouriera tego sygnału
na ogół niesumowalny.
• Transformata Fouriera sygnału wyjściowego jest równa
iloczynowi transmitancji filtru i transformaty Fouriera
sygnału wejściowego.
• Odpowiedź impulsowa filtru jest sygnałem wyjściowym
filtru, na wejście którego podano impuls Diraca (t).
• Filtrację sygnału w dziedzinie czasu opisuje splot
odpowiedzi impulsowej filtru oraz sygnału wejściowego.