TEMA 3. MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO

1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS

 LOS MOVIMIENTOS OSCILATORIOS SE PRODUCEN CUANDO LOS PUNTOS QUE COMPONEN UN CUERPO SE DESPLAZAN ALREDEDOR DE SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO  EJEMPLOS: Membrana de un tambor, cuerda de una guitarra, cuerpo suspendido de un muelle, péndulo de un reloj, columpio, salto en una cama elástica  DENTRO DE LOS MOVIMIENTOS OSCILATORIOS PERIÓDICOS, EL MÁS SENCILLO ES EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE

  Al colgar una masa, el muelle se deforma hasta alcanzar el equilibrio (el peso del cuerpo tira hacia abajo y la fuerza elástica del muelle hacia arriba) En equilibrio:  

F

 

F e

 

P

  

k

·

x

0  

m

·

g

 0 

k

·

x

0 

m

·

g

1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE

 Si ahora tiro del cuerpo hacia abajo y lo desplazo una distancia x = l –l 0  el cuerpo deja de estar en equilibrio porque las fuerzas ya no se contrarrestan: La fuerza elástica obliga al cuerpo a volver al equilibrio, tirando de él hacia arriba o hacia abajo  

F

 

F e

 

P

 0   

F

 

k

·( 

x

0  

x

) 

m

· 

g

  

F

 

k

· 

x

1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE

2ª Ppio. de la Dinámica  

F

 

k

· 

x



m

· 

a

 

a

 

k m



x

1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



PÉNDULO SIMPLE

 HILO VERTICAL: CUERPO EN CONTRARRESTADO POR T DEL HILO) EQUILIBRIO (P  CUERPO DESPLAZADO DE LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO: LA TENSIÓN SÓLO CONTRARRESTA LA COMPONENTE NORMAL DEL PESO LA FUERZA RESULTANTE ES LA COMPONENTE TANGENCIAL

1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS

  

PÉNDULO SIMPLE

EN EL EQUILIBRIO:

T

  

P n

 0  

F

 

P t

 

m

·

g

·

sen

a Al soltar el péndulo, éste oscila alrededor de la posición de equilibrio. Para oscilaciones de poca amplitud:  Sen a ≈ a  Trayectoria curva = trayectoria de la cuerda

F

 s=x 

m

·

g

·

sen

a  

m

·

g

· a  

m

·

g

·

s l

 

m

·

g

·

x l



m

·

a a

 

g l x

 Velocidad del cuerpo:  Nula en los extremos  Máxima en el equilibrio 2ª Ley de la Dinámica

1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO PERMITE ESTUDIAR LA CINEMÁTICA DEL M.A.S.

 PROYECTAMOS LAS POSICIONES DE UN M.C.U. SOBRE UNO DE SUS DIÁMETROS:  AL PROYECTAR SOBRE EL EJE X OBTENEMOS LOS PUNTOS a 1 , a 2 , … entre +A y -A  AL PROYECTAR SOBRE EL EJE Y OBTENEMOS LOS PUNTOS b 1 , b 2 , … entre +B y -B

1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO

 Posición a coincide con componente x del vector posición  Posición b coincide con componente y del vector posición

x y

 

R

·cos 

R

·

sen



1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO

 M.C.U. con movimiento antihorario, velocidad angular w y ángulo inicial con el eje x  0 : 

=



0 +wt

 Vector posición: 

r r

  

R

cos 

i



R

cos(

wt

 

Rsen

 0 )

i

   j 

Rsen

(

wt

  0 )

j



x y

 

R

·cos 

R

·

sen

  a y b se mueven alrededor del punto O, tardando el mismo tiempo en dar una vuelta completa (PERÍODO):

T

 2  f

w

 1

T



w

2 

1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S.

 ES PERIÓDICO: CADA CIERTO TIEMPO (PERÍODO) EL CUERPO VUELVE A TENER LAS MISMAS MAGNITUDES CINEMÁTICAS Y DINÁMICAS  ES OSCILATORIO (O VIBRATORIO), PUESTO QUE EL CUERPO OSCILA ALREDEDOR DE LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO  LA AMPLITUD ES EL VALOR MÁXIMO DE ELONGACIÓN  SE DESCRIBE MEDIANTE LA FUNCIÓN ARMÓNICA SENO O COSENO

x



A

·

sen

(

w

·

t

  0

)

x



A

·cos(

w

·

t

 

'

0

)

1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS



MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S.

 ELONGACIÓN (x)  Separación del cuerpo de la posición de equilibrio ( en metros )  AMPLITUD (A) metros )  Máxima elongación experimentada ( en  PERÍODO (T) ( en segundos )  Tiempo en realizar una oscilación completa  FRECUENCIA (f) herzios )[1 Hz = 1 s  -1 ] N· de oscilaciones por segundo ( en   FRECUENCIA ANGULAR (w) comprendidos entre 2   segundos ( Número de períodos en rad/s ) FASE (  )  Ángulo que determina el estado de vibración del cuerpo (en el instante t = 0), la fase inicial es  0 ( en rad )

2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.



MODELO:

horizontal  Cuerpo unido a un muelle que se desliza por el plano aceleración opuesta al desplazamiento y proporcional a éste 

POSICIÓN

elongación): 

x x

  Dada por la coordenada x (coincide con

A

·

sen

(

wt A

·cos(

wt

  0 )   ' 0 )

Se mide en m y oscila entre –A y A



VELOCIDAD

 Es la variación instantánea de la posición respecto del tiempo

v



dx dt



A

·

w

·cos(

wt

  0 )

v



dx

 

A

·

w

·

sen

(

wt

  ' 0 )

dt

Se mide en m/s y oscila entre A·w y –A·w

2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.



ACELERACIÓN

 respecto del tiempo Mide la variación de la velocidad

a



dv dt

 

A

·

w

2 ·

sen

(

wt

  0 )  ’ 0 =  0 –  /2 Se mide en m/s 2

a



dv

 

A

·

w

2 ·cos(

dt

y varía entre –A·w 2

wt

  y A·w 2 ' 0 )

2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.



RELACIÓN v-x

 Se puede obtener eliminando la fase con la relación trigonométrica: sen 2  + cos 2  = 1 Elevamos al cuadrado cada una de las ecuaciones (la de x y la de v) y las sumamos:

x



A

·

sen

(

wt

  0 ) 

x

2

A

2 

sen

2 (

wt

  0 )

v



A

·

w

·cos(

wt

  0 ) 

v

2

A

2

w

2  cos 2 (

wt

  0 ) Sacamos el mínimo común múltiplo y despejamos v en función de w, A y x:

x

2

A

2 

v

2

A

2

w

2  1 

v

2 

w

2 (

A

2 

x

2 ) 

v

 

w A

2 

x

2  A cada posición le corresponden 2 velocidades: ida y vuelta

2. CINEMÁTICA DEL M.A.S.



RELACIÓN v-a

 Si v y a tienen el mismo signo: movimiento acelerado ( ↑ rapidez)  Si v y a tienen signo contrario: movimiento decelerado ( ↓ rapidez)  RELACIÓN a-x . La relación entre a y x es proporcional y de sentido contrario

x a



A

·

sen

(

wt

  0 )  

A

·

w

2 ·

sen

(

wt

  0 )

a x

 

w

2 Dividimos la expresión de “a” entre la expresión de “x”

GRÁFICAS DEL M.A.S.

Tomando w=2  /T y  0 = 0:

x



A

·

sen

  2

T v



A

·

w

·cos   2

T t

  

t

  

a

 

A

·

w

2 ·

sen

  2

T t

  

GRÁFICAS DEL M.A.S.

 CONCLUSIONES:  x, v y a varían periódicamente (vuelven a tomar un mismo valor transcurrido un período)  x, v y a están desfasadas entre sí (ni se anulan ni alcanzan el valor máximo a la vez)  v está adelantada en un cuarto de período ( desfasada medio período (   /4) respecto a la elongación, y la aceleración está /2) respecto a la elongación

CONDICIONES INICIALES DE MOVIMIENTO

  PODEMOS ELEGIR CUALQUIER INSTANTE PARA COMENZAR EL ESTUDIO PUESTO QUE EL CUERPO REPITE EL MOVIMIENTO CONTINUAMENTE CONOCIDAS x 0 , v 0

x



A

·

sen

(

wt

  0 )  si t Y w  0   x 0 CALCULAMOS  A·sen  0 ; v 0   0 Y A A·w·cos  0

x

0 2 

A

2 ·

sen

2  0 ;

v

0 2 

A

2 ·

w

2 ·cos 2  0

x

0 2 

v

0 2

w

2 

A

2 

A



x

0 2 

v

0 2

w

2 Elevamos al cuadrado las expresiones de x 0 y v 0 y las sumamos, despejando A Dividiendo x 0 entre v 0 obtenemos  0 

arctg x

0 ·

w v

0

3. DINÁMICA DE UN M.A.S.

 EL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN M.A.S. SE OBTIENE SUSTITUYENDO LA CONDICIÓN DE ACELERACIÓN (a = -w 2 ·x) EN LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA: 

F



m

· 

a



m

·( 

w

2 · 

x

)  

m

·

w

2 · 

x

 

k

· 

x

 La fuerza necesaria para producir un M.A.S. es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo, pero de sentido contrario  k es la constante de proporcionalidad y, para un muelle, coincide con la constante elástica (ke)

3. DINÁMICA DE UN M.A.S.

 Cada oscilador está caracterizado por una constante k y una masa m que determinan w, f y T:

k



m

·

w

2

w



k

 pulsación o frecuencia angular

m

T  2  w  2 

m k

 período f  w 2   1 2 

k m

 frecuencia

3. DINÁMICA DE UN M.A.S.

    ESTUDIO DEL PÉNDULO SIMPLE: La fuerza resultante es la tangencial del peso (Pt).

Si las oscilaciones son de poca amplitud, aproximamos a movimiento lineal

F

 Pt Como Así, k

F

  Px  m·g l  

k

·

x

m·g l

x

w y T independientes de m y A Como k  m·w 2 Con un péndulo de l conocida podemos calcular g midiendo el período de oscilación

w



g T l

 2 

w

 2 

l g

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

 UN OSCILADOR ARMÓNICO TIENE ENERGÍA CINÉTICA PORQUE ESTÁ EN MOVIMIENTO Y ENERGÍA POTENCIAL PORQUE LA FUERZA RECUPERADORA (F = -k·x), LE OBLIGA A OSCILAR  LA FUERZA RECUPERADORA CONSERVATIVA, LO QUE SUPONE: ES UNA FUERZA

El trabajo realizado sobre un cuerpo depende sólo de las posiciones final e inicial

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

 ENERGÍA CINÉTICA: La energía cinética varía de forma periódica y depende de la elongación (su valor en los extremos es nulo [v = 0] y en el equilibrio es máximo)

v



A

·

w

·cos(

wt

  0

)

k



m

·

w

2 

m



k w

2

Ec

 1 2

m

·

v

2  1 2

k w

2 ·

A

2 ·

w

2 ·cos 2 (

wt

  0 )

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

 ENERGÍA CINÉTICA:

Ec

 1 2

m

·

v

2  1 2

k

·

A

2 ·cos 2 (

wt

  0 )  Utilizando la expresión

v

 

w

·

A

2 

x

2

Ec

 1 2

m

·

v

2  1 2

m

·( 

w

·

A

2 

x

2 ) 2  1 2

k

(

A

2 

x

2 )

k



m

·

w

2

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

 ENERGÍA POTENCIAL: 

Ep

 1 2

k

·

x

2  1 2

k

·

A

2 ·

sen

2 (

wt

  0 ) La energía potencial es proporcional al cuadrado de la elongación  Se anula en el equilibrio (x = 0) y alcanza su valor máximo en los extremos (x = ± A)  El trabajo realizado por la fuerza recuperadora: F = k·x, entre dos posiciones A y B, depende sólo de las posiciones inicial y final, por lo que W A  B =-(E PB -E PA )

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

 TRABAJO DE LA FUERZA RECUPERADORA: 

W A



B

 

B A



F

·

d r

  

xB xA



k

·

x

dx    1 2

k

·

x

2  

xB xA

   1 2

k

·

x B

2  1 2

k

·

x A

2 La fuerza recuperadora F = -k·x es conservativa, por lo que se cumple que

W A



B

  (

E PB



E PA

)  Si comparamos ambas expresiones:

E PA

 1 2

k

·

x A

2

E PB

 1 2

k

·

x B

2 Por tanto:

E P

 1 2

k

·

x

2  1 2

k

·

A

2 ·

sen

2 (

wt

  0 )

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

E P

 1 2

k

·

x

2  1 2

k

·

A

2 ·

sen

2 (

wt

  0 )  Ep SE ANULA EN LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO (x = 0) Y TIENE SU VALOR MÁXIMO EN LOS EXTREMOS (x = ± A) Al estirar el resorte una distancia x, la energía potencial almacenada coincide con el trabajo de la fuerza externa necesaria para deformarlo, pero de sentido contrario: E p =W ext =0,5 ·k·x 2

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

 ENERGÍA MECÁNICA: Em = Ec + Ep

Em

 1 2

m

·

v

2  1 2

k

·

x

2  Sustituyendo anteriormente: por las expresiones obtenidas Sabiendo que sen 2 a + cos 2 a = 1 

Em

 1 2

k

·

A

2 ·cos 2 (

wt

  0 )  1 2

k

·

A

2 ·

sen

2 (

wt

  0 )  1 2

k

·

A

2 LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE OSCILADOR

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

 LA ENERGÍA MECÁNICA DE FORMA QUE Em = Ec + Ep = cte UN OSCILADOR ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE, PUESTO QUE Ec Y Ep VARÍAN CON EL TIEMPO Y LA POSICIÓN DE k= m·w 2

Em

 1 2

k

·

A

2  1 2

m

·

w

2 ·

A

2  1 2

m

· 4 ·  2 ·

f

2 ·

A

2 w=2·  /T=2·  ·f

Em = constante en cualquier instante ya que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es la fuerza recuperadora (una fuerza conservativa)

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

 LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE, PUESTO QUE Ec Y Ep VARÍAN CON EL TIEMPO Y LA POSICIÓN DE FORMA QUE Em = Ec + Ep = cte

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

 LAS ENERGÍAS CINÉTICA Y POTENCIAL DE UN OSCILADOR VARÍAN EN FUNCIÓN DE LA POSICIÓN (x). LA ENERGÍA MECÁNICA ES LA SUMA DE AMBAS

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO DIAGRAMA ENERGÉTICO

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO VALORES DE LAS ENERGÍAS EN POSICIONES SUCESIVAS DE UN M.A.S

Para x = 0 Ec máx Ep = 0 Para x = x máx Ec = 0 Ep máx = A

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO

 CUANDO EL CUERPO SE ALEJA DE LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO (x = 0), SU ENERGÍA POTENCIAL AUMENTA Y SU ENERGÍA CINÉTICA DISMINUYE  CUANDO EL CUERPO SE ACERCA A LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO, SU ENERGÍA CINÉTICA AUMENTA HASTA ALCANZAR SU VALOR MÁXIMO Y SU ENERGÍA POTENCIAL DISMINUYE  EN CUALQUIER POSICIÓN, Ec Y Ep SON POSITIVAS Y SU SUMA ES LA Em, QUE PERMACE CONSTANTE EN TODO MOMENTO