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CARACTERÍSTICAS: • LA PARTÍCULA SIGUE UNA TRAYECTORIA RECTA •OSCILA ALREDEDOR DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO • EL MOVIMIENTO ES PERIÓDICO (T) •ESTÁ SOMETIDO A FUERZAS RESTAURADORAS – INTENTAN HACER VOLVER AL CUERPO A SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO. PUEDE SER: •LIBRE: NO ACTÚAN FUERZAS DISIPATIVAS – EL SISTEMA OSCILA INDEFINIDAMENTE (NO REAL) •AMORTIGUADO: ACTÚAN FUERZAS DISITATIVAS (ROZAMIENTOS) – EL SISTEMA ACABARÁ DETENIENDOSE EN SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO Posición de equilibrio – Punto donde no actúan las fuerzas restauradoras. Se suele tomar como origen del sistema de coordenadas. Elongación – Separación con respecto a la posición de equilibrio de la partícula en cualquier instante del tiempo. (Puede ser positiva o negativa). Amplitud – Valor máximo de la elongación. x(t)Elongación POSICIÓN DE EQUILIBRIO AAMPLITUD x(t) x=-A x=0 x=A - 1 Supón que la partícula (p’) sigue un M.C.U. - 2 Denomina como (p) a la proyección de (p’) sobre el eje-x - 3 Diremos que: (p) sigue un M.A.S.entre +A y –A - 4 La coordenada “x” sobre la trayectoria rectilínea: x A cos j p/2 p’ A p j x p 0 j jo t x A cos( t j o ) jo fase inicial (cuando t = 0) j0= representa en radianes la posición “xo” inicial v 3p/2 x=-A x(t) x=0 x=A Actividad-1: Suponiendo que la amplitud de una partícula (p) que sigue un MAS es de 5 m determina su posición inicial (cuando t = 0) si la fase inicial es de p/3 radianes. ¿Cuál será el sentido de movimiento de la partícula (p)?. Repite la actividad si la fase inicial fuera 5p/3 rad Cálculo de la fase inicial en un MAS cuando se conoce su elongación inicial Actividad-2: Completa la siguiente tabla, conocido x0: x0 (+A) 0→(-A) (-A) 0→(+A) (+A) j0(rad) Actividad-3: Determina la fase inicial de una partícula que sigue un MAS con una amplitud de 5 m si en el instante t = 0 ocupa: a) Una posición x0 = 1 m hacia (+A). (Sol: IV cuadrante 4.914 rad) b) Una posición x0 = 1 m hacia (-A). (Sol: I cuadrante 1.369 rad rad) c) Una posición x0 = -1 m hacia (+A). (Sol: III cuadrante 4.511 rad) d) Una posición x0 = -1 m hacia (-A). (Sol: II cuadrante 1.773 rad) I cuadrante (+A → 0) Fase inicial en el I cuadrante p/2 j0 jc j c ángulo, en rad, (de la calculador p 0 jc p a) rad 2 Actividad-4: Justifica la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = (+A) 15.00 x 3p/2 10.00 5.00 0.00 0 1 2 3 4 6 5 6 7 8 9 t -5.00 -10.00 -15.00 x=-A x=0 x=A x(t) II cuadrante (0 → -A) p/2 p Fase inicial en el II cuadrante j0 p jc 0 Actividad-5: Justifica la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = 0 (sentido –A) 15.00 x 10.00 5.00 3p/2 0.00 0 1 2 3 4 6 5 6 7 8 9 t -5.00 -10.00 -15.00 x=-A x=0 x=A x(t) III cuadrante (-A→ 0) p/2 Fase inicial en el III cuadrante j0 p jc p 0 Actividad-6: Justifica la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = (–A) 15.00 3p/2 x 10.00 5.00 0.00 0 1 2 3 4 6 5 6 7 8 9 t -5.00 -10.00 -15.00 x=-A x=0 x=A x(t) IV cuadrante (0 → +A) p/2 p Fase inicial en el IV cuadrante j 0 2p j c j c 0 Actividad-7: Justifica la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = 0(sentido +A) 15.00 x 10.00 5.00 0.00 0 1 2 3 4 6 5 6 7 9 t -5.00 3p/2 8 -10.00 -15.00 Actividad-8: Representa la gráfica x=f(t) si para t = 0→x0 = -A/2(sentido +A). Calcula previamente j0 y representa “x” para los instantes: 0; T/4; T/2; 3T/4; T x=-A x=0 x=A x(t) • Cinemática del movimiento armónico simple (MAS) Una partícula tiene un MAS si su elongación x cumple: x = A cos ωt + j 0 Origen de j o ( A ) ò x Asen ( t j o ) Origen de j o ( 0 ) ( A ) Varía periódicamente entre los valores +A y -A Amplitud (máxima elongación) A Equilibrio ωt + j 0 j j0 Fase (rad) Fase inicial (cuando t =0) T = 2π / ω ν = 1/T Periodo (intervalo de tiempo para el que el valor de x se repite) Frecuencia (se mide en Hz) ω = 2π / T = 2 πν Frecuencia angular (rad/s) La velocidad v de una partícula que tiene un MAS es, v= dx Varía periódicamente entre los valores A y -A dt La aceleración a de una partícula que tiene un MAS es, dv 2 a= ω x Varía periódicamente entre los valores 2A y -2A. dt En el MAS a es proporcional y opuesta a x. T/4 T/2 Elongación Velocidad Aceleración Representación del desplazamiento en función del tiempo 3T/4 T v 0 - A 0 a + 2A 0 - 2A x(t) x=-A x=0 x=A a + 2A 0 - 2 A v 0 + A 0 F ma F m a F(x) m w x(t) 2 En un M.A.S. a x 2 F(x) k x(t) F m Caracterís x ticas: 2 F kx ala laelongación Esproporcion F(x)-kx(t) 2 donde k eslaconstante recuperado radelmovimiento k mw enelcasodemuelles , k sellamaconstante elástica delmuelle Unidades dek(N/m) Elsigno menos indica quelafuerza essiempre contraria a laelongación Esunafuerza recuperado radelaposición deequilibrio . potencial elástica ( fuerza recuperado Energía F Kx i d r dx i dy j dz k 1 x x 2 Trabajo =W F F(x) = kx Ep F variable dx F d r= kxdx Kxdx x0 ra - conservati va ) = 2 x0 F conservati va W F E p Ep 0 Ep Energía cinética Ec = 1 mv 1 kx 2 2 2 2 Energía Mecánica Em = Ep + Ec = 1 2 Em 1 2 kA 2 2 kx + 1 2 mv 2 Energías E. POTENCIAL E. CINÉTICA E. MECÁNICA -A 0 A x(t) ESTUDIO ENERGÉTICO EN ALGUNAS POSICIO DEL M.A 12 EN TODOS LOS PUNTOS LA ENERGÍA MECÁNICA ES CONSTA kA 2 12 Ep kA x A 2 Ec 0 Ep 0 0x 12 Ec kA 2 Em Ec E p 1 kA 2 2 mv v 2 1 mv 2 2 2 1 2 k(A x ) 2 k 2 (A x ) 2 2 m v k m (A x ) 2 2 kx 2 El péndulo simple: -La componente tangencial Px, actúa hacia la posición de equilibrio, en sentido opuesto al desplazamiento. -La componente tangencial de la fuerza de la gravedad es una fuerza de recuperación. L -Un péndulo simple sigue un MAS si <15º Px ma x mgsen max gsen a -x Py P Px sen 2 M.A.S. a w x 2 g x w L w a g L -x L g L g x a L T 2p L g Elperiodo oscilación deunpéndulo depende desulongitud El de periodo de oscilación de un solamente péndulo simple depende exclusivamente de la longitud de la cuerda punto degraveda ydelal valor dela fijación, y de la gravedad del lugar Ejercicios: 9.-Un muelle de constante elástica 200 N/m, longitud natural 50 cm y masa despreciable se cuelga del techo. Posteriormente se engancha de su extremo libre una masa de 5 kg. Calcula la longitud final del muelle cuando el sistema esté en equilibrio. (Sol: x=24.5 cm) 10.- Un oscilador armónico formado por un muelle de masa despreciable, y una masa en el extremo de valor 40 g, tiene un periodo de oscilación de 2 s. Si la amplitud de las oscilaciones del oscilador es 10 cm, ¿cuánto vale, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad que alcanzará su masa.(Sol: Ep=1.974 10-3J; v=0.314m/s). 11.- Una partícula de masa 2 kg efectúa un movimiento armónico simple de amplitud 1 cm. La elongación y la velocidad de la partícula en el instante inicial t = 0 s valen, 0.5 cm y 1 cm/s, respectivamente. a) Determina la fase inicial y la frecuencia del M.A.S.(Sol: jo=p/6 rad;; u=0.18 Hz) b) Determina la fuerza elástica en el instante 1,5 s.(Sol:F =- 0.021N) c) Calcula la energía total del M.A.S. así como la energía cinética y potencial en el instante t = 1.5 s.(Sol: ET=1.334 10-4J;;Ec=5.35 10-5J;;Ep=7.99 10-5J) 12.-Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple: a) Escribe la ecuación del movimiento y la ecuación de la velocidad si la aceleración máxima es 5p2 cms-2, el periodo de las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2.5 cm, siendo el sentido del movimiento hacia (+A). b) Representa gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo, t(s) x(cm) v(cm/s) completando la siguiente tabla: (Salto = T/8 = 2/8 = 0.25 s) 0 T/8 2T/8 3T/8 4T/8 5T/8 6T/8 7T/8 8T/8 13.-Una partícula de masa m = 5 g oscila armónicamente a lo largo del eje OX en la forma x = A cos ωt, con A = 0,1 m y ω = 2p s-1. a) Determina la velocidad de la partícula en función del tiempo. b) Calcula la energía mecánica de la partícula. en el instante t = T/3.(Sol 9.87 10-4J) c) Representa la elongación de m, la energía potencial de m y la fuerza elástica sobre m en función del tiempo. Considera t = T 0,15 0,10 0,05 x(m) 0,03 0,00 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,02 1 0,02 -0,05 0,01 0,01 F(N) -0,10 0,00 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 -0,15 -0,01 t(s) 0,0012 -0,01 -0,02 0,001 -0,02 -0,03 0,0008 Ep(J) t(s) 0,0006 0,0004 0,0002 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 t(s) 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,6 0,7 0,8 0,9 1 14.-Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora vale 10 N/mm. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Determinar: a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, x = x(t). b) Los módulos de la velocidad y aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de equilibrio. c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria. d) La energía mecánica del sistema oscilante. 15.- Una partícula de 5 g de masa vibra con una amplitud de 10 cm y una frecuencia de 50 Hz. Calcular: a) La constante restauradora del sistema. b) La ecuación de la posición si en el instante inicial se encuentra en -A. c) La velocidad 0.1 s después de iniciado el movimiento. d) La velocidad de la partícula cuando se encuentra a + 2 cm con sentido de movimiento hacia elongaciones negativas. e) Representar la Ec, la Ep y la Em para medio periodo. 16.- Una persona de masa 60 kg que está sentada en el asiento de un vehículo, oscila verticalmente alrededor de su posición de equilibrio como un oscilador armónico simple. Su posición inicial es y(0)=1.2cos(p/6) cm, y su velocidad inicial v(0)=-2,4sen(p/6) m/s. Calcula la ecuación de la elongación y(t) y la ecuación de la energía mecánica Em(t). 17.- Una partícula de 20 g oscila siguiendo un MAS: 40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 v(m/s) 10,00 5,00 0,00 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 -5,00 -10,00 -15,00 -20,00 -25,00 -30,00 -35,00 -40,00 t(s) Determina: a) Las ecuaciones de la aceleración y la ecuación de la elongación en función del tiempo. b) La Ec y la Ep en el instante t = T.(Sol: Ec = 9J;Ep = 0J).- 18.-Una bolsa con 2 kg de dulces cuelga de un muelle que se alarga 50 cm con esa carga, quedando el sistema en equilibrio a una altura de 1 m sobre la cabeza de un niño. Si el niño tira de la bolsa hacia abajo otros 25 cm y la suelta ¿cuánto tiempo tardará la bolsa en regresar a la altura de 1 m sobre su cabeza?.(Sol: 0.355s) EQUILIBRIO M.A.S. +A d FE=kd 0 P=mg 1m -A -Las trayectorias del movimiento resultante de componer dos M.A.S. de direcciones perpendiculares se denomina figuras de Lissajous. -Tales trayectorias dependen de la relación de frecuencias angulares x/y y de la diferencia de fase d. x=A·sen(x t) y=A·sen(y t+d ) Dibujo http://fisica.udea.edu.co/~mpaez/lissajous/Fig2p.html Vídeo http://www.youtube.com/watch?v=2_VLdkaXg4I Fundamento teórico http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/lissajous/lissajous.htm