Transcript Materi 1
TIU
GERAK DALAM DUA DIMENSI
(Bagian 2)
GERAK MELINGKAR BERATURAN
P
r v
i D s Dq
r
Q D
v
a
-v
i
v
f O Untuk D
t
D
v
<<, D
s
dan Dq <<, ^
v
(
menuju ke pusat
) sehingga a @Dq D
v v
D
s r
Kecepatan linier : - Besarnya tetap,
v
- Arahnya selalu ^
r
Percepatan rata-rata :
a av
v f t f v r
v i
t i
D
s
D
t
D
v
D
t
Percepatan radial :
a r
v r
lim D
t
0 D
s
D
t v a r
v
2
r Selalu menuju ke pusat
a
a r
2
a t
2
a r
v
2
r a t
dv dt a
r
GERAK LENGKUNG
a
t a a
a
r
a
t
a
dv
q ˆ
dt
v
2
r a
r
Apakah artinya ?
a
a
t
PERCEPATAN DALAM SISTEM KOORDINAT POLAR
y q ˆ
r
ˆ
a
t
a
O
r
q x
a
r
Percepatan tangensial :
-
Searah garis singgung - Merubah besar kecepatan
a
dv
q ˆ
dt
v
2
r
Percepatan radial :
-
Selalu menuju ke pusat - Merubah arah kecepatan
GERAK RELATIF
Ilusstrasi !
S S’ S’
P
r r’
O O’
r r
'
u
t
r
r u
t
' ut
u
O’
d
r
dt d
r
u
dt
v
v
u u a
a
Contoh Soal 1.10
Sebuah satelit direncanakan akan ditempatkan di ruang angkasa sedemikan rupa sehingga ia melintasi (berada di atas) sebuah kota A di bumi 2 kali sehari. Bila percepatan sentripetal yang dialami olehnya adalah 0,25 m/s 2 dan jari-jari bumi rata-rata adalah 6378 km, pada ketinggian berapa ia harus ditempatkan ?
Jawab : v T 12 jam R R B h a 0 , 25 m / s 2 2 R a V 2 T 4 2 R R R T 2 R h 2 aT 4 R 2 R B ( 0 , 25 )( 12 x 3600 ) 2 4 2 11818 6378 1 1818 5440 km km h a R B
Contoh Soal 1.11
Sebuah kereta api cepat yang disebut TGV direncanakan mempunyai kecepatan rata-rata sebesar 216 km/jam. a) Bila kereta api api tersebut bergerak melingkar dengan kecepatan tersebut dan percepatan maksimum yang boleh dialami oleh penumpang adalah 0,05 g berapa jari-jari minimumnya ?
a) Bila ia melewati tikungan dengan jari-jari 1 km, berapa kecepatan maksimum yang diperbolehkan Jawab : a maks 0 , 05 g 0 , 05 ( 9 , 8 ) 0 , 49 m / s 2 v 216 km jam 216 ( 1000 ) m 3600 s 60 m s
a).
v 60 m s R min v 2 a maks a v 2 R 60 2 0 , 49 7 , 35 km b).
a v 2 R 1 km v maks R a maks R 22 , 1 m / s 0 , 49 ( 1000 79 , 6 km / ) jam
Contoh Soal 1.12
Seorang anak memutar sebuah batu yang diikatkan pada tali sepanjang 1,5 m pada ketinggian 2 m dengan kecepatan putar sebesar 60 rpm. Bila tiba-tiba talinya putus, tentukan dimana batu tersebut akan jatuh ke tanah. Jawab : v Gerak melingkar : f rpm 60 f 1 Hz 60 T 1 s V 2 R T 2 ( 1 , 5 ) 9 , 42 m / s 1 2 m Gerak peluru : y y o V oy t 1 2 gt 2 t 2 4 , 9 0 , 64 s a 0 V oy 0 x = ?
x v ox t 9 , 42 ( 0 , 64 ) 6 m 0 2 4 , 9 t 2
GERAK RELATIP V p V pa V a V pa V p V p V pa V a V a V a V V a p V pa = = = Kecepatan air (relatip terhadap bumi) Kecepatan perahu (relatip terhadap bumi) Kecepatan relatip perahu terhadap air
V pa V p V V a pa 2 km / jam 5 km / jam L 400 m Berapa lama sampai di tujuan ?
a V a V p sin a 2 V pa V a 2 0 , 4 L 5 2 2 2 29 5 , 4 L 0 , 4 sin 68 , 2 o 0 , 43 km a tg 1 V pa V a tg 1 5 2 68 , 2 o t L V p ( 0 , 43 )( 60 ) 5 , 4 4 , 8 menit
Contoh Soal 1.13
Kecepatan air di sungai yang lebarnya 400 m adalah 2 km/jam.
Seseorang hendak menyebrangi sungai tersebut dengan perahu dengan tujuan 300 m sebelah hilir. Bila kecepatan perahu terhadap air adalah 5 km/jam, kemana perahu harus di arahkan dan berapa menit ia sampai ke tempat tujuan ?
Jawab : 300 m a V pa V p V a V pa 2 km / jam 5 km / jam L 400 m a V a
300 m v pa a v p v a v pa 2 km / jam 5 km / jam L 400 m a v a tg a 0 , 4 0 , 3 Rumus D : v 2 p 2 , 4 v p v 2 pa v 2 p v a 2 2 v a v p cos a 21 a 0 53 , 1 o sin v p 2 , 4 a ( 0 , 8 2 , 4 ) 2 cos a 0 , 6 2 ( 1 ) 5 2 v 2 p 4 ( 1 )( 21 ) L 0 v , 4 p 2 0 , 3 2 2 2 2 ( 2 )( 0 , 6 ) v p 0 , 5 5 , 94 km / km jam t pergi L v pa 0 , 5 5 , 94 ( 60 ) 5 , 1 menit
300 m a V pa a V p L a V a Rumus sin
D
: v a sin v pa v a sin
a
5 v sin pa 0 , 8 ( 2 )
a
0 , 32
a
53 , 1
18 , 7
71 , 8 o 400 m
v v a pa
18 , 7 o 2 km / jam 5 km / jam
300 m V pa V p v a v pa 2 km / jam 5 km / jam 400 m L a V a Menggunakan penjumlahan vektor : V a 2 iˆ V p 5 sin V a V pa 5 cos V pa 0 , 8 V p iˆ 5 sin jˆ V p V p cos a iˆ V p sin a jˆ 0 , 6 V p 2 5 cos iˆ 0 , 8 V p 0 , 6 V p jˆ 2 iˆ 5 cos 5 cos iˆ 5 sin 0 , 6 V p 2 jˆ
Suku kiri dan kanan dikuadratkan : 5 sin
0 , 8 V p
25 sin 2
0 , 64 V p 2 5 cos
0 , 6 V p
2
25 cos 2
0 , 36 V p 2
2 ( 2 )( 0 , 6 ) V p
2 2 25 (sin 2
cos 2 )
( 0 , 64
0 , 36 ) V p 2
2 , 4 V p
4 V p 2
0 , 24 V p
21
0
V p
5 , 94 km / jam t
L V p
0 , 5 ( 60 ) 5 , 94
5 , 1 menit sin
0 , 8 V p 5
0 , 8 ( 5 , 94 ) 5
0 , 95
sin 1 0 , 95
71 , 8 o
Contoh Soal 1.14
Sebuah perahu yang mempunyai kecepatan (relatip terhadap air) sebesar 1,8 m/s harus menyebrangi sebuah sungai selebar 260 m dan tiba pada jarak 110 m ke arah hulu. Agar sampai di tempat tujuan, maka perahu tersebut harus diarahkan pada sudut 45 o ke arah hulu. Tentukan kecepatan air dan berapa lama perahu tersebut sampai di tempat tujuan ?
Jawab : 110 m 260 m V a V p V pa 45 o
tg 1 260 110 45 o 67 67 , 1 o , 1 o 45 o a 180 o 22 , 1 o 112 , 9 o v a sin v pa sin a v p sin V p V pa sin sin a ( 1 , 8 )(sin 45 sin 112 .
9 o o ) 1 , 39 m / s L 260 2 110 2 282 , 3 m 260 m t 282 , 3 1 , 39 ( 60 ) 3 , 39 menit v a sin 22 , 1 o sin 112 , 9 o ( 1 , 8 ) 0 , 74 m / s 110 m V p a a V pa 45 o V a
Menggunakan penjumlahan vektor : tg 1 260 67 , 1 o 110 sin 45 o cos 45 o 0 , 71 sin 0 , 92 cos 0 , 39 v a v a iˆ v pa 1 , 8 cos 45 o iˆ 1 , 8 sin 45 o jˆ 1 , 28 iˆ 1 , 28 iˆ v p v p cos iˆ v p sin jˆ 0 , 39 v p iˆ 0 , 92 v p jˆ 110 m v 0 0 , , p v a 39 92 v v p p v pa v a 1 , 28 1 , 28 v p v a 1 , 28 1 , 39 m / s 0 , 92 1 , 28 0 , 39 ( 1 .
39 ) 0 , 74 m / s 260 m V p 45 o V pa V a
Contoh Soal 1.15
Sebuah pesawat terbang bergerak dengan kecepatan 720 km/jam dari kota A di selatan ke kota B di utara. Pada saat jaraknya 360 km dari kota B, ada angin yang bertiup ke arah tenggara dengan kecepatan 180 km/jam. Oleh karena itu pilot pesawat tersebut harus mengubah arah pesawatnya agar ia tetap bergerak menuju kota B. Bila kecepatan pesawat konstan, a). Kemana pesawat terbang harus di arahkan ?
b) Berapa lama terlambat tiba di kota B a V p V p Jawab : v a
180 km jam
50 m / s v pa
720 km jam
200 m / s V a
v a v a cos( 45 o ) iˆ v a sin( 45 o ) jˆ 50 ( 0 , 71 ) iˆ 50 ( 0 , 71 ) jˆ 35 , 5 iˆ 35 , 5 jˆ v pa v pa cos a iˆ v pa sin a jˆ V pa U 200 cos a iˆ 200 sin a jˆ v p v p jˆ v p v a v pa v p jˆ 35 , 5 iˆ 35 , 5 jˆ 35 , 5 200 cos a 0 200 cos a iˆ 200 sin v p 35 , 5 200 sin a a jˆ V p cos a v p 35 , 5 200 35 , 5 200 0 sin , 178 100 , 4 o a 161 , 3 m / s 580 , 7 km / jam 100 , 4 o t o D t 360 720 t t o 0 , 5 jam t 360 ( 0 , 62 0 , 5 )( 580 , 7 60 ) 0 , 62 7 , 2 menit S V a
KECEPATAN DAN PERCEPATAN SESAAT
v D lim t 0 x 2 t 2 x 1 t 1 dx v dt lim D t 0 D x D t x dx dt v dt C a lim D t 0 v 2 t 2 v 1 t 1 dv a dt lim D t 0 D v D t dv dt v a dt C a d dt dv dt d 2 x dt 2
Contoh Soal 1. 16 Posisi dari suatu benda yang bergerak pada sumbu x diberikan oleh persamaan : x= 4-27t+3t 3 . a). Hitung kecepatannya pada t = 5 s b). Hitung percepatannya setiap saat c). Kapan kecepatannya nol Jawab : a c ).
b ).
).
v ( t ) dx dt 27 3 t 2 a ( t ) v ( t ) dv dt 27 6 t 3 t 2 0 v ( 5 t 3 s ) 27 3 ( 5 ) 2 48 m / s
Contoh Soal 1.17
Sebuah benda yang mula-mula kecepatannya v=0 dan posisinya x=0 mulai bergerak pada sumbu x dengan percepatan tidak konstan : a ( t ) 0 2 , , 0 , 0 , 4 , 0 t 1 1 t 3 3 t 8 8 t 9 9 t 10 a). Tentukan percepatan dan kecepatannya sebagai fungsi waktu b). Tentukan posisinya pada t = 10 c). Gambarkan grafik percepatan, percepatan dan posisinya d). Tentukan posisinya pada t = 10 menggunakan grafik tersebut
Jawab : a).
a 0 2 , , 0 , 0 , 4 , 0 1 3 9 8 t t t t t 1 3 8 10 9 a 0 t 1 v ( 1 ) 2 ( 1 ) C 0 3 t t dv ( dt 1 3 8 t ) a a a v ( t ) 0 2 0 a dt C C v v ( t ) 2 t C v ( t ( 2 t ) ) C C v ( 0 ) 0 v ( t ) 2 2 t v ( 3 ) C 2 2 ( 3 ) 4 v ( t ) 4 8 t v ( 8 ) 9 4 ( 8 ) C a 4 4 v ( t ) C 36 4 t C v ( t ) 4 t 36 9 t 10 a 0 v ( 9 ) C 4 ( 9 ) 36 0 v ( t ) C v ( t ) 0 v ( t ) 0 , 2 4 t , 0 , 4 t 2 , 36 , 0 t 1 1 t 3 3 t 8 8 9 t 9 t 10
b).
v ( t ) 0 , 2 4 t , 0 , 4 t 2 , 36 , 0 t 1 1 t 3 3 t 8 8 t 9 9 t 10 v ( t ) dx ( t ) dt x ( t ) v ( t ) dt x ( 10 ) t 1 0 0 dt t 3 1 ( 2 t 2 ) dt t 8 3 4 dt t 9 8 ( 4 t 36 ) dt t 10 9 0 dt ( t 2 3 2 2 t ) t 3 2 ( 3 ) 1 4 1 2 t t 8 3
162 2 ( 1 ) ( 2 160
t 2
4 36 ( 8 ) 26 t 9 ) t 8 4 ( 3 )
2 ( 9 2 ) 36 ( 9 ) 2 ( 8 2 ) 36 ( 8 )
c). a 0 2 , , 0 , 0 , 4 , 0 1 3 9 8 t t t t t 1 3 8 10 9 v ( t ) 0 , 2 4 t , 0 , 4 t 2 , 36 , 0 t 1 1 t 3 3 t 8 8 t 9 9 t 10 d).
Posisi = luas di bawah kurva kecepatan x t 10 0 v ( t ) dt x 2 ( 4 ) 2 ( 8 3 )( 4 ) 1 ( 4 ) 2 4 20 2 26
Contoh Soal 1.18
Seorang atlit berlari dengan kecepatan seperti terlihat pada grafik di bawah ini.
Tentukan jarak yang telah ditempuh selama 16 s.
Jawab : 0 t 2 2 t 10 v ( t v ( ) t ) 8 2 8 t 4 t 10 t 12 v ( t ) v ( 10 ) 2 ( 10 ) C 8 12 t 16 v ( t ) 4 4 8 t 2 C C 28 2 t C v ( t ) 2 t 28 x ( t ) v ( t ) dt 2 0 4 t dt 10 2 8 dt 12 10 ( 2 t 28 ) dt 16 12 4 dt 2 2 t 2 ( 2 0 2 2 ) 8 t 10 2 2 ( 0 ) 2 ( t 2 28 t ) 8 ( 10 ) 8 64 ( 192 180 ) 16 12 10 16 4 t 8 ( 2 ) 12 100 ( 12 ) 2 28 ( 12 ) ( 10 ) 2 28 ( 10 ) 4 ( 16 ) 4 ( 12 )