Transcript O sinal x[n]

TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
2.5. Equações de Diferenças com
Coeficientes Constantes
Importante classe dos sistemas LTI.
Podem ser representadas como:
N
M
 a . y[n  k ]   b
k 0
k
m 0
m
.x[n  m]
1
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Exemplos:
1) Acumulador:
n
y[n] 
 x[k ]
k  
Sabendo que:
y[n  1] 
n 1
 x[k ]
k  
Podemos escrever:
y[n]  x[n] 
n 1
 x[k ]
k  
Logo:
y[n]  x[n]  y[n  1]
Que é a EDCC:
y[n]  y[n  1]  x[n]
2
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Podemos representar pela forma recursiva:
y[n]  x[n]  y[n  1]
E pelo diagrama de blocos:
x[n]
y[n]
+
Atraso de
1 amostra
y[n-1]
3
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2) Média Móvel:
Considerando M1=0 p/ ser um sistema causal, temos:
1 M2
y[n] 
x[n  k ]

M 2  1 k 0
x[n]
1/(M2+1)
x[n-1]
x[n-2]
x[n-3]
x[n-M2]
Atraso de
Atraso de Atraso de Atraso de
1 amostra
1 amostra 1 amostra 1 amostra
+
y[n]
FIR
4
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Resposta ao impulso:
1 M2
1
h[n] 
 [n  k ] 
.u[n]  u[n  M 2  1]

M 2  1 k 0
M 2 1
Ou:
1
h[n] 
. [n]   [n  M 2  1]* u[n]
M 2 1
Cascata de 2 sistemas:
x[n]
h1[n]
y[n]
+
1/(M2+1)
h2[n]
+
+
Atraso de
M2+1 amostras
Atraso de
1 amostra
Implementação recursiva
5
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Conclusão:
Um mesmo sistema pode ser representado (implementado)
de várias formas diferentes!
Cálculo recursivo das EDCC:
N
M
 a . y[n  k ]   b .x[n  k ]
k 0
k
k 0
k
N
M
k 1
k 0
a0 . y[n]   ak . y[n  k ]   bk .x[n  k ]
M
N
k 0
k 1
a0 . y[n]   bk .x[n  k ]   ak . y[n  k ]
6
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Logo:
M
N
bk
ak
y[n]   .x[n  k ]   . y[n  k ]
k 0 a0
k 1 a0
•P/ determinarmos completamente a saída y[n] p/
um sinal x[n] qualquer necessitamos de informações
adicionais
•Se essas informações auxiliares for na forma de uma
sequência de N valores de saída, podemos rearranjar a
EDCC para recorrência p/ passado ou p/ futuro.
•Linearidade, Invariância no Tempo e Causalidade,
dependem das informações auxiliares.
Se o sistema estiver inicialmente em repouso, então
o mesmo será Linear, Causal e Invariante no Tempo.
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2.6. Representação no Domínio
Frequência
Autofunção para Sistemas LTI
Autofunção de um sistema: A função de entrada é a mesma
função de saída multiplicada por uma constante.
P/ saída de um sistema LTI c/ resposta ao impulso h[n]
y[n] 

 h[k ]x[n  k ]
k  
Considerando a exponencial complexa:
x[n]  e
jn
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Temos:
y[n] 

j ( n  k )
h
[
k
].
e

k  

y[n]  e jn
 jk
h
[
k
].
e

k  
Definindo:
H () 

 jk
h
[
k
].
e

k  
Temos:
y[n]  H ().e jn
Logo: a exponencial complexa é uma autofunção do sistema
e H() seu autovalor correspondente.
H() é chamada de Resposta em Frequência do Sistema
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y[n]  x[n  nd ]
Ex.: Sistema de atraso ideal
•Aplicando a exponencial complexa na entrada: x[n]  e jn
Temos:
y[n]  e
j( nnd )
e
 jnd
.e
jn
Cte complexa
Logo:
H ()  e jnd
•Partindo da resposta ao impulso do sistema: h[n]   (n  nd )
Pela definição: H () 

 jk
h
[
k
].
e

k  
Obtemos: H () 

 jn
 jn

[
n

n
].
e

e

d
d
n  
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Observação importante:
A resposta em frequência de um sistema discreto LTI
é sempre uma função periódica em  com período 2.
H () 

 h[k ].e
 jk
k  
H (  2 ) 

 j (   2 ) k
h
[
k
].
e

k  
H (  2 ) 

 jk  j 2k
h
[
k
].
e
.e

k  
H (  2 .r )  H ()
p/  r
11
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Logo necessitamos representar H() apenas em um
Intervalo de 2.
•Baixas frequências:  próximo de 2k
 (0, 2,4,...)
•Altas frequências:  próximo de (2k+1)  (,3,...)
12
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Filtros seletores ideais
Passa-Baixas:
Passa-Altas:
Rejeita-Faixa:
Passa-Faixa:
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Ex.: Média Móvel
Media Movel
0.4
H () 

0.3
0.25
0.2
h[n]
1

,  M1  n  M 2

h[n]   M 1  M 2  1
0 , outros

0.35
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
 jn
h
[
n
].
e

n  
Logo:
M2
1
 jn
H () 
e

M 1  M 2  1 n   M1
N
N 1



Somatório da PG:   k 
N2  N1
1
k N
N2
1
2
1
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1
e
H () 

M1  M 2  1
jM1
 j ( M 2 1)
e
1  e  j
1
e j( M1  M 2 1) / 2  e j( M1  M 2 1) / 2  j( M 2 M1 1) / 2
H () 

e
 j
M1  M 2  1
1 e
1
e j( M1  M 2 1) / 2  e j( M1  M 2 1) / 2  j( M 2  M1 ) / 2
H () 

e
j / 2
 j / 2
M1  M 2  1
e
e
Euler:
Logo:
H () 
e jθ  e  jθ
sin( ) 
2j
e jθ  e  jθ
cos( ) 
2
1
sin( M1  M 2  1) / 2  j( M 2  M1 ) / 2

e
M1  M 2  1
sin / 2
Em notação polar: H ()  A.e j
15
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P/ M1=0 e M2=4 temos:
Filtro Passa-Baixas FIR c/ fase linear
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Vamos nos desviar um pouco do livro e seguir por outro caminho....
2.6.a. Série de Fourier
Contínuo: Todo sinal periódico com período T pode ser
Representado como uma soma de senos e cossenos
(exponenciais complexas) harmonicamente relacionados.
fT (t ) 

 F .e
k  
k
jk 0t
2
0 
T
1 t 0 T
 jk 0t
Fk  
f (t ).e
.dt
t
T 0
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Discreto:
x[n]  x[n  N ]
e
jk 0 n
2
0 
N
Sinal discreto periódico
Exponencial complexa discreta
Frequência fundamental
Sabemos que em um período definido N, existem
apenas N exponenciais complexas distintas.
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Logo: É possível representar um sinal x[n] periódico em N
através da soma de N exponenciais complexas
x[n] 
k0  N 1
 a .e
k  k0
k N
jk0 n
k
2
0 
N
ak : Coeficientes da Série de Fourier
1
 jk 0 n
ak  .  x[n].e
N n N
Série de Fourier é Periódica em N, com apenas
N coeficientes distintos:
ak  ak  N
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Convergência da Série de Fourier
Contínuo: Caso fT(t) tenha descontinuidades e truncarmos
Os coeficientes Fk em k=ko finito aparecerá o
Fenômeno de Gibbs.
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
20
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Discreto: Mesmo que x[n] tenha descontinuidades, devido
à Série ter um número finito de termos ela sempre converge.
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
21
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2.7. A Transformada de Fourier
para Sinais Discretos
Seja o sinal x[n] não-periódico
~
e x[n]
seu sinal periódico associado com período N
4
x[n]
x[n]
3
2
1
0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-N1
1
2
3
4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
12
N1
xp[n]
xp[n]
4
3
2
1
0
-8
-7
-6
-5
-N
-4
-3
-2
-1
0
1
N
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Podemos representar ~x[n] através da Série de Fourier:
~
x [n] 
 a .e
k N
k
2
jk n
N
1
ak 
N
~
 x[n].e
 jk
n N
~
x
[
n
]

x [n] p /  N1  n  N1
Como:
x[n]  0
p / | n | N1
Podemos escrever:
ou então:
1
ak 
N
N .ak 
2
n
N
N1
 x[n].e
 jk
2
n
N
n   N1

 x[n].e
 jk
2
n
N
n  
23
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Encontrando a envoltória de N.ak :
2
k
 k . 0  
N
Obtemos:
Discreto  Contínuo

X () 
 x[n].e
 jn
n  
Transformada de Fourier do Sinal Discreto x[n]
1
Logo: ak  . X ( k 0 )
N
2
0 
N
Os coeficientes da Série de Fourier do sinal ~x[n]
podem ser vistos como amostragem da Transformada
de Fourier em k.0 do sinal x[n].
24
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~
Substituindo ak em x[n]
~
x[n] 
 a .e
k N
Como:
jk0 n
k
~
x [n] 

k N
1
X (k0 )e jk0n
N
1 0

N 2
1
~
x [n] 
2
  .X (k ).e
k N
0
jk0 n
0
~
P/ termos sinal x[n] não-periódico: x[ n]  lim x [ n]
k 0  
N 
 0  d


25
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
1
Teremos: x[ n] 
2

2
1
X ().e jn .d
Determinação de 1 e 2
N1  N 1
Somatório em um período N:

2
k1  N1  k1. 0  N1.
N
N1
k 2  N1  N  1  k 2 . 0  N1  N  1 
Se N
k1. 0  1  lim N1.
N 
k 2 . 0   2  lim N1  N  1
N 
2
N
2
N
2
2
2
 lim N1
 lim ( N  1)
N N 
N N 
N
2  1  2
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TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
1
Logo: x[ n] 
2

1  2
1
X ().e jn .d
Assim temos o par de Transformada de Fourier
e Transformada Inversa de Fourier p/ Sinais Discretos - DTFT
X ()  F  x[n] 

 x[n].e
 jn
n 
1
x[n]  F  X () 
2
- 1
 X ().e
jn
.d 
2
27
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Exercício: Demonstrar que F
- 1
F  x[n]  x[n]
Condição p/ existência da Transformada de Fourier:
O sinal x[n] deve ser absolutamente somável
X () existe se

 x[n]  
n  
Condição Suficiente
28
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Como vimos em um sistema LTI:
H () 

 jn
h
[
n
].
e

n  
Resposta em frequência
Do Sistema LTI
Logo:
1
h[n] 
2
jn
H
(

).
e
.d

2
A reposta em frequência de um sistema LTI é
a Transformada de Fourier da sua resposta ao impulso.
P/ existir H() é necessário que h[n] seja absolutamente
somável, logo, qualquer sistema LTI estável possui
resposta em frequência contínua e finita.
29
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Como sistemas FIR possuem h[n] absolutamente somável,
portanto existe a H(), sendo sistemas estáveis.
Ex.:
x[n]  a .u[n]
n
X () 

n
 jn
a
u
[
n
].
e

n  

X ()   a e
n 0
n  jn


  a.e

 j n
n 0
1
Lembrando PG: S n  a0
1
n
30
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
No caso:
Logo:
Se:
a0  1   a.e

 j
n

 j 
1  a.e
X ()  1.
1  a.e  j
a 1
1
X ( ) 
 j
1  a.e
a 1
Não Existe X()
31
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
X () 
x[n]  (0.9) u[n]
n
1
1  0.9e  j
12
1
10
0.8
Fx[n]
x[n]=(0.9)n.u[n]
8
0.6
6
0.4
4
0.2
2
0
-0.2
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0
-5
X () 
x[n]  (0.9) u[n]
n
1
10
0.8
9
0.6
8
0.4
7
0.2
6
0
5
-0.2
4
-0.4
3
-0.6
2
-0.8
1
-1
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0
-5
0
0

pi
5
2*pi
2
10
15
1
1  0.9e  j
0
0
h[n]  a nu[n]
Se fosse:
O sistema será estável p/ a  1
e instável p/ a  1

5
2
10
15
32
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Ex.2: Passa-Baixas ideal
1,    c
H lp ()  
0,  c    
Resposta ao impulso: h[n] 
1
hlp [n] 
2
c
e
c

jn
1
2
jn
H
(

).
e
.d

2
 
1
d 
e jn
2jn
c
c

1 e jc n  e  jc n sin(c n)
hlp [n] 

n
2j
n
33
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
0.1
0.08
sin(c n)
hlp [n] 
n
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Sistema não-causal: h[n]0 p/ n<0
34
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Ex.: Transformada de Fourier de uma constante
x[n]  1
Não é absolutamente somável.
Logo X() não converge.
Exercício demonstrar que se:
X () 

 2 (  2r )
r  
Onde  é a função impulso de Dirac.
, p /   0
 ()  
0, outros
Então podemos obter:

  ()d  1
 () * X ()  X ()

x[n]  F- 1  X ()
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TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR

X () 
x[n]=1
 2 (  2r )
r  
2
1.8
1.6
1.4
2
2
2
2
2
2
x[n]=1
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-10
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4
-2
0
2
4
6
36
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Ex.3: Dada a seguinte Transformada constituída
por trem de impulsos periódico

 2 (  
X () 
r  
0
 2r )
Substituindo na expressão da anti-transformada:
1
x[n] 
2
1
x[n] 
2
1
x[n] 
2
jn
X
(

).
e
.d

2



jn
2

(




2

r
)
.
e
.d

0
 r  
Supondo 0[-,+]

jn
2

(




2

0
).
e
.d
0


37
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR

x[n]    (   0 ).e jn .d

x[n]  e
j0 n
Exponencial complexa!
Se 0=0 se reduz ao sinal constante.
x[n] não é absolutamente somável, então
a X() não converge, isto é, não é finita p/ todo .
38
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Uma classe bastante importante de sinais pode ser
expressa como a soma de exponenciais complexas:
x[n]   ak .e
j k n
k
Onde se utilizarmos apenas exponenciais complexas
Harmonicamente relacionadas: k=k.0
Retornamos à Série de Fourier.
 a .e
~
x [n] 
k N
Logo:
X () 
jk0 n
k
2
0 
N

 2 .a . (  
r   k
k
k
 2 .r )
Sinais Discretos Periódicos possuem
Transformada Contínua Periódica e formada por
trem de impulsos
39
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
2.8. Propriedades de Simetria da
Transformada de Fourier
Sinais Pares:
x[n]  x*[n]
Sinais Ímpares: x[n]   x*[n]
Todo sinal pode ser representado como:
x[n]  xe [n]  xo [n]
Onde:




1
x[n]  x*[n]
2
1
xo [n]  x[n]  x*[n]
2
xe [n] 
40
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41
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2.9. Teoremas da Transformada
de Fourier
Notação:
X ()  F  x[n]
x[n]  F - 1  X ()
F
x[n]  X ()
42
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Linearidade:
Deslocamento
no Tempo:
e frequência:
Reversão no
Tempo:
Diferenciação
em frequência:
Teorema da
Convolução:
Modulação
ou Janelamento:
Convolução periódica
Densidade Espectral de Energia
43
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44
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Exercícios:
1) Calcular X()
2) Calcular x[n]
x[n]  a n .u[n  5]
1
X ( ) 
(1  a.e  j )(1  b.e  j )
3) Calcular a resposta em frequência e
a resposta ao impulso do sistema LTI
1
1
y[n]  y[n  1]  x[n]  x[n  1]
2
4
45