Vibraciones y oscilaciones El Movimiento Armónico Simple Introducción MAS I Movimiento Armónico Simple (MAS): Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los.
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Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
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Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
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Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 4
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 5
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 6
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 7
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 8
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 9
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 10
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 11
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 12
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 13
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 14
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 15
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 16
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 17
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 2
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 3
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 4
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 5
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 6
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 7
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 8
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 9
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
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Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 11
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 12
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 13
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 14
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 15
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
Slide 16
Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)
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Vibraciones y
oscilaciones
El Movimiento Armónico Simple
Introducción MAS I
Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una
pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas
elásticas)
A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores
armónicos.
Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas
(senos y cosenos):
x(t) Asen( ω t 0 )
dx
v(t)
ωAcos(ωt 0 )
dt
2
dv
d x
2
2
a(t)
ω Asen( ω t 0 ) ω ·x(t)
2
dt
dt
Magnitudes del MAS:
• Elongación (x): Distancia del móvil a la posición
•
•
•
•
•
•
de equilibrio o centro de oscilación
Amplitud (A): Máxima elongación
Fase (φ): Es el valor del argumento de las
funciones
seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0
Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0
• Simulación gráfica MAS (oscilográfo)
Período (T): Tiempo que dura cada
ciclo u osciación completa
Frecuencia (f): Numero de ciclos en
la unidad de tiempo (1s en SI)
f
•
1
T
Frecuencia Angular (ω): Es el
número de ciclos que se dan en
2πunidades de tiempo
2
ω 2 f
T
Introducción MAS II
Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador
armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo
vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las
matemáticas no son muy difíciles):
El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar
a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar.
•
• Edificaciones (edificios, puentes, etc)
•
• Maquinas
• Los átomos en las redes cristalinas de los •
sólidos
•
• Instrumentos musicales
Todo objeto que produce sonidos
Circuitos electricos
Columpio
Etc.
Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
t
x(t)
v(t)
a(t)
0
0
ωA
0
T/4
A
0
-ω2A
T/2
0
-ωA
0
3T/4
-A
0
ω2A
Nota: La columna de t solo es válida si
φ0=0.
Muelle oscilante (Walter Fendt)
La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t)
La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones
cada 40s. Calcula
a) La frecuencia
b) el período
c) la pulsación de este movimiento
Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0,
su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial
φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla:
a) el período
b) la pulsación de este movimiento
c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y
t=10s
e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los
instantes t=0s y t=15s
Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a):
En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no
dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad
iniciales ).
Solo dependen de las características físicas del sistema.
La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones
inciales.
Simulacion condiciones incialestg( ) ω
0
x(t 0) x 0 Asen( 0 )
v(t 0) v 0 ωAcos( 0 )
A
A
φ0
x(0)=x0
v(t)=0
x0
π/2
x(0)=0
v(0)=v0
v0/ω
0
x0
v0
x0
sen( 0 )
ó
A
v0
ω·cos( 0 )
Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su
período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con
velocidad positiva, halla:
a)
La fase inicial
c) la ecuación de la elongación
b) la pulsación de este movimiento
d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el
movimiento
Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme
El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo
moviéndose con un MCU
Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de
posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide
con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) .
Animacion MAS y MCU colombia
Animacion Flash
Animación Newton
Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular
y un períodos dados por las siguientes expresiones:
m
F Kx
Ley de Newton : F ma
K
( Comparando
Ley de Hooke :
K
m
T 2
Kx ma
con a x )
2
Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y
K).
Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de
2
sentido contrario
) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora
(
F Kx
a x(
se mueve de con un MAS
)
Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el
sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia
angular y un período dados por las siguientes
expresiones:
g
L
•
T 2
L
g
Como puede verse solo dependen de las
características físicas del sistema (L y g).
Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños
(<20º)
Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<
Péndulo (Walter Fendt)
Animación péndulo colombia
Energía en el MAS
Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de
estos sistemas se conserva:
Ep
E cin
1
2
1
Kx
2
2
1
2
KA sen ( t 0 )
K (A x )
2
2
2
1
2
2
E mec E cin E p cte
KA cos ( t 0 )
2
2
Animación 1 Animación 2 animación 3
Muelle oscilante (Walter Fendt)
1
2
KA
2
Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos
los más importantes son:
El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese
caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada
una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto).
Animación colomb animacion flash
El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema
“γ”
γt
0
K
Amplitud decrece con el tiempo.
y(t) Ae
A mayor “γ” (mayor rozamiento)
más rápido decrece
sen( t )
m
La ω y el T siguen
siendo iguales
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica
adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y
sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia:
Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación
los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características
físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..).
A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0).
Hemos visto dos ejemplos básicos:
0
K
m
0
g
L
El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa
sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una
frecuencia ω
En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila
con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω).
Resonancia colombia
Resonancia flash
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del
sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones
En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se
hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a
ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Resonancia (Walter Fendt)
El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia
entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).
¿Qué cojo… quiere decir esto?
Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!!
Para un sistema ideal (sin rozamiento):
Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!!
A tomar por cul… el sistema Catastrofe
resonante!!!
Para un sistema real (con rozamiento):
Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!!
El valor concreto depende de la cte. de
A (m)
amortiguamiento
A (m)
Amax
A1
A1
ω1
ω0
Resonancia (Walter Fendt)
ω (rad/s)
ω1
ω0
ω (rad/s)