Transcript พื้นที่ผิวและปริมาตร

พืน้ ที่ผิวและปริมาตร
รู ปข้อใดมีพ้นื ที่มากที่สุด ต้องตอบได้ภายในเวลา 5 วินาที
1)
2)
3)
ยาว 12 ซม.
กว้าง 1 ซม.
ยาว 6 ซม.
กว้าง 2 ซม.
ยาว 4 ซม.
กว้าง 3 ซม.
พื้นที่เท่ากันทุกรู ป ตอบไม่ได้ แต่ใจอยากรู ้ ดูต่อไปก็ตอ้ งตอบได้
พื้นที่ เป็ นการวัดอย่างไร
พื้นที่เป็ นการวัดโดยกาหนดใช้รูปสี่ เหลี่ยมจัตุรัส เป็ น หน่วย ในการวัด
ให้รูปสี่ เหลี่ยมจัตุรัสที่มี ความยาว 1 หน่วย ความกว้าง 1 หน่วย
เรี ยกว่า พื้นที่เท่ากับ 1 ตารางหน่วย
1) ถ้าใช้หน่วยเป็ นเซนติเมตร
พื้นที่ 1 ตารางเซนติเมตร
กว้าง 1 เซนติเมตร
ยาว 1 เซนติเมตร
2) ถ้าใช้หน่วยเป็ นนิ้ว
กว้าง1 นิ้ว
พื้นที่ 1 ตารางนิ้ว
ยาว 1นิ้ว
3) ถ้าใช้หน่วยเป็ นเมตร
พื้นที่ 1 ตารางเมตร
กว้าง 1 เมตร
ยาว 1 เมตร
4) ถ้าใช้หน่วยเป็ นวา
พื้นที่ 1 ตารางวา
กว้าง 1 วา
ยาว 1 วา
สรุ ป “ 1 ตารางหน่วย” มีความกว้าง และความยาวเท่ากัน นัน่ เอง
วัดพื้นที่
1) รู ปสี่ เหลี่ยมผืนผ้ารู ปหนึ่งมีความกว้าง 2 เซนติเมตร ความยาว 3 เซนติเมตร
จะมีพ้นื ที่เท่าไร
ยาว 3 เซนติเมตร
กว้าง 2 เซนติเมตร
เหมือนตัดแบ่งออกเป็ น
รู ปขนาดกว้าง 1 เซนติเมตร
ยาว 1 เซนติเมตร
หรื อขีดเป็ นตารางรู ปสี่ เหลี่ยม
ขนาดกว้าง 1 เซนติเมตร
ยาว 1 เซนติเมตร
รู ปสี่ เหลี่ยมนี้มีพ้นื ที่ 6 ตารางเซนติเมตร
2) ข้อต่อไปนี้รูปสี่ เหลี่ยมผืนผ้าพื้นข้อใดมีพ้ืนที่มากที่สุดมากที่สุด
ตอบในเวลา 5 วินาที หลังจากเปิ ดข้อเลือกตอบ
ก)
ยาว 12 ซม. กว้าง 1 ซม.
ข)
ยาว 6 ซม.
กว้าง 2 ซม.
ค)
ยาว 4 ซม. กว้าง 3 ซม.
2) ข้อต่อไปนี้รูปสี่ เหลี่ยมผืนผ้าพื้นข้อใดมีพ้ืนที่มากที่สุดมากที่สุด
ตอบในเวลา 5 วินาที หลังจากเปิ ดข้อเลือกตอบ
ก)
ข)
ค)
คาตอบถูก คือ ดูต่อไป
2) เฉลยวัดพื้นที่
ยาว 12 ซม.
ก)
กว้าง 1 ซม.
รู ปนี้มีพ้นื ที่ 12 ตาราง
ข)
ยาว 6 ซม.
กว้าง 2 ซม.
ค)
รู ปนี้มีพ้นื ที่ 12 ตาราง
ยาว 4 ซม.
กว้าง 3 ซม.
รู ปนี้มีพ้นื ที่ 12 ตาราง
มีพ้นื ที่เท่ากัน ข้อ ก, ข และ ค เรารู้ได้เพราะหาพื้นที่เป็ น
การเรี ยกชื่อรู ปสามเหลี่ยมตามความยาวด้าน
รูป
ชื่อ
รู ปสามเหลี่ยมหน้าจัว่
สมบัติ
มีดา้ นยาวเท่ากันสองด้าน
มีความยาวของด้านทุกด้าน
รู ปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ยาวไม่เท่ากัน
รู ปสามเหลี่ยมด้านเท่า
ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน
บอกสูตร การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมได้หรื อไม่
พอจาได้
สูตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 12× ฐาน × สูง
บอกสูตรได้ถูก เป็ นเพียงแบบที่ 1
แต่นาไปใช้ได้ไม่คล่อง
ถ้าสาเหตุจากไม่รู้จกั ส่ วนที่เป็ น ฐาน และ สูง จะบอกให้จากรู ปต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1) หาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
32
16
สูตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 12× ฐาน × สูง
8
1
ได้พ้นื ที่รูปสามเหลี่ยมนี้ = 2 × 16 × 32
= 8 × 32
= 256 ตารางหน่วย
ตัวอย่างที่ 2) หาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
24
18
สูตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 12× ฐาน × สูง
9
1
ได้พ้นื ที่รูปสามเหลี่ยมนี้ = 2 × 18 × 24
= 9 × 24
= 216 ตารางหน่วย
แบบที่ 2
สูตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า =
ตัวอย่างที่ 3) จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
สูตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า =
3 × (ด้าน)2
4
3 × (ด้าน)2
4
3 × (20)2
ได้พ้นื ที่รูปสามเหลี่ยมนี้ = 4
=
3 × 5 × 20
= 100 3 ตารางหน่วย
=
20
3 × 205 × 20
4
แบบที่ 3 สูตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยมมีความยาวด้านทั้งสาม
สูตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยม =
a
เมื่อ s =
b
c
s(s  a )( s  b)( s  c )
abc
2
เมื่อจะใช้สูตรจะต้องหาค่า s ก่อน
ใช้กบั
4
8
4
ตัวอย่างที่ 4) หาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม
สูตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = s(s  a )( s  b)( s  c )
7
5
6
เมื่อ s =
abc
2
แทนค่า ความยาวด้าน a = 7, b = 6, c = 5
765
= 182 = 9
เมื่อ s =
2
แทนค่า พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 9(9  7)( 9  6)( 9  5)
9( 2 )( 3)( 4 )
=
= 2 ×3 6
= 6 6 ตารางหน่วย
รูป
//
--
-- รู ปสี่ เหลี่ยมผืนผ้า
//
--
ชื่อ
--
รู ปสี่ เหลี่ยมจัตุรัส
--
รู ปสี่ เหลี่ยมคางหมู
//
--
--
//
รู ปสี่ เหลี่ยมด้านขนาน
สมบัติ
มุมทุกมุมมีขนาด 90 องศามีดา้ น
ตรงข้ามยาวเท่ากันสองคู่ และ
ขนานกัน
มุมทุกมุมมีขนาด 90 องศามีดา้ น
ทุกด้านยาวเท่ากัน และ ด้านตรง
ข้ามขนานกัน
ด้านคู่หนึ่งขนานกัน
มีดา้ นที่ขนานกันและยาวเท่ากัน
สองคู่
มุมตรงข้ามมี
ขนาดเท่ากัน
หาพื้นที่รูปสี่ เหลี่ยม
1) สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน × ด้าน
7
7
ตัวอย่างที่ 1) จงหาพื้นที่
สูตร พื้นที่รูปสี่ เหลี่ยม = ด้าน × ด้าน
ได้พ้นื ที่รูปสี่ เหลี่ยม = 7 × 7
= 49 ตารางหน่วย
2) สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง × ยาว
ตัวอย่างที่ 2) จงหาพื้นที่รูปสี่ เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 8 หน่วย
ยาว 12 หน่วย
8/
สูตร พื้นที่รูปสี่ เหลี่ยม = กว้าง × ยาว
12
/
ได้พ้นื ที่รูปสี่ เหลี่ยม = 8 × 12
= 96 ตารางหน่วย
3) สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = 12 × (ผลบวกของด้านคู่ขนาน) × สูง
ด้านคู่ขนาน
สูง
(หรื อระยะห่างระหว่างด้านคู่ขนาน)
ตัวอย่างที่ 3) จงหาพื้นที่จากรู ป
ในข้อนี้ดา้ นคู่ ขนานยาว 8 และ 12 สูง เท่ากับ 9
1 × (ผลบวกของด้านคู่ขนาน)×สูง
สู
ต
ร
พื
น
ที
่
ร
ู
ป
สี
่
เ
หลี
่
ย
ม
=
้
8
2
ได้พ้นื ที่รูปสี่ เหลี่ยม = 12 × (8 + 12) × 9
9
10
1
= 2 × 20 × 9
12
= 10 × 9
= 90
ตารางหน่วย
1.1 รูปเรขาคณิตสามมิติ
รู ปเรขาคณิ ตสามมิติที่จะศึกษาในบทนี้ ได้แก่
1.1.1 ปริซึม หมายถึงรู ปเรขาคณิ ตที่มีฐานทั้งสองเป็ นรู ปหลายเหลี่ยมที่
เท่ากันทุกประการ ซึ่งอยูบ่ นระนาบที่ขนานกันและด้านข้างแต่ละด้าน
เป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมด้านขนาน
ส่ วนต่างๆของปริ ซึม
นอกจากปริ ซึมที่มีฐานเป็ นรู ปเหลี่ยมดังข้างต้นแล้ว เราอาจพบปริ ซึมที่มี
ฐานเป็ นรู ปเหลี่ยมชนิดใดๆ ก็ได้ เช่น
1.1.2 ทรงกระบอก เป็ นรู ปเรขาคณิ ตสามมิติที่มีฐานทั้งสองเป็ นรู ปวงกลมที่
เท่ากันทุกประการและอยูบ่ นระนาบที่ขนานกัน และเมื่อตัดด้วยระนาบที่
ขนานกับฐานแล้วจะได้หน้าตัดเป็ นรู ปวงกลมที่เท่ากันกับฐานทุกประการ
• ส่ วนต่างๆของทรงกระบอก
1.1.3 พีระมิด เป็ นรู ปเรขาคณิ ตสามมิติที่มีฐานเป็ นรู ปหลายเหลี่ยมใดๆ มี
ยอดแหลมที่ไม่อยูบ่ นระนาบเดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็ นรู ป
สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่ วมกันที่ยอดแหลมนั้น
• ส่ วนต่างๆของพีระมิด
พีระมิดตรงเป็ นพีระมิดที่มีฐานเป็ นรู ปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มี
หน้าทุกหน้าเป็ นรู ปสามเหลี่ยมหน้าจัว่ ทาให้สนั ทุกสันของพีระมิดยาวเท่ากัน
• เราเรี ยกชื่อพีระมิดชนิดต่างๆ ตามลักษณะของฐานของพีระมิด
1.1.4 กรวย เป็ นรู ปเรขาคณิ ตสามมิติที่มีฐานเป็ นรู ปวงกลม มียอดแหลมที่
ไม่อยูบ่ นระนาบเดียวกันกับฐาน และเส้นที่เชื่อมต่อระหว่างจุดยอดและ
จุดใดๆบนขอบของฐานเป็ นส่ วนของเส้นตรง
• ส่ วนต่างๆ ของกรวย
1.1.5 ทรงกลม เป็ นรู ปเรขาคณิ ตสามมิติที่มีผวิ โค้งเรี ยบ จุดทุกจุดบนผิวโค้ง
นี้จะอยูห่ ่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็ นระยะทางเท่ากันเสมอ
• ส่ วนต่างๆของทรงกลม
1.2 ปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติ
• ปริ มาตรของปริ ซึม = พื้นที่ฐาน  ความสูง
ตัวอย่ าง
1. จงหาปริ มาตรของปริ ซึมสี่ เหลี่ยมมุมฉาก ดังรู ป
2. จงหาปริ มาตรของปริ ซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรู ป
3. จงหาปริ มาตรของปริ ซึมสี่ เหลี่ยมคางหมูที่มีขนาดดังรู ป
1.2.2 ปริมาตรของทรงกระบอก
2
ปริ มาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน  ความสูง =  r h
เมื่อ r แทนรัศมีของฐาน และ h แทนความสูงของทรงกระบอก
ทรงกระบอกกลวง หรื อวงแหวน
ตัวอย่ าง
1. จงหาปริ มาตรของทรงกระบอก ดังรู ป
2. ถังน้ าทรงกระบอกใบหนึ่งสูง 6 เมตร มีเส้นผ่านศูนย์กลางของปากถัง
ยาว 8 เมตร จงหาปริ มาตรถังนี้
3. ถังเก็บน้ าทรงกระบอกวัดความยาวรอบปากถังภายนอกได้ 132
เซนติเมตร มีความหนา 4 เซนติเมตร สูง 2 เมตร จะจุน้ าได้ท่าไร
4. ถังน้ าทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมีฐานยาว 4 นิ้ว มีปริ มาตร 160
ลูกบาศก์นิ้ว จงหาความสูงของถังนี้
5. วงแหวนเหล็กอันหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกและภายในยาว 4
เซนติเมตร และ1.4 เซนติเมตร ตามลาดับ สูง 0.2 เซนติเมตรจงหา
ปริ มาตรวงแหวนนี้
1.2.3 ปริมาตรของพีระมิด
1
ปริ มาตรของพีระมิด =  พื้นที่ฐาน  ความสูง
3
ตัวอย่ าง
1. กาหนดส่ วนต่างๆ ของพีระมิดฐานเป็ นหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ดัง
ปรากฏในตาราง จงเติมขนาดของส่ วนต่างๆที่ยงั ไม่ได้ระบุในช่องว่างให้
ถูกต้อง
2. พีระมิดแก้วฐานสี่ เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 3 นิ้ว ยาว 4 นิ้ว และสูง 5 นิ้ว ใช้
สาหรับการทดลองเรื่ องการกระจายของแสง ปริ มาตรของพีระมิดนี้เป็ น
เท่าใด
3. กาหนดพีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่า มีความยาวด้านของฐานยาวด้าน
ละ 4 เซนติเมตรและความสูงเป็ น 9 เซนติเมตร จงหาปริ มาตรของพีระมิด
นี้
1.2.4 ปริมาตรของกรวย
1
1 2
ปริ มาตรของกรวย = (ปริ มาตรทรงกระบอก) =  r h
3
3
ตัวอย่ าง
1. กาหนดกรวยที่มีรัศมีของฐานเท่ากับ r เซนติเมตร มีความสูงของกรวย
เท่ากับ h เซนติเมตร และมีปริ มาตรของกรวยเท่ากับ v ลูกบาศก์เซนติเมตร
1.1 จงหา v เมื่อกาหนด r = 14 cm และ h = 21 cm (   227 )
1.2 จงหา r เมื่อกาหนด v = 800π ลูกบาศก์เซนติเมตร และ h = 24 cm
1.3 จงหา h เมื่อกาหนด v =300πลูกบาศก์เซนติเมตร และ r = 6 cm
1.2.5 ปริมาตรของทรงกลม
4 3
ปริ มาตรของทรงกลม =  r
3
เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม
ตัวอย่ าง
1. จงหาปริ มาตรของทรงกลม เมื่อมีเงื่อนไขดังนี้
22
1.1) r = 21 cm และ  
1.2) r = 3 cm และ   3.14
7
พื ้นที่ผิวปริ ซมึ
พื ้นที่ฐาน
ปริซมึ ห้ าเหลี่ยม
พื ้นที่ผิวข้ าง = ความยาวรอบฐาน x ความสูง
พื ้นที่ฐาน
สูตร พื ้นที่ผิวปริ ซมึ =
พื ้นที่ฐานทังสอง
้
+ พื ้นที่ผิวข้ างปริ ซมึ
นับเป็ น ตารางหน่วย
ตัวอย่ างที่ 1
3
12
แท่ งปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้ า
จงหาพืน้ ที่ผิว
3
12
8
3 8
8
พื ้นที่ฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้ า = กว้ าง x ยาว
=8x3
= 24
พื ้นที่ผิวข้ างปริ ซมึ = ความยาวรอบฐาน x ความสูง
= ( 3 + 8 + 3 + 8 ) x 12 = 264
พื ้นที่ผิวปริซมึ = พื ้นที่ฐานทังสอง
้ + พื ้นที่ผิวข้ างปริซมึ
= (2 x 24) + 264
= 48 + 264
= 312 ตารางหน่วย
พื ้นที่ผิวของทรงกระบอก
h
r
2r
สูตร
พื ้นที่ผิวของทรงกระบอก =
พื ้นที่ผิวของทรงกระบอก
พื ้นที่ผิวข้ าง
+ พื ้นที่ฐานทังสอง
้
= 2rh + 2(r2)
เมื่อ r แทนรัศมีของฐาน
และ h แทนความสูงทรงกระบอก
สูตร
พื ้นที่ผิวข้ างของทรงกระบอก
= 2rh
สูตร
พื ้นที่ฐานทังสองทรงกระบอก
้
= 2(r2)
กรณีมีฐานเพียง1 ชิ ้น
สูตร
พื ้นที่ฐานทรงกระบอก
= r2
ตัวอย่างที่ 1 กระป๋ องใบหนึง่ สูง 14 เซนติเมตรมีเส้ นผ่านศูนย์กลางยาว
6
เซนติเมตรต้ องการปิ ดกระดาษรอบข้ างกระป๋ องจะต้ องใช้ กระดาษกว้ างยาวเท่าไร มีพื ้นที่
เท่าไร
วิธีทา
ความกว้ างของกระดาษ
กระป๋ อง
h
= ความสูงของกระป๋ อง
= 14 เซนติเมตร
กระดาษ
2r
ความยาวของกระดาษ
= ความยาวรอบฐานทรงกระบอก
= 2r
ในที่นี ้ รัศมีกระป๋ อง ( r ) =
สูตร ความยาวของเส้ นรอบวงกลม =
ได้ ความยาวของกระดาษ
เส้ นผ่านศูนย์กลาง
2
= 62
= 3
2r
=
=
นาเศษ 2 คูณกับ 22
คูณกับ 3ได้ 132
×3
2 × 22
7
132
132 หารด้ วย 7
7
= 18.85 เซนติเมตร
= พื ้นที่ผิวข้ างทรงกระบอก
พื ้นที่ของกระดาษที่ใช้ ปิดข้ างกระป๋ อง
สูตร พื ้นที่ผิวข้ างทรงกระบอก
= 2 r h
=
2
2 × 22 × 3 × 14
7
1
2 × 22 × 3 × 2
=
264
ได้ พื ้นที่ของกระดาษที่ใช้ ปิดข้ างกระป๋ อง =
ใช้ ความกว้ างของกระดาษ
ความยาวของกระดาษ
ตารางเซนติเมตร
14 เซนติเมตร
18.85 เซนติเมตร
พื ้นที่ของกระดาษที่ใช้ ปิดข้ างกระป๋ อง
264 ตารางเซนติเมตร
ตารางเซนติเมตร
พื ้นที่ผิววงแหวน
1.พื ้นที่หน้ าตัดทังสอง
้
= 2 (R2 – r2 )
2.พื ้นที่ผิวด้ านนอก = 2Rh
3.พื ้นที่ผิวด้ านภายใน
= 2rh
พืน้ ที่ผิววงแหวน
= 2 (R2 – r2 ) + 2Rh + 2rh
h
รัศมี
ภายใน ใช้
r
h
r
R
รัศมีภายนอก ใช้ R
h
h
ส่วนสูง
ใช้ h
พื ้นที่ผิวด้ านใน
พื ้นที่ผิวด้ าน
นอก
พื ้นที่หน้ าตัด