Gerak & Sistem Koordinat
Download
Report
Transcript Gerak & Sistem Koordinat
BAB. 4
Gerak Dalam Sistem
Koordinat
4/10/2015
1
1. Koordinat Kartesian.
Letak materi (partikel) dalam sistem koordinat kartesian dinyatakan sebagai, (x, y dua dimensi)
atau (x, y, z tiga dimensi).
z
y
A (x, y, z)
A (x, y)
x
z
y
0
0
x
y
x
y
x
4/10/2015
2
2. Vektor Posisi.
Letak materi (partikel) dalam sistem koordinat
dapat dinyatakan sebagai bentuk vektor posisi.
Letak titik A dapat
z
dinyatakan
A (x, y, z)
persm vektor,
R
i
x
k
0
dengan
R = x i + y j + z k,
(3 dimensi), jika dua
j
y
dimensi, (z = 0) se-
hingga menjadi,
R = x i + y j.
4/10/2015
3
4. Kecepatan,
v
dR
dt
dx
i
dy
j
k
dt
dt
dt
dz
dx
dz
dy
k
j
i
v
dt
dt
dt
Besar kecepatan,
2
2
dz
dy
dx
v
dt
dt
dt
2
2
v v v
2
x
4/10/2015
2
y
2
z
4
5. Percepatan
a
dv
dz
dy
d dx
k
j
i
dt
dt
dt dt
dt
2
2
2
d x
d z
d y
k
j
i
a
2
2
2
dt
dt
dt
dv y
dv x
dv z
k
j
i
a
dt
dt
dt
atau
a a xi a y j a zk
Besar percepatan ,
d x
dt 2
2
a
a
4/10/2015
2
d y
dt 2
2
2
d z
2
dt
2
2
ax ay az
2
2
2
5
5. Persm Gerak.
Perpindahan, R = Ro + vo t + ½ a t2
Kecepatan, v = vo + a t
Nilai kecepatan, v2 = vo2 ± 2 a R
4/10/2015
6
Contoh.
Posisi awal suatu benda dinyatakan sebagai (100,
200) m. Dua menit kemudian berposisikan (120 m,
210 m). Berapa nilai v rata-rata dan arahnya ?
Penyelesaian.
Kecepatan pada koordinat x,
vxrt =
x 2 x1
t
120 m 100 m
10 m menit
1
2 menit
Kecepatan pada koordinat y,
v y rt
4/10/2015
y 2 y1
t
210 m 200 m
5 m menit
1
2 menit
7
Lanjutan.
Dengan demikian kecepatan rata-rata menjadi:
vrt
v
2
xrt
v
2
yrt
(10 m ) ( 5 m )
2
2
1
11 , 2 m menit
Arah kecepatan,
tan θ
4/10/2015
v yrt
v xrt
5
, sehingga
nilai 26 36
o
!
10
8
6. Koordinat Kutub dan Vektor Posisi.
y
r
rˆ
0
θ
r, θ
Koordinat kutub, menyatakan
A
letak suatu titik ditentukan
oleh besarnya sudut (θ) terhadap sb. x dan jarak titik
x yang bersangkutan (r) terhadap acuan (0).
letak titik A dinyatakan sebagai, A (r, θ)
Vektor 0A dinyatakan sebagai 0A = r = r rˆ
rˆ
4/10/2015
vektor satuan dalam arah vektor 0A.
9
7. Vektor satuan Koordinat Kutub.
y
Koordinat kutub, memiliki
vektor satuan rˆ dan ˆ yang
saling tegak lurus.
rˆ
ˆ
0
θ
x
Masing-masing vektor dapat diuraikan pada sumbu x dan y menjadi,
rˆ i cos j sin ,
dan
ˆ i sin j cos
Perubahan
dari rˆ dan memiliki
hubungan
d rˆ i sin d j cos d ˆ d
d ˆ i cos d j sin d rˆ d
4/10/2015
10
8. Kecepatan.
Kecepatan v =
Kecepatan, rˆ
dr
d ( r rˆ )
dt
d
dr
ˆ
r
rˆ
r
rˆ
dt
dt
dt
dt
d rˆ
dr
,gerak yang menjauhi titik 0.
dt
d
ˆ
Kecepatan, r
r ˆ , gerak menglilingi
dt
titik 0.
d
dr
ˆ
Gerak r
rˆ
0 , memberikan
dt
dt
bentuk linta -
san lengkung.
Gerak rˆ
dr
0 , memberikan
bentuk gerak melingkar
dt
4/10/2015
11
d
ˆ
Gerak r
0 memberikan
dt
Kecepatan,
4/10/2015
gerak lurus
d
dr
ˆ
v r
rˆ
dt
dt
2
Kelajuan,
bentuk
v
d
dr
r
dt
dt
2
12
9. Percepatan.
d d ˆ dr
a
rˆ
r
dt dt
dt
2
2
dr d ˆ d ˆ
d d ˆ d r
dr d rˆ
r r
rˆ
2
2
dt dt
dt
dt dt
dt
dt dt
dr d ˆ d ˆ
dθ d
d r
dr d ˆ
r r
rˆ
rˆ
2
2
dt dt
dt dt
dt dt
dt
dt
2
2
2
2
dr d
d ˆ
d r
d
2
r
r
rˆ
2
dt
dt
dt
dt dt
2
a a ˆ a r rˆ
4/10/2015
13
ˆ
Percepatan, a percepatan yang menyinggung
lintasan, atau a tangensial.
Percepatan, a r rˆ percepatan yang tegak lurus lin-
tasan, atau a normal (menuju pusat kelengkungan).
4/10/2015
14
Contoh.
Partikel P bergerak dalam bidang, vektor posisi
0P dinyatakan sebagai r = a + b t2, (a dan b te
tapan). Vektor posisi r dengan garis horisontal
P
r
0
θ
(lihat gambar) selalu membuat sudut θ dengan persm
θ = c t. Carilah percepatan
partikel P tersebut !
Penyelesaian.
dr
2
d r
2 b t dan
dt
d
dt
4/10/2015
dt
d
2
2 b;
2
c dan
dt
2
0
15
2
2
dr d
d ˆ
d r
d
a 2
r
r
rˆ
2
dt
dt
dt
dt dt
2
2
2
a ( 4 b c ) ˆ [ 2 b ( a b t ) c ] rˆ
4/10/2015
16
10. Penurunan besaran dengan bentuk Lain.
Vektor posisi (koordinat kutub), diubah menggunakan vektor satuan sistem koordinat kartesian.
y
Perpindahan sudut, θ = ω t.
(r,θ)
r = i r cos ωt + j r sin ωt
Panjang (atau besar) r,
r
0
θ
r r cos t r sin t r
dr
d
Kecepatan, v
i r cos t j r sin t
dt
dt
dr
dr
v i
cos t i r sin t j sin t j r cos t
dt
dt
4/10/2015
x
2
2
2
2
17
2
dr
dr
v
cos t r sin t
sin t r cos t
dt
dt
dv
Percepatan , a
dt
2
d dr
dr
a
i
cos
t
i
r
sin
t
j
sin
t
j
r
cos
t
dt dt
dt
2
i
d r
dt
2
cos t i
dr
sin t i
dt
dr
sin t
dt
i r cos t i r
2
d
sin t
dt
2
j
d r
dt
2
sin t j
dr
cos t j
dt
cos t
dt
j r sin t j r
2
4/10/2015
dr
d
dt
cos t
18
d r
dr
d
2
a i 2 cos t i 2
sin t i r cos t i r
sin t
dt
dt
dt
2
2
j
d r
dt
2
sin t j 2
dr
cos t j r sin t j r
2
d
dt
cos t
dt
Besar percepatan menjadi,
a2 = [- (d2r/dt) cos ω t – 2 (dr/dt) ω sin ω t
– r ω2 cos ω t – r (dω/dt)]2
+ [(d2r/dt2) sin ω t + 2(dr/dt) ω cos ω t
- r ω2 sin ω t + r (dω/dt)]2
4/10/2015
19
Contoh.
Batang tegar panjang ℓ bersandar (bertumbu)
pada dinding vertikal dan lantai mendatar. Bila
ujung lain yang bersandar pada dinding vertikal
turun dengan kecepatan tetap v. Carilah kecepatan sudut serta percepatan sudut ujung
batang tersebut turun sebagai fungsi sudut (θ)
(lihat gambar ).
Penyelesaian.
y θ
ℓ
Dari gambar di samping dapat dinyatakan sebagai y = ℓ cos θ.
Kecepatan turun berarti,
dy
dt
4/10/2015
d
dt
cos sin
d
dt
sin
20
Sehingga menjadi v = - ℓ ω sin θ atau
Percepatan, a
d
v
sin
( sin ) cos sin
2
dt
d
dt
Turun dengan percepatan tetap berarti,
d
2
2
cos sin
0 atau cos sin
dt
Sehingga
4/10/2015
ctg atau
2
v
2
sin tan
2
2
21
Contoh.
Partikel bergerak di dalam lintasan lengkung (dianggap memiliki pusat lintasan dengan jari-jari
r). Kecepatan sepanjang lintasan dinyatakan sebagai v = a t. Tentukan percepatan maksimum
partikel tersebut !
Penyelesaian.
r
v
4/10/2015
2
dv ˆ
v
a
rˆ
dt
r
2
a t
ˆ
aT
r
2
nˆ
Gerak dengan vektor satuan Tˆ disebut
gerak tangensial (menyinggung lintasan) dan gerak dengan vektor satu22
an nˆ disebut gerak sentripetal/sentrifugal (menuju/melalui pusat).
4/10/2015
23