EE –05 Princípios de Telecomunicações AULA 3 Análise de Fourier

Série de Fourier Complexa  Seja uma função periódica com período T. Então a série de Fourier é tal que: f ( t )  1 2 a 0  n    1 ( a n cos( n  0 t )  b n sen( n  0 t ) Porém cos( n  0 t )  1 2 ( e jn  0 t  e  jn  0 t ) sen( n  0 t )  1 2 j ( e jn  0 t  e  jn  0 t )

Série de Fourier Complexa  Seja uma função periódica com período T. Então a série de Fourier é tal que:

f

(

t

)  1 2

a

0 

n

   1 ( 1 2 (

a n



jb n

)

e jn

 0

t

 1 2 (

a n



jb n

)

e



jn

 0

t

) Chamando C 0  1 2 a 0 ; C n  1 2 ( a n  jb n ) ; C n  1 2 ( a n  jb n )

Série de Fourier Complexa  Tem-se que: f ( t )  C 0  n    1 ( C n e jn  o t  C  n e  jn  0 t )  Onde C 0  1 2 a 0 ; C n  1 2 ( a n  jb n ) ; C n  1 2 ( a n  jb n )

Série de Fourier Complexa  Então a série de Fourier complexa é tal que: f ( t )  C 0  n    1 ( C n e jn  0 t  C  n e  jn  0 t )  Cuja representação é dada por:

f

(

t

) 

n

   

c n e jn

 0

t

Determinação dos coeficientes da série de Fourier complexa  Os coeficientes C n podem ser determinados por:

C n

 1 2 (

a n



jb n

) 

T

1 2 2 (

T



T

2  2

f

(

t

) cos(

n

 0

t

)

dt



T

2

j T



T

2  2

f

(

t

)

sin

(

n

 0

t

)

dt

) 

C n T

 1

T



T

2  2

f

(

t

)[cos(

n

 0

t

) 

j sin

(

n

 0

t

)] 

C n T

 1

T



T

2  2

f

(

t

).

e



jn

 0

t dt

,

para

n  0,  1,  2,  3,...

Espectro de freqüência complexo Sendo os coeficientes da série de Fourier complexa, números complexos, eles apresentam módulo e fase, tal que.

c n  ( a n  jb n )  | c n |    tan  1    b n a n   a n 2  b n 2

Exemplo 1  Determinar as linhas espectrais para a função periódica f(t), dada por um trem de pulsos retangulares de amplitude 1 e de duração d= 0.05 s, cujo período é de T=0,25 s 1 0.8

0.6

0.4

0.2

0 -0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Exemplo 1  Esta função pode ser modelada matematicamente por: f ( t )  1 se d/2  t  d/2 0 se T/2  t  -d/2, d/2  t  T/2

Exemplo 1  Aplicando-se a definição dos coeficientes complexos da série de Fourier, tem-se que:

c n T

 1

T

 2

T

 2

f

(

t

).

e



jn

 0

t dt

 1 .

T

 1

jn

 0  

e



jn

 0

d

2  1

T d

 2

d

 1 .

e

2 

jn

 0

t dt

 1

T



e



jn

 0

t jn

 0

d

2 

d

2 

e



jn

 0 ( 

d

2 )   

d T

 

e jn

 0

d

2 2 

e



jn

 0

d

2

j

.

n

 0 .

d

2    

d T sin

(

n

 0

d d

2 ) mas  0

n

 0 2  2 

T

,

Assim

:

c n



d T n

.

 .

d sin

(

n

.



T

.

d

) 

d T

.

sinc

(

n

.

d T

),

onde

sinc(x)

T

 sin(  

x

x)

Exemplo 1  Aplicando as condições do problema, onde T=0,25 s e d=0,2 s, tem-se que c n  0 , 2 sin ( n .

0 , 2  ) n .

0 , 2 .

 0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 -0.05

-0.1

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

Teorema de Parseval  A potência em um sinal periódico, supondo que a sua função do tempo seja a voltagem e em um resistor de 1  é dada por:  T Potência    2 T [ f 2 ( t )] 2 dt O teorema de Parseval nos permite calcular a potência do sinal através dos seus coeficientes complexos, através de: T  T  2 [ f 2 ( t )] 2 dt  n     | c n | 2

Função delta de Dirac  Algumas funções são de extrema utilidade na análise de sinais. Uma delas é o Delta de Dirac, definida como:  ( t )  0   , se t , se t   0 0  Uma característica importante é que a integral da função desde  a +  , ou seja:      ( t ) dt  1

Função Delta de Dirac  Propriedades:      ( t ).

 ( t ).

dt   ( 0 )      ( t  (  t )   t 0 ).

 ( t ).

dt  ( t )   ( t 0 )  ( at )  | 1 a |  ( t ) f ( t ).

 ( t )  f ( 0 ).

 ( t )

 A função degrau A função degrau é definida como: u ( t )    1 , se t 0, se t   0 0 1 0.8

0.6

0.4

0.2

0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

A transformada de Fourier  Usada para sinais aperiódicos, é a generalização da série de Fourier. O espectro do sinal é contínuo, pois é aperiódico F (  )  f ( t )      f ( t ).

e  j  t dt 1 2      F (  ) e j  t d 

A transformada de Fourier  Como se pode observar, a transformada de Fourier tem parte real e complexa, ou seja: F (  )  R (  )  jX (  )  | F (  ) | .

e j  (  )  Propriedades da Transformada de Fourier: a) Linearidade se f 1 ( t )  então a 1 .f

1 ( F 1 (  ) e f 2 t )  a 2 f 2 ( t ) ( t )   F 2 (  ) a 1 .

F 1 (  )  a 2 .

F 2 (  )

Propriedades da Transformada de Fourier  Deslocamento no tempo f ( t  t 0 )  F (  ) e  j  t 0  Deslocamento em freqüência f ( at )  | 1 a | F     a   

Propriedades da Transformada de Fourier  Diferenciação f ' ( t )  j  F (  ) (  jt ) f ( t )  F ' (  )  Integração  t   f ( x ) .

dx  1 j  F (  )

Exemplo 1  Calcular a transformada da função pulso retangular rect(t), definida como: rect ( t )    0 1 , , se t se  1/2 -1/2 ou t  t  1/2  1/2  A Transformada de fourier é dada por:     f ( t ) e  j  0 t dt  1 /  1 /  2 2 e  j  0 t dt   d sin (  d 2 ) 2

Exemplo 1  O comportamento é dado pela figura abaixo:

Propriedades da Transformada de Fourier  Deslocamento em freqüência 0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 -0.05

-0.1

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100