Transcript pptx
f kx t
Reflexão de um pulso
(A) Extremidade fixa
f kx t
Parede exerce força para baixo: pulso é invertido
É como o problema de interfêrencia entre um pulso real e um virtual:
Corda virtual
(imaginária)
Deslocamento zero
(interferência destrutiva)
http://www.youtube.com/watch?v=LTWHxZ6Jvjs
(B) Extremidade livre
f kx t
f kx t
Extremidade livre não exerce força vertical: pulso é refletido sem se inverter
Corda virtual
(imaginária)
Deslocamento máximo
(interferência construtiva)
http://www.youtube.com/watch?v=aVCqq5AkePI
http://www.youtube.com/watch?v=1GyiHMj67JE
18.6 – Energia no movimento ondulatório
Onda transporta energia:
Energia cinética -
v
u: velocidade transversal
y( x, t ) ymsenkx t
dm
u
Energia cinética do elemento dm:
y
u
ym cos kx t
t
1
dK dm u 2 ; dm dx
2
1
dK dx 2 ym2 cos 2 kx t
2
dK 1
2 ym2 cos 2 kx t
dx 2
(densidade linear de
energia cinética)
Não nos interessa o valor instantâneo de dK/dx, mas sim seu valor médio
em um período:
dK
1
2 ym2 cos2 kx t
dx
2
Valor médio do
cos2:
cos2
1
2
cos
2
2
1
0 cos d 2
2
1
1/2
dK
1
2 ym2
dx
4
(densidade linear média
de energia cinética)
Energia potencial – como cada elemento dm da corda executa um
MHS, a energia potencial média é igual à energia cinética média!
Lembrando do MHS:
Então:
dU
1
2 ym2
dx
4
(densidade linear média
de energia potencial)
Energia total – soma da energia cinética com energia potencial
dE
dK
dU
1
2 ym2
dx
dx
dx
2
(densidade linear média
de energia mecânica)
dE
1
2 ym2
dx
2
(densidade linear média
de energia mecânica)
Desta forma, a energia mecânica média contida
em um pedaço Δx da corda é:
Como a onda percorre uma distância Δx=vΔt em
um intervalo Δt, a energia média transmitida neste
intervalo é:
A potência média da onda é a taxa de energia
transmitida (energia por unidade de tempo):
dE
E
x
dx
dE
E
vt
dx
1
P v 2 ym2
2
A potência é proporcional à velocidade, ao quadrado da
amplitude e ao quadrado da freqüência
Note que a amplitude é constante, e o mesmo vale para ondas planas em 3D
(conservação da energia)
Ondas esféricas (3D)
http://www.youtube.com/watch?v=vAW5zGGnGM0
Conservação da energia: potência emitida é
constante, energia se espalha por uma área
4πr2, densidade de energia então cai com
1/r2, amplitude cai com 1/r
Intensidade: potência por unidade de área
(unidades SI: W/m2)
Intensidade de uma onda
esférica cai com 1/r2
Capítulo 19 – Ondas sonoras
19.1,2 – Natureza das ondas sonoras
Som: ondas mecânica longitudinal. Sons audíveis: freqüência entre
20 Hz e 20 kHz (Kit LADIF)
Perturbação que se propaga: flutuações de pressão e densidade do
meio
compressão
expansão
0 m
0
0 m
x
0 m
0
0 m
x
( x, t ) 0 msenkx t
Flutuações de pressão são proporcionais às flutuações de densidade:
p( x, t ) p p0 pmsenkx t
Relação entre amplitudes de pressão e densidade
Módulo de (in)compressibilidade:
p
B
V / V
dV
d
V
Densidade:
m
m
1
d m d 2 dV
V
V
V
dp
0
m
p m
B
B
Importante: Nesta fórmula, entra o B adiabático (sem troca de calor) e não o
B isotérmico (temperatura constante): processo ocorre muito rapidamente e
não há tempo para troca de calor
Deslocamento das moléculas do meio:
Moléculas sofrem deslocamento longitudinal
Vamos considerar o deslocamento de um elemento de massa δm
Posição de
equilíbrio
Podemos mostrar (quadro-negro) que:
Se ( x, t ) msenkx t ,
s( x, t ) sm coskx t ,
m pm
onde sm
k0
kB
Velocidade longitudinal:
s
u x ( x, t )
t
sm cos kx t
t
smsenkx t
Ondas de deslocamento e densidade têm
diferença de fase de 90 graus:
19.3 – A velocidade do som
Vamos considerar um pulso de compressão propagando-se para a esquerda
em um tubo fechado. Analisando o problema no referencial do pulso, temos:
Região
comprimida
Δx
p
A
p+Δp
v
v+ Δv (Δv <0)
Velocidade do ar no
referencial do pulso
Elemento de fluido Δx leva Δt= Δx /v até entrar completamente na região
comprimida
Durante este intervalo, a
força média resultante
sobre o elemento é:
F pA p p A
Δx’
A
p
F pA
p+Δp
(p/ esquerda)
Δx’
A
p
F pA
Massa do elemento:
p+Δp
Aceleração média:
2a. Lei de Newton:
m Ax Avt
a v / t
pA Avt v / t
p
p
2
v
v
v / v
v
Assim:
Volume ocupado pelo ar antes:
V Avt
Volume ocupado pelo ar depois:
V Av vt
Desta forma:
p
v
B
V / V
2
v
B
V A v t
V
Avt
V v
V
v
v
B
(análogo a
v
Resultado obtido pela primeira
vez por Newton (“Principia”).
Porém Newton considerou a
propagação isotérmica, e com
isso encontrou v=280 m/s,
muito abaixo do valor
conhecido v=343 m/s
A explicação correta só veio em
1816 com Laplace: propagação
adiabática
propriedade
elástica
para a corda)
inércia