Transcript FÍSICA PARA INGENIEROS I

Oscilaciones Mecánicas
Tercer encuentro
Docente: Lic. Anays Mata Mayo
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Bases matemáticas
Movimiento Armónico
El oscilador armónico simple
Movimiento armónico simple
Consideraciones de energía en el M.A.S.
Movimiento armónico amortiguado
Oscilaciones forzadas y resonancia
Fenómenos oscilatorios
Funciones seno y coseno
y=sen x
y´=cos x
y= cos x
y´=-sen x
Máximo: y=1
y´´=-sen x
y´´=- cos x
Mínimo: y=-1
Conceptos fundamentales
 Movimiento periódico: Se repite a intervalos iguales de
tiempo
 Periodo: tiempo que se requiere para realizar cada
repetición sucesiva de ida y vuelta
 Frecuencia: Número de vibraciones por unidad de tiempo
1
(𝑓 = )
Τ
 Posición de equilibrio: posición para la cual no obra
ninguna fuerza sobre la partícula
 Elongación: distancia de la partícula que oscila a su
posición de equilibrio
 Amplitud: Elongación máxima
Oscilador armónico simple
Movimiento Armónico Simple:
 Partícula que vibra con respecto a una posición de
equilibrio
 Bajo la influencia de una fuerza que es proporcional a
la distancia de la partícula a la posición de equilibrio
Ej. Partícula de masa m fija a un resorte cuya constante
de fuerza es k (N/m)
Oscilador armónico simple
Uno de los ejemplos clásicos de movimiento armónico simple es el
descrito por una partícula de masa m acoplada a un resorte con constante
de elasticidad k. Cuando esta partícula se desplaza (sin rozamiento) a una
distancia x de la posición de equilibrio (posición donde el resorte no está
deformado), actúa sobre ella una fuerza que es proporcional al
desplazamiento x y de sentido contrario a éste
F=-kx
El signo “–” indica que la fuerza
está dirigida hacia la izquierda
cuando x es positiva, y hacia la
derecha cuando x es negativa.
La fuerza sobre la partícula está
siempre dirigida hacia la posición
de equilibrio x = 0
Suelto
Estirado
Comprimido
Ecuaciones
F=m𝒶
F=-kx
𝒶=
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
-kx = m
m
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
+kx = 0
(Ecuación Diferencial,
solución: función)
Movimiento Armónico Simple
m
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
+kx = 0
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
=-
𝑘
𝑚
x
La ecuación anterior requiere que x(t) sea alguna función cuya segunda
derivada sea igual a la función misma, y con signo cambiado, salvo por
un factor constante k/m.
Funciones seno y coseno
Haciendo entonces un intento de resolver la ecuación diferencial planteamos una
posible solución
𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜹)
𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜹)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
=−𝜔𝐴 sen(𝜔𝑡 + 𝛿)
= − 𝜔2 𝐴 cos (𝜔𝑡 + 𝛿)
Sustituyendo en:
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
=-
𝑘
𝑚
x
Tenemos:
2
− 𝜔 𝐴 cos (𝜔𝑡 + 𝛿) =
∴
𝜔2 =
𝑘
𝑚
𝑘
−
𝑚
𝐴 cos (𝜔𝑡 + 𝛿)
De forma tal que es una constante, de ahí
que la ecuación 𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜹) es
efectivamente una solución de la ecuación
diferencial del oscilador armónico simple.
Importancia Física constante 𝝎
Si el tiempo t se aumenta en
se transforma en:
2𝜋
𝜔
, la función del M.A.S.
𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜹)
𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬[𝝎(𝒕 + 𝟐𝝅 𝝎) + 𝜹]
𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝟐𝝅 + 𝜹)
𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜹).
Esto es, la función simplemente se repite después de un tiempo 2𝜋
consiguiente, 2𝜋 𝜔 es el periodo Τ del movimiento
𝑓=
𝝎
=
𝟐𝝅
=
𝟏
𝟐𝝅
Por
El periodo de oscilación depende de la masa de
la partícula m que vibra y de la constante de
fuerza k
𝟐𝝅
𝒎
𝜯=
= 𝟐𝝅
𝝎
𝒌
1
Τ
𝜔.
𝒌
𝒎
La frecuencia del oscilador es el número de
vibraciones completas por unidad de tiempo
Importancia Física constante 𝝎
La cantidad ω a menudo se llama frecuencia angular, ya
𝟐𝝅
que es 2𝜋 veces la frecuencia 𝑓 . (𝝎 = 𝟐𝝅𝒇= )
𝜯
Tiene las dimensiones de la velocidad angular, ya que es
2𝜋
Τ.
Sus unidades son rad/s
Importancia Física constante 𝑨
La función coseno toma valores desde -1 hasta +1. La
elongación x, contada a partir de la posición central de
equilibrio x=0 tiene un máximo valor de A. Por tanto, A (=xmáx.)
es la amplitud del movimiento.
El periodo de un movimiento armónico simple es
independiente de la amplitud:
Importancia Física constante 𝜹
La cantidad 𝝎𝒕 + 𝜹 se llama fase del movimiento.
La constante 𝜹 se llama constante de fase.
Dos movimientos pueden tener la misma amplitud y
frecuencia, pero diferir en fase.
Si 𝜹 = −𝜋/2,
𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜹) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝟗𝟎º)
𝒙 = 𝑨 𝐬𝐞𝐧 𝝎𝒕
Si 𝜹 = 0,
𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
Fig. Si 𝜹 = 𝜋/4, para
t=0, x=0,707 Amáx.
(La elongación es 0 para t=0)
(La elongación es máxima para t=0)
La amplitud A y la constante de fase 𝜹 de la oscilación
se determinan por la posición y la velocidad iniciales
de la partícula.
Estas dos condiciones iniciales determinan A y 𝜹
exactamente.
Una vez que haya comenzado el movimiento, la
partícula continuará oscilando con una amplitud y
constante de fase constantes a frecuencia fija, a no ser
que otras fuerzas alteren el sistema
Comparación de movimientos armónicos
¿Pudiera usted escribir una
ecuación para cada movimiento?
Relación entre x, v, 𝓪
𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜹)
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=−𝜔𝐴 sen(𝜔𝑡 + 𝛿)
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
= − 𝜔2 𝐴 cos (𝜔𝑡 + 𝛿)
Consideraciones energéticas en el M.A.S.
El oscilador armónico simple es un sistema CONSERVATIVO.
𝐹=
𝑑𝑈
−
𝑑𝑥
= −𝑘𝑥
(U=Ep)
En el sistema no actúan fuerzas disipativas, por tanto se
conserva la energía mecánica
Δ𝐸𝑚 = 0
La energía cinética y la potencial varían durante la oscilación,
pero su suma se conserva
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = 𝑐𝑡𝑒
Consideraciones energéticas en el M.A.S.
1
𝐸𝑐 = 𝑚𝑣 2
2
𝑣=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=−𝜔𝐴 sen(𝜔𝑡 + 𝛿)
1
𝐸𝑐 = 𝑚𝜔2 𝐴2 sen2 (𝜔𝑡 + 𝛿)
2
1
𝐸𝑐 = 𝑘 𝐴2 sen2 (𝜔𝑡 + 𝛿)
2
1 2
𝐸𝑝 = 𝑘𝑥
2
𝜔2 =
𝑘
𝑚
𝑬𝒄𝒎á𝒙
𝟏
= 𝒌𝑨𝟐
𝟐
𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝜹)
1
𝐸𝑝 = 𝑘𝐴2 cos 2 (𝜔𝑡 + 𝛿)
2
𝑬𝒑𝒎á𝒙
𝟏
= 𝒌𝑨𝟐
𝟐
Consideraciones energéticas en el M.A.S.
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝
𝐸𝑚 =
1
2
2
𝑘𝐴
2
sen (𝜔𝑡 + 𝛿) +
𝑠𝑒𝑛2 x+𝑐𝑜𝑠 2 x=1
Em
𝑘𝐴2 − 𝑘𝑥 2
2
𝑣 =
𝑚
1
2
2
𝑘𝐴
𝑬𝒎 =
cos 2 (𝜔𝑡 + 𝛿)
𝟏
𝟐
𝒌𝑨
𝟐
1
1
1
2
2
= 𝑚𝑣 + 𝑘𝑥 = 𝑘𝐴2
2
2
2
𝑚𝑣 2 + 𝑘𝑥 2 =𝑘𝐴2
𝑣=±
x=0 v máx
x=A v mín.
𝑘
(𝐴2
𝑚
− 𝑥 2)
𝐸𝑝 =
1 2
𝑘 𝐴 cos2 (𝜔𝑡 + 𝛿)
2
𝐸𝑐 =
1
𝑘 𝐴2 sen2 (𝜔𝑡 + 𝛿)
2
𝟏 𝟐
𝒌𝒙
𝟐
1
𝐸𝑐 = 𝑚𝑣 2
2
𝑬𝒑 =
1 𝑘𝐴2 − 𝑘𝑥 2
𝐸𝑐 = 𝑚
2
𝑚
𝑬𝒄 =
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
𝒌𝑨 − 𝒌𝒙
𝟐
𝟐
Ejercicio
Se sabe que un resorte se estira 0,076 m con respecto a su posición de
equilibrio cuando obra sobre él una fuerza de 3,34 N. Se toma un cuerpo de
0,68 kg, se fija al extremo del resorte y se jala 0,1 m a partir de su posición de
equilibrio en una mesa horizontal sin fricción. Entonces se suelta el cuerpo y
ejecuta un movimiento armónico simple.
a)¿Cuál es la constante de fuerza del resorte?
b)¿Cuál es la fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo de 0,68 kg cuando
está a punto de ser soltado?
c) ¿Cuál es el periodo de oscilación después de soltar el cuerpo?
d) ¿Cuál es la amplitud del movimiento?
e) ¿Cuál es la máxima velocidad del cuerpo en vibración?
f) ¿Cuál es la máxima aceleración del cuerpo?
g) Calcule la velocidad, la aceleración y las energías cinética y potencial del
cuerpo cuando se ha movido a la mitad de su distancia hacia el centro del
movimiento, a partir de su posición inicial
h) Calcule la energía total del sistema oscilante
i) ¿Cuál es la ecuación del movimiento del cuerpo?
Movimiento armónico amortiguado
En la práctica la amplitud de la oscilación gradualmente decrece hasta cero, como
consecuencia de la fricción.
La magnitud de la fricción depende de la velocidad, creándose una fuerza
amortiguadora −𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑡.
La figura representa un ejemplo de oscilador amortiguado. Un disco está fijo
a la masa y sumergido en un fluido que ejerce una fuerza amortiguadora
− 𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑡. La fuerza elástica restauradora es −𝑘𝑥.
Movimiento armónico amortiguado
Ecuación del movimiento:
Cuando hay fricción la frecuencia es más
pequeña y el periodo más grande.
La fricción retarda el
movimiento 𝝎´ < 𝝎
Si no hubiera fricción b=0 y 𝜔´ = 𝑘 𝑚 que es la frecuencia
angular del movimiento no amortiguado. 𝝎´ = 𝝎
Cuando hay fricción la amplitud del movimiento se reduce
gradualmente hasta 0. El factor de amplitud es 𝐴𝑒 −𝑏𝑡 2𝑚 .
Si no hubiera fricción b=0 y la amplitud tendría valor
constante A en el tiempo como en el movimiento
armónico simple.
Oscilaciones forzadas y resonancia
Cuerpo que se somete a una fuerza externa oscilatoria
El sistema vibra con la
frecuencia ω” de la
fuerza aplicada y no
con su frecuencia
natural ω.
G es grande cuando ω”
es muy diferente de ω,
siendo la amplitud del
movimiento
resultante muy
pequeña.
Cuando ω” y ω se aproximan, G se hace pequeño y la amplitud aumenta. ω” ≈ ω
La amplitud llega a un valor máximo cuando la frecuencia impulsora y la
frecuencia natural son casi iguales.
La amplitud de las vibraciones forzadas depende de la fuerza de fricción y de la
frecuencia aplicada. A mayor fricción, mayor G y menor amplitud. Cuando no hay
fricción (b=0) y ω”≈ω, la amplitud se hace infinita en la resonancia.
El 1º de Julio de 1950 el puente de Tacoma Narrows en
Puget Sounds Washington, E.U.A. se terminó y se
abrió al tráfico. Era entonces el tercer puente más
grande del mundo. Exactamente 4 meses después un
viento moderado puso al puente a oscilar hasta que el
tramo central se rompió, arrancándose de los cables
que lo soportaban y estrellándose en el agua del río.
El viento que estaba soplando produjo una fuerza
resultante en resonancia con una frecuencia natural
de la estructura. Esto originó un aumento constante
de amplitud hasta que el puente quedó destruido.
Más tarde se recalcularon muchos puentes para
hacerlos aerodinámicamente estables.