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Teleinformática e
Redes I
Comunicação de Dados e
Representação de Sinais
Analógicos e Digitais
Aula 03
Profa. Priscila Solís Barreto
Bits, números e informação
Bit: numero com valor 0 ou 1
n bits permitem a numeração de 2n possibilidades
n bits: representação digital para 0, 1, … , 2n
Byte ou Octeto, n = 8
Palavra, n = 16, 32, ou 64
Campo n-bit no cabeçalho
Representação de n-bits de uma amostra de voz
Mensagem consistente de n bits
O número de bits requeridos para representar uma
mensagem é a medida do seu conteúdo de
informação
Mais bits → Mais conteúdo
2
Bloco vs. Informação de Stream
Bloco
Stream
Informações que ocorrem Informação que é
em um único bloco
produzida e transmitida
continuamente
Mensagem de texto
Arquivo de dados
Imagem JPEG
Arquivo MPEG
Tamanho = Bits / bloco
ou bytes/bloco
1 Kbyte = 210 bytes
1 Mbyte = 220 bytes
1 Gbyte = 230 bytes
Voz tempo real
Streaming vídeo
Taxa de bits= bits / seg
1 kbps = 103 bps
1 Mbps = 106 bps
1 Gbps =109 bps
3
Visão Abstrata da Transmissão de Dados
Transmissor
Receptor
Canal de Comunicação
Propriedades do canal de comunicação:
Largura de banda
Atraso de propagação e transmissão
Jitter
Perdas/Erros
Buffer
4
Atraso de Transmissão
L
R bps
L/R
tprop
d
c
Numero de bits na mensagem
Taxa de transmissão do sistema digital em bps
Tempo para transmitir a informação
Tempo para que o sinal propague pelo do meio
Distância em metros
Velocidade da luz (3x108 m/s)
Delay = tprop + ttrans = d/c + L/R (segundos)
Uso de compressão para reduzir L
Uso de modem rápido para aumentar R
Colocar servidores mais próximos para reduzir d
5
Compressão
Informação normalmente não representada
de forma eficiente
Algoritmos de compressão de dados
Representa a informação usando menos bits
Sem ruido: informação original recuperada de
forma exata
Ruidoso: recuperar informação aproximadamente
E.g. zip, compress, GIF, fax
JPEG
Balanço entre # bits e qualidade
Relação da compressão
6
#bits (arquivo orginal) / #bits (arquivo comprimido)
Informação de Stream
Um sinal de voz de tempo real deve ser digitalizado
e transmitido conforme é produzido
O nível de um sinal analógico varia continuamente
não tempo
7
Exemplo
CD
Largura de banda de 22KHz
Cada amostra tem 16bits e ou sinal é amostrado
a 44.000 amostras/seg
Em um sistema stereo (com dois canais):
44.000 amostas/seg * 16 bits/amostra x 2 canais=1.4
Mbps
Uma hora (3600s) de música = 633.600.000 bits ou
aprox. 604 Mbytes de informação
8
Um sistema de transmissão
Transmissor
Receptor
Canal de comunicação
Transmissor
Converte informação em um sinal adequado para
transmissão
Injeta energia no meio de comunicacação ou canal
O telefone converte voz em corrente elétrica
Fax Modens converte bits em tons audíveis (até 4khz)
Receptor
Recebe energia do meio
Converte o sinal recebido de forma adequada para ser
entregue ao usuário
Telefone converte corrente em voz
Modem converte tons em bits
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Problemas de Transmissão
Transmissor
Sinal
Recebido Receptor
Sinal
Transmitido
Canal de Comunicação
Canal de Comunicação
Par de fios de cobre
Cabo coaxial
Ondas de Radio (ar)
Luz em fibra óptica
Luz no ar
Infravermelho
Problemas na Transmissão
Atenuação do sinal
Distorção do sinal
Ruído
Interferência de outros
sinais
10
Comunicações Analógicas de Longa Distância
Segmento de transmissão
Fonte
Repetidor
...
Repetidor
Destinatário
Cada repetidor restaura o sinal analógico à sua forma original
A restauração é imperfeita
A Distorção não é completamente eliminada
O Ruído e interferências são parcialmente removidos
A qualidade do sinal diminui com ou número de repetidores
As comunicações são limitadas na distância
Ainda utilizado em sistemas analógicos de TV a cabo
Analogia: Copiar uma música usando um gravador de fita
11
Transmissão Analógica versus Digital
Na transmissão digital todos os detalhes devem ser reproduzidos
Recebido
Enviado
• Exemplos: AM, FM, TV aberta
Na transmissão digital somente níveis discretos devem ser reproduzidos
Recebido
Enviado
• Exemplo: telefonia digial, audio CD
0110101...
d metros
Canal de comunicação
12
0110101...
Em um canal de comunicação
Segmento de Transmissão
Fonte
Sinal atenuado com
distorção e ruído
Repetidor
Repetidor
Amp.
Equalizador
Receptor
Sinal recuperado
+
Ruído residual
Repetidor
13
Analógico vs. Transmissão Digital
Transmissão analógica : todos os detalhes devem ser produzidos
de forma precisa
Enviado
Distorção
Atenuação Recebido
Transmissão Digital : somente níveis discretos devem ser
reproduzidos
Enviado
Distorção
Atenuação
Recebido
Receptor simples:
O pulso original
era positivo ou
negativo?
14
Comunicações Digitais de Longa
Distancia
Segmento de transmissão
Fonte
Regenerador
...
Regenerador
Destino
O regenerador recupera a sequência original de
dados e a transmite ao segmento seguinte
Projetado para que a probabilidade de erro seja
pequena
Cada regeneração é como a primeira transmissão!
Comunicação é possível em distâncias muito longas
Sistemas digitais vs. sistemas analógicos
Menos potência, maiores distâncias, menor o custo do
sistema
Monitoramento, multiplexação, codificação, encriptação,
protocolos …
15
Repetidor Digital
Decision Circuit
& Signal
Regenerator
Amplifier
Equalizer
Timing
Recovery
16
Digitalização de um Sinal Analógico
Amostrar o sinal analógico em tempo e amplitude
Encontrar a melhor aproximação
Sinal original
3 bits / sample
valor amostragem
7D/2
5D/2
3D/2
D/2
Aproximação
-D/2
-3D/2
-5D/2
-7D/2
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Rs = Taxa de bits = nº de bits/amostra X nº de amostras/seg
Taxa de bits de um sinal digitalizado
Largura de banda Ws Hertz: a velocidade da variação
do sinal
Largura de banda mais alta → amostrar mais frequentemente
Taxa mínima de amostragem = 2 x Ws
Precisão da representação : intervalo de aproximação
de erro
Maior precisão
→ menor espaçamento entre valores de aproximação
→ mais bits por amostra
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Exemplo: Voz & Audio
Voz no telefone
Ws = 4 kHz → 8000
amostras/sec
8 bits/amostra
Rs=8 x 8000 = 64 kbps
Telefones celulares
usam algoritmos mais
poderosos de : 8-12
kbps
CD Audio
Ws = 22 kHertz → 44000
amostras/seg
16 bits/amostra
Rs=16 x 44000= 704 kbps
por canal de audio
MP3 usa algoritmos mais
poderosos de
compressão : 50 kbps
por canal de audio
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Transmissão de Informação de Stream
Taxa constante de bits
Sinais tais como a voz digitalizada produzem um
stream estável : ex. 64 kbps
A rede deve suportar a transmissão estável do
sinal, isto é, circuitos de 64 kbps
Taxa variável de bits
Os sinais tais como vídeo digitalizado e
comprimidos produzem stream que variam a taxa
de bits, de acordo com a movimentação e detalhe
na cena
A rede deve suportar taxa de transmissão variável
do sinal: ex. comutação de pacotes ou suavização
da taxa com circuito de taxa constante de bits
(traffic shaping)
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Qualidade de Serviço de Stream
Problemas na transmissão de rede:
Atraso: A informação é entregue no tempo
certo?
Jitter: A informação é entregue
suficientemente ‘suavizada’?
Perda: A informação é entregue sem perdas?
Se ocorrem perdas, a qualidade do sinal é
aceitável?
Aplicações e protocolos de aplicação são
desenvolvidos para lidar com estes problemas
21
Digitalização de Sinais Analógicos
Amostragem: obter amostras de x(t) em intervalos
uniformes de tempo
Quantização: mapear cada amostra em um valor
de aproximação finita
1.
2.
Pulse Code Modulation (PCM): conversa de telefone
CD audio
Compressão: para diminuir mais a taxa de bits,
aplica-se um método adicional de compressão
3.
Coding diferencial: conversa telefonia celular
Codificação Subband : MP3 audio
22
Taxa de Amostragem e Largura de Banda
Um sinal que varia mais rapidamente precisa ser
amostrada mais frequentemente
Largura de Banda mede a velocidade de variação
do sinal
x1(t)
10 10 1 0 1 0
...
x2(t)
11 1 1 0 000
...
...
...
t
t
1 ms
1 ms
Que é a largura de banda de um sinal ?
Como se relaciona a largura de banda com a taxa
de amostragem?
23
Caraterização do Canal:
Domínio da Frequência
Aincos 2ft
Aoutcos (2ft + (f))
Canal
t
t
A(f) =
Aout
Ain
24
O pulso
1 0000001
...
...
t
1 ms
25
Caraterização do Canal
Domínio do Tempo
h(t)
Canal
0
t
t
td
26
Introdução a Séries de Fourier
A análise de Fourier foi introduzida em 1822 no
trabalho “Théorie analyitique du chaleur” para
tratar da solução de problemas de valores na
fronteira e na condução do calor.
Mais de século e meio depois as aplicações
desta teoria são amplas: Sistemas Lineares,
Comunicações, Física moderna, Eletrônica,
Óptica, Processamento de Sinais, entre muitas
outras.
27
Funções Periódicas
Uma Função Periódica f(t) tem a seguinte
propriedade para todo valor de t:
f(t)=f(t+T)
A constante mínima para o qual se cumpre a
propriedade anterior é chamado do período (T)
da função.
Aplicando ciclicamente a propriedade pode-se
obter:
f(t)=f(t+nT), onde n=0,1, 2, 3,...
28
Funções Periódicas
Exemplo: ¿Cuál é o período da função
f(t) cos( 3t ) cos( 4t )
Solução.- Se f(t) é periódica então:
t T
t
t
f(t T) cos( t T
)
cos(
)
f(t)
cos(
)
cos(
3
4
3
4)
Mas cos(x+2k)=cos(x)
para qualquer inteiro k, então para
manter a igualdade é necessário que
T/3=2k
1, T/4=2k2
Ou seja ,
T = 6k1 = 8k2
onde k1 e k2 são inteiros,
O valor mínimo de T se obtém com k1=4, k2=3, ou
seja,T=24
29
Funções Periódicas
Gráfico da função
f(t) cos( 3t ) cos( 4t )
3
2
T
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
f(t)
1
0
-1
-2
24
-3
0
50
100
150
200
t
30
Funções Periódicas
Poderíamos pensar que qualquer soma de funções seno e
coseno produz uma função periódica.
Isto não é assim, por exemplo, consideremos a função
f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).
Para que seja periódica precisamos encontrar dois inteiros
m, n tais que
w1T= 2m, w2T=2n
onde
w
m
1
w2
n
Ou seja, a relação w1/ w2 deve ser um número racional.
31
Funções Periódicas
Exemplo: a função cos(3t)+cos(+3)t não é
periódica, já que w 3
não é um número
w
3
racional.
1
2
f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
2
f(t)
1
0
-1
-2
0
Series de Fourier. 32
5
10
15
t
20
25
30
Funções Periódicas
Tarefa 1 : Encontrar o período das seguintes
funções, se é que são periódicas:
1) f(t) = sen(nt), onde n é um inteiro.
2) f(t)= sen2(2t)
3) f(t)= sen(t)+sen(t+/2)
4) f(t)= sen(w1t)+cos(w2t)
5) f(t)= sen(2 t)
33
Série Trigonométrica de Fourier
Algumas funções periódicas f(t) de período T
podem expresar-se pela seguinte série,
chamada Série Trigonométrica de Fourier
f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...
+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...
onde w0=2/T.
e,
f ( t ) 12 a 0 [a n cos(nw0 t ) bnsen (nw0 t )]
n 1
34
Série Trigonométrica de Fourier
É possível escrever de uma maneira
ligeramente diferente a Série de Fourier, se
observamos que o termo
ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se pode escrever
como
a
b
n
an2 bn2 2 n 2 cos(nw 0 t)
sen(nw 0 t)
2
2
an bn
an bn
Podemos encontrar uma maneira mais
compacta para expressar estes coeficientes
pensando em um triângulo retângulo:
35
Série Trigonométrica de Fourier
bn
Cn a b
2
n
2
n
n
an
a b
2
n
2
n
bn
a b
2
n
an
2
n
cos n
sen n
Dessa forma, temos que :
Cn cos n cos( nw0 t ) senn sen (nw0 t )
Cn cos( nw0 t - n )
36
Série Trigonométrica de Fourier
Se também definimos C0=a0/2, a série de
Fourier pode-se escrever como
f ( t ) C0 C n cos( nw0 t - n )
n 1
Assim,
e
Cn a b
2
n
2
n
-1 b n
n tan
an
37
Série Trigonométrica de Fourier
Tarefa 2:
Definir adequadamente os coeficientes C0, Cn e
n, de maneira que a série de Fourier se possa
escrever como
f (t) C0 Cn sen(nw 0 t n )
n 1
38
Componentes e harmônicos
Assim, uma função periódica f(t) pode-se escrever
como a soma de componentes sinusoides de
diferentes frequências wn=nw0.
A componente sinusoide de frequência nw0 de
Cncos(nw0t+n) é chamada de n-éssimo
harmônico de f(t).
O primero harmônico (n=1) é o componente
fundamental e seu período é o mesmo que o de
f(t)
A frequência w0=2f0=2/T é a frequência angular
fundamental.
39
Componentes e harmônicos
A componente de frequência zero C0, é o
componente de corrente direta (cd) e
corresponde ao valor médio f(t) em cada
período.
Os coeficientes Cn e os ângulos n são
respectivamente as amplitudes e os ângulos
de fase dos harmônicos.
40
Componentes e harmônicos
f(t)
Exemplo: A função
f(t) cos( 3t ) cos( 4t )
Como foi mostrado tem um período T=24, sua
frequência fundamental é w0=1/12 rad/seg.
Componente fundamental é da forma:
3
0*cos(t/12).
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
2
Terceiro harmônico:
1
cos(3t/12)=cos(t/4)
0
Quarto harmônico:
-1
Cos(4t/12)=cos(t/3)
-2
24
-3
0
Series de Fourier. 41
50
100
t
150
200
Componentes e harmônicos
Exemplo: Como pode-se ver, a função anterior tem
tantas partes positivas como negativas, então seu
componente de cd é zero, em vez
f(t) 1 cos( 3t ) cos( 4t )
2
1
f(t)
Têm tantas partes
acima como
abaixo de 1
então, seu
componente de
cd é 1.
3
0
-1
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)
-2
-3
0
Series de Fourier. 42
24
50
100
t
150
200
Componentes e harmônicos
Tarefa 3
Qual é a componente fundamental, de
harmônicos diferentes de zero e o componente
DC de:
a) f(t) = sen2t
b) f(t) = cos2t ?
Mostrar o gráfico das funções e marcar nelas
o período fundamental e o componente de cd.
43
ortogonalidade de senos e cosenos
Um conjunto de funções fk(t) são ortogonais
no intervalo a<t<b se duas funções fm(t), fn(t)
de tal conjunto cumprem
0
a f m (t)f n (t)dt rn
b
para m n
para m n
44
ortogonalidade de senos e cosenos
Exemplo: as funções t e t2 são ortogonais no
intervalo –1< t <1, pois
1
1
t4
2
3
-1 tt dt -1 t dt 4
1
0
-1
Exemplo: As funções sen t e cos t são ortogonais
no intervalo –/2< t </2, pois
/2
sen 2t
sen t cos t dt
2
- / 2
Series de Fourier. 45
/2
- / 2
0
Cálculo dos coeficientes da série
Dada uma função periódica f(t), como se
calcula a série de Fourier?
f (t) 12 a0 [an cos(nw 0 t) bn sen(nw 0t)]
n 1
O primeiro passo é calcular os coeficientes
a0,a1,a2,...,b1,b2,... e considerando a
ortogonalidade das funções seno e coseno, o
processo pode ficar mais simples.
46
Cálculo dos coeficientes da Série
Multiplicando ambos lados por cos(nw0t) e
integrando de –T/2 a T/2, obtemos:
T /2
an T2
f (t ) cos(nw t )dt n 0,1,2,3,...
0
-T / 2
Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e
integrando de –T/2 a T/2, obtemos:
T /2
bn T2
f (t )sen(nw t )dt n 1,2,3,...
0
-T / 2
Similarmente, integrando de –T/2 a T/2,
obtemos:
T /2
a0 T2
f (t )dt
-T / 2
47
Cálculo dos coeficientes da Série
O intervalo de integração não precisa ser
simétrico a origem.
Como a ortogonalidade das funções seno e
coseno não só acontece no intervalo de –T/2 a
T/2, como em qualquer intervalo que cobre um
período completo:
(de t0 a t0+T, com t0 arbitrário)
Assim as fórmulas anteriores podem calcular
em qualquer intervalo que cumpra este
requisito.
48
Cálculo de os coeficientes da Série
Exemplo: Encontrar a Série de Fourier para a
seguinte função de período T:
f(t)
1
t
...
-T/
2
0
..
T/
2
T .
-1
Solução: A expressão para f(t) em –T/2<t<T/2 é
Series de Fourier. 49
- 1
f (t )
1
T
t 0
2
T
, para 0 t
2
, para -
Cálculo dos coeficientes da Série
coeficientes an:
T /2
an T2
f (t ) cos(nw t )dt
0
-T / 2
T /2
0
2
T - cos( nw0t )dt cos( nw0t )dt
0
-T / 2
T /2
0
1
1
2
sen (nw0t )
sen (nw0t )
T nw0
nw0
0
-T / 2
0, para n 0
Series de Fourier. 50
Cálculo dos coeficientes da Série
coeficiente a0:
T /2
a0
2
T
f (t )dt
-T / 2
T /2
0
2
T - dt dt
0
-T / 2
2
T - t
0
Series de Fourier. 51
0
-T / 2
t
T /2
0
Cálculo dos coeficientes da Série
coeficientes bn:
T /2
bn
2
T
f (t )sen(nw t )dt
0
-T / 2
T /2
0
2
T - sen (nw 0 t )dt sen (nw 0 t )dt
0
-T / 2
T /2
0
1
1
2
cos( nw 0 t )
cos( nw 0 t )
T
nw 0
nw 0
0
-T / 2
1
(1 - cos(n )) - (cos( n ) - 1)
n
2
1 - (-1) n ) , para n 0
n
Series de Fourier. 52
Cálculo dos coeficientes da Série
Série de Fourier: Finalmente a Série de Fourier
fica assim:
f (t )
Series de Fourier. 53
4
sen(w0t ) 13 sen(3w0t ) 15 sen(5w0t ) ...
Cálculo dos coeficientes da Série
• Veja os harmônicos 1, 3, 5 e 7 e a soma
destes termos da série para w0=p, ou seja, T=2
1.5
Componentes da Série de Fourier
Componentes
1
0.5
0
-0.5
Soma
fundamental
tercer harmônico
quinto harmônico
septimo harmônico
-1
-1.5
-1
-0.5
0
t
0.5
1
Cálculo dos coeficientes da Série
Tarefa: Encontrar a série de Fourier para o
seguinte sinal senoidal retificado de meia onda
de período 2.
Senoidal retificada de meia onda
1
0.8
f(t)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-6
-4
-2
0
t
2
4
6
55
Funções Pares e ímpares
Uma função (periódica ou não) é função par
(ou com simetria par) se seu gráfico é simêtrico
respeito ao eixo vertical, i. e. , a função f(t) é
par se f(t) = f(-t)
f(t)
-2
-
2
t
56
Funções Pares e ímpares
De forma similar, uma função f(t) é função
ímpar ou com simetria ímpar, se seu gráfico é
simêtrico respeito à origem, ou seja, se cumpre
ou seguinte: -f(t) = f(-t)
f(t)
-2
-
2
t
57
Funções Pares e ímpares
Exemplo:
Que funções são pares ou ímpares?
f(t) = t+1/t
g(t) = 1/(t2+1),
Solução:
Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), então f(t) é função
ímpar.
Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), então g(t)
é função par.
Series de Fourier. 58
Funções Pares e ímpares
Exemplo: A função h(t)=f(1+t2), onde f é uma
função arbitraria, é par ou ímpar?
Solução:
Se g(t)= 1+t2, então h(t)=f(g(t))
Ou seja: h(-t) = f(g(-t)),
Mas g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),
finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), então h(t) é função
par, sem importar como seja f(t).
Series de Fourier. 59
Funções Pares e ímpares
Exemplo: De acordo com o exemplo anterior,
todas as siguientes funções são pares:
h(t) = sen (1+t2)
h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)
h(t) = cos (2+t2)+1
h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2
etc...
Pois todas tem a forma f(1+t2)
Series de Fourier. 60
Funções Pares e ímpares
Como a função sen(nw0t) é uma função ímpar
para todo n0 e a função cos(nw0t) é uma
função par para todo n, é de esperar que:
Se f(t) é par, sua série de Fourier não terá
termos seno, então bn= 0 para todo n
Se f(t) é ímpar, sua série de Fourier não terá
termos coseno, então an= 0 para todo n
61
Funções Pares e ímpares
Por exemplo,
previamente :
o
sinal
quadrado,
analisado
f(t)
1
t
...
-T/
2
0
..
T/
2
T .
-1
É uma função ímpar, pois sua série de Fourier não
contem termos coseno:
f (t )
Series de Fourier. 62
4
sen(w0t ) 13 sen(3w0t ) 15 sen(5w0t ) ...
Simetria de Meia Onda
Uma função periódica de período T é
simétrica de meia onda, se cumpre a
propriedade
f ( t 12 T) -f ( t )
Ou seja, no seu gráfico as partes negativas são
um reflexo das positivas mas deslocadas meio
período:
f(t)
t
63
Simetria de Quarto de Onda
Se uma função tem simetria de meia onda e
também é função par ou ímpar, podemos dizer
que tem simetria de quarto de onda par ou
ímpar
Exemplo: Função com simetria ímpar de
quarto de onda:
f(t)
t
Series de Fourier. 64
Simetria de Quarto de Onda
Exemplo: Função com simetria par de quarto
de onda:
f(t)
t
Series de Fourier. 65
Simetria de Quarto de Onda
Tarefa 5:
Que tipo de simetria tem o seguinte sinal de
voltagem?
f(t)
t
66
Simetrias e coeficientes de Fourier
simetria
T /2
Nenhuma
an
2
T
f (t ) cos( nw0t )dt
-T / 2
T /2
Par
Funções na
série
coeficientes
an T4
T /2
bn
2
T
f (t ) sen (nw0t )dt
-T / 2
f (t ) cos( nw0t )dt
bn=0
0
T /2
ímpar
an=0
bn
4
T
f (t ) sen (nw0t )dt
0
0
n par
0
n par
T /2
T /2
meia onda an 4
b
f (t ) cos( nw0t )dt n impar n T4 f (t ) sen(nw0t )dt n impar
T
0
0
Senos e
cosenos
únicamente
cosenos
únicamente
senos
Senos e
cosenos
ímpares
Simetrias e coeficientes de Fourier
simetria
T /2
Nenhuma
Funções
na série
coeficientes
an
2
T
f (t ) cos( nw 0 t )dt
-T / 2
T /2
bn
f (t )sen(nw t )dt
2
T
0
-T / 2
an=0 (n par)
¼ de onda
par
T /4
a n T8
Só
cosenos
ímpares
bn=0
f (t ) cos( nw 0 t )dt
Senos e
cosenos
0
(n impar )
bn=0 (n par)
¼ de onda
ímpar
T /4
an=0
bn
8
T
f (t )sen(nw t )dt
0
0
(n impar )
só
senos
ímpares
68
simetrias e coeficientes de Fourier
Por exemplo, o sinal quadrado, já analisado
em um exemplo prévio:
1
...
-T/
2
f(t)
0
..
T/
2
T .
t
-1
É uma função com simetria de ¼ de onda
ímpar, então a sua série de Fourier só contém
termos seno de frequência ímpar:
4
f ( t ) sen(w0 t ) 13 sen (3w0 t ) 15 sen(5w0 t ) ...
Series de Fourier. 69
Fenômeno de Gibbs
Se a série de Fourier para uma função f(t) se
trunca para alcançar uma aproximação em
soma finita de senos e cosenos, é natural
pensar que a medida que agreguemos mais
harmônicos, a somatoria se aproximará mais a
f(t).
70
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 1 armónico
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
1 harmônico
0.5
1
71
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 3 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
3 harmônicos
0.5
1
72
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 5 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
5 harmônicos
0.5
1
73
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 7 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
7 harmônicos
0.5
1
74
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 13 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
15 harmônicos
0.5
1
75
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 50 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
50 harmônicos
0.5
1
76
Fenômeno de Gibbs
1.5
Serie con 100 armónicos
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
100 harmônicos
0.5
1
77
Forma Complexa da Série de
Fourier
Consideremos a série de Fourier para uma
função periódica f(t), com período T=2/w0.
f (t) 12 a0 [an cos(nw 0 t) bn sen(nw 0t)]
n 1
É possível obter uma forma alternativa usando
as fórmulas
de Euler:
cos(nw 0 t) 12 (e jnw 0 t e - jnw 0 t )
onde
sen(nw 0 t)
1
2j
(e
jnw 0 t
-e
- jnw 0 t
)
j -1
78
Forma Complexa da Série de Fourier
Fazendo a substituição:
f (t) 12 a0 [an 12 (e jnw 0 t e - jnw 0 t ) bn
1
2j
(e jnw 0 t - e - jnw 0 t )]
n 1
E sabendo que 1/j=-j
f (t) 12 a0 [ 12 (an - jbn )e jnw 0 t 12 (an jbn )e - jnw 0 t ]
definimos:
n 1
c0 12 a0, cn 12 (an - jbn ), c-n 12 (an jbn )
O que é coerente com a equação para bn, pois
b-n=-bn, dado que a função seno é ímpar.
79
Forma Complexa da Série de Fourier
A série pode-se escrever como
f (t) c 0 (c n e jnw 0 t c -n e - jnw 0 t )
n 1
Ou,
-
n 1
n -1
f (t) c 0 c n e jnw 0 t c n e jnw 0 t
Então,
f (t)
c e
n
jnw 0 t
n -
80
Forma Complexa da Série de Fourier
A expressão obtida
c e
f (t)
n
jnw 0 t
n -
É a forma Complexa da série de Fourier e seus
coeficientes cn podem ser obtidos a partir dos
coeficientes an, bn, ou:
T
cn
1
T
f (t)e
- jnw 0 t
dt
0
Para n=0, 1, 2, 3, ...
81
Forma Complexa da Série de Fourier
Os coeficientes cn são números complexos, e
também podem-se escrever em forma polar:
cn cn e
j n
Obviamente, c-n c*n cn e- j n
1 2 2
Onde: c n 2 an bn ,
Para todo
n0,
bn
n arctan( - )
an
Para n=0, c0 é um número real: c 0 12 a0
82
Forma Complexa da Série de Fourier
Exemplo. Encontrar a forma complexa da série
de Fourier para a função:
1
...
-T/
2
f(t)
0
..
-1
T/
2
T .
t
Solução 1. Os coeficientes na
trigonomêtrica (an e bn):
an=0 para tudo n
e
n
2
bn n [1 - (-1) ], para todo n
forma
83
Forma Complexa de a Série de Fourier
Podemos calcular os coeficientes cn de:
c n 12 [an - jbn ] - j 12 n2 [1 - (-1) n ]
c n - j n1 [1 - (-1) n ]
Então a Série Complexa de Fourier fica
f
(t) 2 j(... 15 e - j 5w 0 t 13 e - j 3w 0 t e - jw 0 t
- e jw 0 t - 13 e j 3w 0 t - 15 e j 5w 0 t - ...)
84
Forma Complexa de a Série de Fourier
Solução 2. Também podemos calcular os
coeficientes cn mediante a integral
T
cn
1
T
f (t )e
- jnw0t
dt
0
T /2
T
0
T /2
T1 ( e - jnw0t dt
(
1
T
1
- jnwo
e
- jnw0t
- jnw0t
e
dt )
T /2
-
1
- jnwo
e
- jnw0t
0
1
- jnwoT
Series de Fourier. 85
[(e
- jnw0T / 2
- 1) - (e
T
)
T /2
- jnw0T
-e
- jnw0T / 2
)]
Forma Complexa de a Série de Fourier
Como w0T=2 e temos
cn
1
- jnwoT
e
j
cos jsen
[( -1) - 1) - (1 - (-1) )]
n
n
n
2
- j nwoT [1 - (-1) ]
-j
1
n
[1 - (-1) ]
n
o qual coincide com o resultado já obtido.
Series de Fourier. 86
Forma Complexa da Série de Fourier
Tarefa 6: Calcular os coeficientes cn para a
seguinte função de período 2.
a) A partir dos coeficientes an,bn
b) Diretamente da integral
Senoidal retificada de meia onda
1
0.8
f(t)
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-6
-4
-2
0
t
2
4
6
87
Espectros de Frequência Discreta
O gráfico da magnitude dos coeficientes cn
contra a frequência angular w da componente
correspondente é o espectro de amplitude de
f(t).
O gráfico do ángulo de fase n dos coeficientes
cn contra w, é o espectro de fase de f(t).
Como n só tem valores inteiros, a frequência
angular w=nw0 é uma variavel discreta e os
espectros
mencionados
são
gráficos
discretos.
88
Espectros de Frequência Discreta
Dada uma função periódica f(t), lhe
corresponde uma e somente uma série de
Fourier, i. e. um conjunto único de coeficientes
cn.
Por isso, os coeficientes cn especificam a f(t)
no
domínio da frequência da mesma
maneira que f(t) especifica a função no
domínio do tempo.
89
Espectros de Frequência Discreta
Exemplo. Para a função já analisada:
1
...
-T/
2
f(t)
0
..
T/
2
T .
t
-1
Encontramos
c n - j n1 [1 - (-1) n ]
Então,
cn
Series de Fourier. 90
1
n
[1 - (-1) n ]
Espectros de Frequência Discreta
O espectro de amplitude:
Espectro de Amplitude de f(t)
0.7
Cn
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-30
-20
-10
0
Frequência negativa (?)
n
10
20
30
Frequência
O eixo horizontal é um eixo de frequência,
(n=número de harmônico = múltiplo de w0).
91
Espectros de Frequência Discreta
Tarefa 7 :
Desenhar o espectro de amplitude para a
função senoidal retificada de ½ onda.
92
Potência e Teorema de Parseval
O valor médio de um sinal qualquer f(t) em um
período (T) pode-se calcular como a altura de
um rectângulo que tenha a mesma área que a
área abaixo da curva de f(t)
T
Area f ( t )dt
f(t)
0
1
Area=Th
h=Altura
média
t
T
93
Potência e Teorema de Parseval
Pelo anterior, se a função periódica f(t)
representa um sinal de voltagem ou corrente, a
potencia média entregue a uma carga
resistiva de 1 ohm em um período está dada
por
T /2
1
T
[ f (t)] dt
2
-T / 2
Se f(t) é periódica, também será [f(t)]2 e o valor
médio em um período será o valor médio em
qualquer outro período.
94
Potência e Teorema de Parseval
O teorema de Parseval nos permite calcular a
integral de [f(t)]2 mediante os coeficientes complexos cn de Fourier da função periódica f(t):
T /2
1
T
[ f (t )]
2
dt
c
n -
-T / 2
2
n
Ou também, em termos dos coeficientes an, bn:
T /2
1
T
[ f (t )]
-T / 2
2
dt a
1
4
2
0
1
2
(a
n 1
2
n
b )
2
n
95
Potência e Teorema de Parseval
Uma consequência importante do teorema de
Parseval é o seguinte resultado:
O valor quadrático médio de uma função
periódica f(t) é igual à soma dos valores
quadráticos médios de seus harmônicos,
T /2
1
T
[ f (t)] dt C
2
-T / 2
2
0
n 1
Cn
2
2
onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e
C0 é o componente DC.
96
Potência e Teorema de Parseval
No resultado anterior é conveniente encontrar a
relação entre os coeficientes complexos cn da
série
f (t)
c e
n -
jnw0 t
n
E os coeficientes reais Cn da série
f ( t ) C0 C n cos( nw0 t - n )
n 1
onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e
C0 é o componente DC.
97
Potencia e Teorema de Parseval
Cn a 2n b 2n ,
Por um lado
E
Então,
c n 12 an2 bn2
cn Cn
1
2
e
2
cn C
1
4
2
n
E para o harmônico f n (t) Cn cos(nw 0 t - n )
rms é
Seu valor
Cn / 2
2
C
então seu valor quadrático medio é
n /2
Para a componente
DC C0, seu valor rms é C0,
então seu valor quadrático médio será C02.
98
Potência e Teorema de Parseval
Exemplo. Calcular ou valor quadrático médio
da função f(t):
1
...
-T/
2
f(t)
0
..
-1
Solução.
Do teorema de Parseval
T/
T .
2
t
T /2
[ f (t)] dt c
-T / 2
e do exemplo anterior c n
então
Series de Fourier. 99
1
n
n -
[1 - (-1) n ]
8 1 1
1
cn 2 1 9 25 49 ...
n -
2
2
2
1
T
n
Potencia e Teorema de Parseval
A série numérica obtida converge a
1 1
1
1
... 1.2337
9 25 49
então,
1
T
T /2
[ f (t)] dt c
2
2
-T / 2
n -
n
8
2
(1.2337) 1
Como era de esperarse.
Então, que significa essa convergência ?
Series de Fourier. 100
Potencia e Teorema de Parseval
Tarefa 8
Calcular o valor quadrático médio para o sinal
senoidal retificado de meia onda de período 2.
Para que serve a relação entre a potência
média de um sinal periódico com os seus
coeficientes de Fourier ?
101
Exemplo
Determinar as linhas espectrais para a função
periódica f(t), dada por um trem de pulsos
retangulares de amplitude 1 e de duração d=
0.05 s, cujo período é de T=0,25 s
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
102
Exemplo
Esta função pode ser modelada matematicamente
por:
1 se - d/2 t d/2
f (t)
0 se - T/2 t -d/2, d/2 t T/2
103
Exemplo
Aplicando-se a definição dos coeficientes complexos da
série de Fourier, tem-se que:
cn
1
T
T
2
-
f (t ).e - jnw0t dt
T
2
e
sin( nw 0
d
)
2
cn
nw 0
d
T
d
2
d
- jnw0
2
-e
- jnw0t
1
1 e
- jnw0t
1
.
e
dt
T d
T - jnw 0
-
1 -1
.
T jnw 0
d
T
d
2
2
d
- jnw0 ( - )
2
mas w 0
d
2
d
2
d
jnw0 d
- jnw0
2
2
d e
e
T
d
2 j.nw 0 .
2
2
, Assim :
T
n. .d
)
d
n.d
sin( x)
T
. sin c( ), onde sinc(x)
n. .d
T
T
x
T
sin(
104
Exemplo
Aplicando as condições do problema,
onde T=0,25 s e d=0,2 s, tem-se que
0,2sin (n.0,2)
cn
n.0,2.
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
105
As tarefas 1 a 8
Devem ser feitas para praticar.
106
Espectro & Largura de Banda
1
0.8
0.6
0.4
0.2
30
33
36
39
42
30
33
36
39
42
27
24
21
18
15
9
12
6
3
0
frequency (kHz)
Espectro de x2(t)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
27
24
21
18
15
9
12
6
0
3
1.2
0
Espectro de um sinal :
magnitude das amplitudes
como função da frequência
x1(t) varia mais rápido não
tempo e tem conteúdo mais
alto de frequencia que x2(t)
A largura de banda Ws é
definida como ou intervalo
de frequencias em que ou
sinal tem uma potencia
significante, ou seja, ou
intervalo da banda que
contém 99% da potencia
total do sinal
0
Espectro de x1(t)
frequency (kHz)
107