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Lista 3!!!
3. Um oscilador criticamente amortecido,partindo da posição de equilíbrio,
recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial v0. Verifica-se que
ele passa por seu deslocamento máximo, igual a 3,68 m, após 1 segundo.
(a) Qual é o valor de v0?
(b) Se o oscilador tivesse um deslocamento inicial x0 = 2 m com a mesma
velocidade inicial v0, qual seria o valor de x no instante t?
(b) x(t) = e−t (2+12t)
R: (a) v0 = 10 m/s
Vamos construir as equações básicas e impor as condições iniciais propostas.
x(t ) e
t
2
a bt
dx(t )
v(t ) e
dt
2
t
2
a bt e
t
2
b
O caso crítico
O caso super crítico
O caso amortecido
x(t 0) e
( t 0 )
2
a b(t 0) 0 x(0) 0 a
Em t = 0 : x(0) = 0 a = 0
v(1s) e
2
( t 1)
2
(a 0) b(t 1s) e
b b 0 b b 0
2
2
( t 1)
2
b0
0 1Hz
b(t 1s) 3,68m
x(t ) e
3.68m / s
b
b 10m / s
1
e
1Hz ( t 1s )
Item a: A velocidade inicial será:
v(0) 1Hze1Hz (t 0) (a 0) 10m / s(t 0) (10m / s)e1Hz (t 0)
v(0) 10m / s
Item b: Para uma condição inicial de partida em Xo = 2m temos:
x(t 0) e
1Hz (t 0)
a b(t 0) 2m
A condição inicial de partida resulta que a = 2m
x(t ) e 2m bt
t
A velocidade inicial é dada sendo 10m/s, então obtemos o valor de b:
v(t 0) 10m / s 1Hze1Hz ( 0) 2m b(0) e 1Hz ( 0)b
10m / s 1Hz2m b b 12m / s
x(t ) e
1Hz (t )
2m 12m / s(t )
4. (Poli 2006) O Gráfico de x(t), mostrado na figura abaixo, representa a equação
horária de um oscilador criticamente amortecido, para um sistema composto de
um corpo de massa m = 1, 0 Kg preso a uma mola de constante elástica k e
imerso em um líquido viscoso, de coeficiente de resistência viscosa.
(a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo será nula, no intervalo
de tempo mostrado no gráfico?
A velocidade é zero quando a
tangente da curva for zero.
Isso corresponde em t = 3 s
(b) A equação horária x(t) pode ser escrita como:
x(t) = e−/2t(a + bt)
Podemos derivar x(t) duas vezes e montar a equação diferencial.
E em seguida mostramos que a identidade vale:
Determine os valores de a e b.
(c) Determine a constante de decaimento e a constante elástica k da mola.
(d) Determine o valor da velocidade inicial do oscilador.
R: (a) t=3s; (b) a = 0, 5 m e b = 0, 5 m/s; (c) = 1 s−1; (d) v = −0.75 m/s.
Oscilações livres com amortecimento viscoso proporcional a velocidade.
f
visc.
z
dx
b
dt
Mx bx kx
b
2M
é o atrito viscoso.
t
x(t ) xmaxe cos(1t )
Freqüência angular com dissipação viscosa.
2
T
k b
M 2M
2
Item b: Solução da Equação do Movimento com Atrito Viscoso
d 2 x(t )
dx(t )
Mx bx kx M
b
kx(t )
2
dt
dt
Vamos testar uma solução com a função:
x(t ) Aet
dx (t )
A e t
dt
2
d x(t )
2 t
A
e
2
dt
As suas respectivas derivadas são:
Que, substituídas na equação resulta:
2 t
t
t
MA e bAe kAe
2
M b k 0 a solução para x será:
2
b
k
b
2M
2M M
A solução fica na forma:
2
b
b
k
2 M 2 M M t
x(t ) Ae
Observe que temos duas
soluções possíveis!
2
k
b
é muito menor que
então o termo da raiz é complexo!
M
2M
Mas!
e fazendo:
Escrevendo a raiz na forma:
2
k b
i
t
b
t
M 2 M
2M
x(t ) Ae
e
Uma solução parcial será:
x(t ) Ae
b
t
2M
1
k b
M 2M
e i1t e i1t
2
2
Usando-se a relação de Euler:
A solução final tem a forma:
O termo de atrito viscoso é:
ei1t e i1t
cos1t
2
x(t ) xmaxet cos(1t )
b
2M
A freqüência angular desta oscilação será:
1
A oscilação esta em estado crítico quando:
0
k b
M 2M
2
b
2M
Também chamado caso degenerado:
Uma equação dif. de seg. grau tem 2 soluções
que no caso degenerado já sabemos uma.
x(t ) xmaxe
t
Como será a forma da segunda solução?
A outra solução é procurar a forma :
xI (t ) xII (t )et
e repetindo o
processo anterior de derivação sucessiva.
Concluiremos que a segunda solução :
d 2 xII (t )
0 xII (t ) A Bt
2
dt
E assim a solução geral do caso degenerado será:
xI (t ) ( A Bt)e
t
Item b:
Para t = 0 temos x = 0.5
Para t = 1s temos x = 0
x(t ) ( A tB)et
x(0) ( A 0B)e 0 0.5 A 0.5
x(1s) (0.5 (1s) B)e 1s 0 B 0.5
x (t ) (0.5 0.5t )e
t
Item c:
Se v(3) = 0
x (t ) (0.5 0.5(3)) e ( / 2) 3 0.5e ( / 2 )3 0
2
EXTRAIR O VALOR DE GAMA e o k da mola :
2
0.5 1s
1
2
k
M
A VELOCIDADE SERÁ:
1
x (0) (0.5 0.5(0)) e (1/ 2) 0 0.5e (1/ 2 ) 0 0.75m / s
2
A equação de d´Alembert
y ( x, t ) 1 y ( x, t )
2
0
2
2
x
v
t
2
2
A solução da equação de d´Alembert tem a forma y(x,t) = f(x±vt)
onde o sinal (–) significa que a propagação será progressiva () e
(+) regressiva () e v é a velocidade de propagação da onda.
A busca da sua solução implica em se impor condições de contorno.
A solução y(x,t) = f(x±vt)
pode ser simples ou muito
complexa!
20. (Poli 2006) Uma corda uniforme, de comprimento 20 m e massa 2 Kg, está
esticada sob uma tensão de 10 N.
Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude 3 cm e
frequencia de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é
de 1,5 cm para cima.
(a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda da onda
transversal progressiva que é produzida na corda.
(b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y de um
ponto da corda situado a uma distância x da extremidade que se faz oscilar,
após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade.
(c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.
Se a massa é 2Kg e o comprimento 20m a densidade linear da corda é :
1
2 Kg / 20 m 0,1Kgm
A velocidade é dada por:
V
O comprimento de onda é dado por:
Onde :
f 5s
F
10 N
10 m / s
0 ,1Kg / m
f V
1
f 5s 10m / s
1
2m
2 y ( x, t ) 1 2 y ( x, t )
2
0
2
2
x
V
t
Uma solução geral da equação de d´Alembert é:
y ( x, t ) A cos(kx t )
2
2
k
1m 1
2m
2f 2 5 s 1 10 s 1
A amplitude A é 3cm 0,03m e a fase se obtém impondo y(0,0) = 0,015m( /3
2m
3cm
A potência média é :
I kTA / 2
2
1
10 s
k m
T 5 s 1
A 0,015m
12. Considere duas partículas A e B cada uma com massa m conectadas por
uma mola de constante elástica k e comprimento natural. Cada partícula está
ligada a dois suportes C e D por duas molas com as mesmas características da
primeira mola.Os dois suportes são separados por uma distância 3b, como
mostrado na figura (a). Em um dado instante de tempo t o deslocamento das
partículas A e B é x e y a partir da posição de equilíbrio resultando nas forças
mostradas na figura.
Calcule as frequências de oscilação do sistema.
m
d 2 x1
dt 2
2
m
d x2
dt
2
kx1 k c ( x2 x1 ) 0
kx2 k c ( x1 x2 ) 0
2
d x1
dt
2
2
d x2
dt
2
k kc
kc
(
) x1
x2 0
m
m
k kc
kc
(
) x2
x1 0
m
m
d 2 x1
dt 2
d 2 x2
dt 2
x1
q1 q2
2
2
d q1
k kc
kc
(
) x1
x2 0
m
m
k kc
kc
(
) x2
x1 0
m
m
x2
2
2
1 q1
2
2
2 q2
dt
2
d q2
dt
q1 q2
2
0
0
d 2 q1
dt2
12 q1 0
1
q1 q 2
2
q q2
x2 1
2
x1
k
m
d 2 q2
dt2
2
22 q 2 0
( k 2k c )
m
q1 (t ) C1 cos1t C 2 sin1t
q 2 (t ) C3 cos 2 t C 4 sin 2 t
x1 (t ) C1 cos1t C 2 sin1t C3 cos 2t C 4 sin 2 t
x2 (t ) C1 cos1t C2 sin1t C3 cos 2t C 4 sin 2t
1
k
m
2
( k 2k c )
m
x1 (t ) C1 cos1t C 2 sin1t C3 cos 2t C 4 sin 2 t
x2 (t ) C1 cos1t C 2 sin1t C3 cos 2t C 4 sin 2t
x1 (0) A
dx1
(0) 0 x2 (0) B
dt
dx2
(0) 0
dt
Modo Anti - Simétrico
Modo Simétrico
11. Duas partículas de mesma massa, igual a 250 g, estão suspensas do teto
por barras idênticas, de 0,5 m de comprimento e
massa desprezível, e estão ligadas uma à outra por uma mola de constante
elástica 25 N/m. No instante t = 0, a partícula 2 (figura abaixo) recebe um
impulso que lhe transmite uma velocidade de 10 cm/s.
Determine os deslocamentos x1(t) e x2(t) das posições de equilíbrio das duas
partículas (em cm) para t > 0.
R: x1(t) = 1,13 sen(4,43t) − 0,34 sen(14,8t)
x2(t) = 1,13 sen(4,43t) + 0,34 sen(14,8t)
FGrav. - mg -mgx/ -m02 x
2
d x1
dt
2
2
d x2
dt
2
2
0 x1
2
0 x2
Fmola k ( x1 x2 )
K ( x1 x2 )
K ( x1 x2 )
2
0
g /l
K k/m
2
d x1
dt
2
02 x1
2
d x2
dt
2
2
0 x2
2
d q1
dt
2
2
d q2
dt
2
1
q1 x1 x2
2
K ( x1 x2 )
K ( x1 x2 )
2
0 q1
2
2 q2
0
0
1
q 2 x1 x2
2
0
g
2
0 2 K
d 2 q1
dt 2
d 2 q2
dt 2
02 q1 0 q1 (t ) A1 cos(0t 1 )
22 q2 0 q2 (t ) A2 cos( 2t 2 )
q1
1
x1 x2 q 2 1 x1 x2
2
2
x1 (t ) q1 (t ) q 2 (t )
m 250g 0,250k
k 25N / m
x2 (t ) q1 (t ) q 2 (t )
0,5m
dx2 (0)
10cm / s 0,10m / s
dt
Dr. Sebastião Simionatto
FEP 2196 - 2009