Transcript DYNAMIKA
DYNAMIKA Dynamika zajmuje się badaniem związków zachodzących pomiędzy ruchem ciała a siłami działającymi na ciało, będącymi przyczyną tego ruchu Znając prawa NEWTONA możemy stwierdzić, że w dynamice bezwzględnym układem odniesienia jest układ, mający zawsze przyspieszenie równe zeru. Układ taki, poruszający się jednostajnie i prostoliniowo, jest równoznaczny układowi pozostającemu stale w spoczynku. Podstawowe prawa dynamiki słuszne w tym układzie odniesienia, na ogół nie są słuszne w innym układzie, gdyż zmiana układu odniesienia powoduje zmianę zależności miedzy siłą a ruchem Układy odniesienia poruszające się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem absolutnie nieruchomego układu odniesienia, w którym słuszne są podstawowe prawa dynamiki, nazywamy układami GALILEUSZA (bezwładnościowymi, inercjalnymi) Prawa NEWTONA Prawo pierwsze. Każde ciało pozostaje w spoczynku lub w ruchu jednostajnie prostoliniowym, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią Komentarz: Prawo to nazywane również prawem bezwładności mówi, że z punktu widzenia dynamiki jest obojętne czy ciało jest w spoczynku czy też porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym Prawa NEWTONA Prawo drugie. Zmiana ilości ruchu (pędu) jest proporcjonalna względem siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa. Komentarz: d dt m v P W większości zagadnień mechaniki stosowanej masa ciała jest stała w czasie ruchu, stąd m dv dt ma P Prawa NEWTONA Prawo trzecie. Każdemu działaniu towarzyszy równe i wprost przeciwne oddziaływanie, czyli wzajemne działania dwóch sił są zawsze równe i skierowane przeciwnie. Prawo czwarte. Jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił. Komentarz: - prawo to nazywa się też prawem superpozycji d dt m v 1 m v 2 m v 3 ... m v n P1 P2 P2 ... Pn P n i 1 Pi Prawa NEWTONA Prawo piąte. Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalna do iloczynu mas (m1 i m2) i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości r miedzy nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty. Komentarz: Piąte prawo nazwano prawem grawitacji i w połączeniu z drugim prawem wyraża się je wzorem: m m 1 2 Pk ma 2 r Dynamika swobodnego punktu materialnego Po wyrażeniu w drugim prawie Newtona wektora prędkości przez pochodną promienia wektora r, opisującego położenie punktu materialnego, względem czasu mamy: d dr m P dt dt jeżeli m const Można m wyłączyć przed symbol różniczkowania i otrzymujemy dynamiczne wektorowe równanie różniczkowe ruchu swobodnego punktu materialnego: m a m r P n n ma x m x P i 1 ix ma y m y P i 1 n iy ma z m z P i 1 iz Dynamika swobodnego punktu materialnego n n ma x m x P ix ma y m y P n ma iy z m z i 1 i 1 P iz i 1 Po zrzutowaniu przyspieszenia wektora a punkt i siły P na osie współrzędnych naturalnych ma n m v 2 n P i 1 in ma t m dv dt n n P i 1 it ma b P ib i 1 Wektor przyspieszenia całkowitego a punktu materialnego poruszającego się po krzywej przestrzennej musi leżeć na płaszczyźnie ściśle stycznej do toru. Stąd wartość składowej binormalnej przyspieszenia jest równa zeru ab= 0 Dynamika nieswobodnego punktu materialnego Istnieją przypadki ruchu, w których istniejące warunki zewnętrzne ograniczają swobodę jego ruchu. Na punkt nieswobodny działają zatem nie tylko czynne siły zewnętrzne P, ale również siły bierne, czyli reakcje więzów brak tarcia ma ma ma m s P t R t t n b m v ma t m s P t 2 Pn R n 0 Pb R b v 2 ma n m ma b 0 Pb R b Pn R n Dynamika nieswobodnego punktu materialnego Przy rozważaniu tarcia ślizgowego (kinetycznego) siła tarcia jest skierowana przeciwnie do kierunku ruchu, a jej wartość określa się następująco: R t ma t ' Rn Rb 2 m s P t v 2 ' Rn Rb 2 ma n m ma b 0 Pb R b Pn R n 2 2 Pierwsze zadanie dynamiki Znamy masę m punktu, równania ruchu, należy wyznaczyć wartość i kierunek wypadkowej sił działających na punkt materialny przyjmujemy układ współrzędnych prostokątnych P m a m r r r ( t ) a r P x m x P y m y Pz m z P P x P y Pz 2 2 2 N cos( P , i ) Px P cos( P , j) Py P cos( P , k ) Pz P Pierwsze zadanie dynamiki Znamy masę m punktu, równania ruchu, należy wyznaczyć wartość i kierunek wypadkowej sił działających na punkt materialny przyjmujemy układ współrzędnych naturalnych s s(t) v ds rzuty sil na osie trojscianu Freneta P n ma m n dt P t ma P P P 2 n 2 t t Pb ma cos( P , n ) P cos( P , t ) 2 m dv dt b 0 N Px v Py P Drugie zadanie dynamiki W drugim zadaniu dynamiki dana jest masa punktu materialnego m i siły działające na niego, a należy wyznaczyć równania ruchu punktu. RUCH PUNKTU POD DZIAŁANIEM SIŁY STAŁEJ CO DO WARTOŚCI I KIERUNKU. RUCH PUNKTU POD DZIAŁANIEM SIŁY ZALEŻNEJ OD CZASU RUCH PUNKTU POD DZIAŁANIEM SIŁY ZALEŻNEJ OD PRĘDKOŚCI RUCH PUNKTU POD DZIAŁANIEM SIŁY ZALEŻNEJ OD POŁOŻENIA Drugie zadanie dynamiki RUCH PUNKTU POD DZIAŁANIEM SIŁY STAŁEJ CO DO WARTOŚCI I KIERUNKU. P r m v v0 r r0 dr t 0 dv dt P m t 0 v m v v0 t v dt P P v0 t dt m v0 P dv P t m 0 dr t dt v dt m r r0 v 0 t P 2m t 2 Drugie zadanie dynamiki RUCH PUNKTU POD DZIAŁANIEM SIŁY ZALEŻNEJ OD CZASU P(t) r m 1 v v0 m r r0 dv P(t) dt t1 v0 1 dv m t P t dt 0 dr P ( t ) dt v dt 0 1 dr v0t2 m m v t1 t2 0 0 P ( t ) dt 1 r r0 v 0 t 2 m t1 t2 0 0 P ( t ) dt Drugie zadanie dynamiki RUCH PUNKTU POD DZIAŁANIEM SIŁY ZALEŻNEJ OD PRĘDKOŚCI 1 r P(v) m v vo dv P(v) 1 r0 dv P(v) Po scałkowaniu otrzymamy czas t jako funkcję prędkości v, a funkcję odwrotna prędkości względem czasu można zapisać: dt v r ( t , v 0 ) 0 r 1 m t m v 1 t m ( t , v 0 ) dt 0 1 r r0 m t 0 ( t , v 0 ) dt Drugie zadanie dynamiki RUCH PUNKTU POD DZIAŁANIEM SIŁY ZALEŻNEJ OD POŁOŻENIA x 1 P(x ) m v dv dx 1 dv dv dx dv x v dt dx dt dx P(x ) m v 0 vdv 1 m x1 0 P ( x ) dx Drugie zadanie dynamiki RUCH PUNKTU POD DZIAŁANIEM SIŁY ZALEŻNEJ OD POŁOŻENIA v 2 2 1 m x1 P ( x ) dx C 0 v 2 m dx 1 dt 2 m x1 0 v dx 1 dt x1 P ( x ) dx C P ( x ) dx C 0 x1 f (t) Dynamika ruchu względnego punktu materialnego Prawa Newtona są słuszne w inercjalnych układach odniesienia, a niesłuszne w układach będących w ruchu. Jeżeli rozważamy ruch układu odniesienia względem układu absolutnego, to możemy zapisać prawa Newtona w tym układzie i po dokonaniu transformacji do układu ruchomego znaleźć postać dynamicznych równań ruchu a b a u a w a c a 0 r ( r ) a w 2 v w Dla ruchu inercjalnego (nieruchomego 0XYZ) dynamiczne równanie ruchu m a b Pb Przyspieszenie w ruchu względnym: aw ab au ac Dynamiczne równanie ruchu względnego zapisanego w układzie ruchomym 0xyz: ma w ma b ma u ma c Dynamika ruchu względnego punktu materialnego Dynamiczne równanie ruchu względnego zapisanego w układzie ruchomym 0xyz: ma w ma b ma u ma c Siła bezwzględna Siła unoszenia Siła Coriolisa m a w P b P u Pc Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego w ruchomym układzie odniesienia są takie, jak gdyby układ był inercjalny pod warunkiem, że do siły bezwzględnej Pb działającej na punkt dodamy siłę unoszenia Pu i siłę Coriolisa Pc Dynamika ruchu względnego punktu materialnego Przykład: C A Ry R R un x x G R ut y Z D B z Y X l Dynamika ruchu względnego punktu materialnego Ruch względny kulki o masie m jest ruchem prostoliniowym wzdłuż osi Oz Przykład: Dynamiczne równanie ruchu względnego: C A m a w G R P u Pc Ry R R un x x G R ut y równanie ruchu względnego odpowiada równaniom skalarnym: m z G D B 0 R y Put z 0 R x Pun Pc m 2 v w sin 180 0 Dynamika ruchu względnego punktu materialnego Przykład: Z pierwszego równania ruchu względnego mamy: C A z g Ry R R un x z x G R ut 1 gt 2 2 y Składowe reakcji wynoszą: R x P un m l 2 D B z R y P ut m l R R x R y ml 2 2 4 2 N Zasada pędu i momentu pędu (krętu) Ilością ruchu lub pędem nazywamy wektor: H mv kg m s d ( m v ) H P dt md v P dt Pochodna pędu względem czasu punktu materialnego równa się sumie sił działających na ten punkt v m dv m (v v 0 ) v0 t2 P dt t1 Przyrost geometryczny pędu w pewnym przedziale czasu równa się popędowi sił działających w tym przedziale czasu. Równanie powyżej wyraża zasadę pędu dla punktu materialnego Zasada pędu i momentu pędu (krętu) v m v0 dv m (v v 0 ) t2 P dt t1 Jeżeli na punkt materialny nie działa siła P lub układ sił równoważnych, to popęd jest równy zeru, a pęd jest wartością stałą m v const ZASADA ZACHOWANIA PĘDU. Jeżeli na punkt materialny działa samozrównoważony układ sił, to pęd jest wektorem stałym Zasada pędu i momentu pędu (krętu) K 0 r mv K0 P mv M0 m r 0 Momentem pędu (krętem) punktu materialnego o masie m względem dowolnego punktu 0 (bieguna) jest wektor K0 prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez promień wektor r, wektor pędu mv i biegun 0. Zasada pędu i momentu pędu (krętu) dK 0 K0 rP M0 dt P mv M0 m r dK 0 dt rP M0 0 Pochodna względem czasu, krętu K0 punktu materialnego względem nieruchomego bieguna 0 jest równa momentowi względem tegoż bieguna wypadkowej sił działających na dany punkt materialny. Zasada pędu i momentu pędu (krętu) K0 dK x Mx y My z Mz dt P mv M0 m r 0 dK dt dK dt M x y Pz z P y M y z P x x Pz M z x Py y Px Zasada pędu i momentu pędu (krętu) dK 0 K0 P mv M0 0 K 0 const dt m r 0 ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU DLA PUNKTU MATERIALNEGO Jeżeli moment względem dowolnego bieguna 0 wypadkowej sił działających na punkt materialny jest równy zeru, to kręt punktu materialnego wyznaczony względem tegoż bieguna jest stały Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy Energia kinetyczna punktu materialnego o masie m, poruszającego się z prędkością v, jest dana następującą formułą: E mv 2 2 Dynamiczne równanie ruchu ma postać: dv mv Pv dt m dv dt P 2 dv d 1 d v v vv dt dt 2 dt 2 v r d mv dt 2 2 dr P dt t2 t1 d mv dt 2 2 dt AB P dr Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy Lewa strona równania przedstawia przyrost energii kinetycznej w przedziale czasu [t1 t2]. Wyrażenie po prawej stronie równania nazywamy pracą i oznaczamy przez W mv 2 2 mv 1 2 2 2 P dr AB ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI ENERGII KINETYCZNEJ I PRACY Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy sumie prac, które wykonały w tym czasie wszystkie siły działające na ten punkt. Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy Przykład: Punktowi materialnemu o masie m kg, leżącemu na poziomym prostoliniowym torze, nadano prędkość początkową v0 m/s. Przyjmując siłę tarcia jako jedyną siłę oporu ruchu, obliczyć drogę przebytą przez punkt materialny do chwili zatrzymania się, jeżeli współczynnik tarcia ślizgowego wynosi T mg N v0 Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy v0 mg T E 2 E1 W E2 0 2 N m v0 E1 2 m v0 mgx 2 T N mg 2 W Tx mgx 2 x v0 2g Zasada zachowania energii mechanicznej Zastosujemy zasadę równoważności energii kinetycznej i pracy do punktu materialnego poruszającego się w polu potencjalnym. Po przyjęciu, że jedynymi siłami działającymi na punkt materialny są siły potencjalne, mamy: E 2 E 1 V1 V 2 Sumę energii kinetycznej i potencjalnej nazywamy energią mechaniczną E 2 V 2 E 1 V1 m v2 2 2 m v1 2 mgh 2 2 mgh 1 Podczas ruchu w polu potencjalnym energia mechaniczna punktu materialnego zachowuje stałą wartość Zasada zachowania energii mechanicznej A l y S B mg B' y1 y2 x Zasada zachowania energii mechanicznej V1 mgy A V 2 mgy 1 l E1 0 y E2 S B 1 mg B' mv 2 mgy 2 y1 2 mv 2 2 2 0 mgy 1 y2 x 1 2 v 2 gl (1 cos ) mv 2 mg ( y 1 y 2 ) mgl (1 cos ) m /s DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH Układem punktów materialnych nazywamy zbiór punktów materialnych w którym położenie każdego punktu jest zależne od położenia innych punktów. Układ punktów materialnych, których ruch jest nieograniczony żadnymi więzami, nazywamy układem punktów swobodnych Układ punktów materialnych, których ruch jest ograniczony nałożonymi więzami, nazywamy układem punktów nieswobodnych DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH W układzie punktów materialnych występują siły wewnętrzne i zewnętrzne. Siły wewnętrzne pochodzą od wzajemnych oddziaływań punktów układu, natomiast siły zewnętrzne są to pozostałe siły czynne i reakcje. Ruch punktów zależy zarówno od sił zewnętrznych jak i wewnętrznych. S ij S ji r 0 n n i 1 j1 S ij 0 n n i 1 j 1 M 0 ( S ij ) n i 1 n ri S ij 0 j 1 DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH d C dt 2 2 ( m i ri ) Pi n S ij i 1 rC 0 Punkt materialny układu można rozważać jako punkt materialny swobodny, na który działają siły zewnętrzne i wewnętrzne jako oddziaływania wszystkich pozostałych punktów układu. Dynamiczne równanie ruchu i-tego punktu materialnego ma postać W każdym punkcie układu punktów materialnych jest skupiona skończona masa mi. Jego położenie w przestrzeni określa promień wektor ri lub trzy współrzędne x,y,z. Środkiem masy układu punktów materialnych nazywamy punkt C, którego położenie w przestrzeni określa promień wektor rC. 1 rC m n i 1 m i ri Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu Dla wszystkich punktów materialnych układu mamy: n d 2 2 ( m i ri ) dt i 1 i 1 d ri 2 n mi dt 2 d dt 2 2 n i 1 n i 1 2 Pi n n i 1 j 1 S ij d rC 2 d m i ri ( m rC ) m 2 2 dt dt m rC m a C P Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu m rC m a C P Z powyższej formuły wynika, że siły wewnętrzne nie maja wpływu na ruch środka masy układu punktów materialnych. Ponadto ruch środka masy nie zależy od tego, gdzie są przyłożone siły zewnętrzne, czyli nie zależy od momentu ogólnego tych sił względem jakiegokolwiek punktu. ZASADA RUCHU ŚRODKA MASY Środek masy każdego układu punktów materialnych porusza się tak, jakby była w nim skupiona cała masa układu i jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie siły zewnętrzne. Zasada ruchu środka masy pozwala wyznaczyć zmianę pędu ogólnego układu za pomocą pędu jednego tylko punktu C, w którym jest skupiona całkowita masa m ZASADA ZACHOWANIA RUCHU ŚRODKA MASY Jeżeli suma geometryczna sił zewnętrznych działających na dany układ punktów materialnych jest równa zeru, to środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (jeżeli dana jest prędkość początkowa) Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu Pędem układu punktów materialnych nazywamy wektorowa sumę pędów wszystkich punktów materialnych tego układu H n m ivi i 1 n H i mvC i 1 Pęd układu punktów materialnych może mieć wartość zerową, mimo że poszczególne pędy Hi są różne od zera, gdyż mogą one tworzyć parę pędów. dH dt H2 H1 d dt dH t2 t1 (m v C ) ma C P dt dH dt ma C P H H 2 H1 d H P dt t2 t1 P dt Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu ZASADA PĘDU dH dt ma C P H H 2 H1 t2 P dt t1 Przyrost pędu układu punktów materialnych jest równy popędowi sumy geometrycznej sił zewnętrznych. ZASADA ZACHOWANIA PĘDU Jeżeli suma sił działających na układ punktów materialnych jest równa zeru, to pęd układu ma wartość stałą. Oznacza to, że środek masy albo znajduje się w spoczynku, albo będzie się poruszał ruchem jednostajnym dH dt m a C 0 H m v C const Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu Moment pędu, czyli kręt układu punktów materialnych względem dowolnego bieguna, jest wektor równy sumie geometrycznej krętów wszystkich punktów materialnych układu względem bieguna. ZASADA KRĘTU K0 n K i0 i 1 n ( ri m v i ) i 1 dK 0 dt M0 Pochodna względem czasu krętu układu punktów materialnych względem dowolnego punktu 0 równa się sumie geometrycznej momentów sił zewnętrznych, jeżeli punktem 0 jest punkt nieruchomy lub środek masy układu C Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu ZASADA ZACHOWANIA KRĘTU d K 0 M 0 dt d K 0 M 0 dt K2 K1 K 0 K 20 K 10 t2 dK 0 t2 M 0 dt t1 M 0 dt t1 Jeżeli suma geometryczna momentów sił zewnętrznych względem punktu stałego 0 lub środka masy C wynosi zero, to kręt układu względem tych punktów ma wartość stałą Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu y 30 B h m 1g m 2g h R A m 3g x C O ile przesunie się klin po poziomej płaszczyźnie, jeżeli ciało o masie m2 przesunie się po ścianie BC w dół o h ? W chwili początkowej układ pozostawał w spoczynku. Masa klina jest równa m3=3m1=4m2 Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu Suma geometryczna sił zewnętrznych jest równa zeru: y 30 m x C 0 B m m1 m 2 m 3 7m 2 h m 1g m 2g h R A m 3g x m x C C 1 W chwili początkowej układ był w spoczynku: mx C C2 m x C C 1 C 1 0 Współrzędna xC nie zależy od przemieszczenia mas składowych układu i pozostaje stała n mx C i 1 m ix i Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu y 30 B h n m 1g mx m 2g h R m i x 1 i dla t t1 m i x 2 i dla t t2 i 1 m 3g n A C x mx C i 1 Odejmując stronami: n 0 m i ( x 2 i x 1i ) x i ( x 2 i x 1i ) i 1 m 1 ( x h cos 30 ) m 2 ( x h cos 60 ) m 3 x 0 x 0 , 32 h Zasada d’ Alemberta W czasie ruchu dowolnego układu punktów materialnych siły rzeczywiste działające na punkty tego układu równoważą się w każdej chwili z odpowiednimi siłami bezwładności m i a i Pi S ij 0 Bi B i Pi S ij 0 Siła bezwładności n m ia i i 1 Bi Pi n i 1 Pi S ij 0 n i 1 S ij Zasada d’ Alemberta B 1 m 1a S m 1g T N S B 2 m 2a m 2g a Zasada d’ Alemberta B 1 m 1a B 1 m 1a S B 2 m 2a m 1g T N S T N m 1g B 2 m 2a m 2g Pix m 1 a m 1 g S 0 Piy S m 2 a m 2 g 0 a a g (m 2 m 1 ) m1 m 2 S gm 2 m 1 (1 ) m1 m 2 Zasada zachowania energii mechanicznej Podczas ruchu w polu potencjalnym energia mechaniczna układu punktów materialnych, równa sumie energii kinetycznej oraz energii potencjalnej sił wewnętrznych i zewnętrznych, zachowuje stałą wartość. praca sil zewnetrzny ch praca sił wewnetrzny ch roznica potencjalo w W z (1, 2 ) roznica potencjalo w W w (1, 2 ) V z (1 ) V z ( 2 ) V w (1 ) V w ( 2 ) E 2 E 1 E 2 V z ( 2 ) V w ( 2 ) E 1 V z (1 ) V w (1 ) W przypadku obciążenia statycznego energia kinetyczna jest stale równa zeru, a praca sił zewnętrznych równa się przyrostowi energii potencjalnej sił wewnętrznych. W układach tych procesowi obciążenia statycznego odpowiada zmiana energii potencjalnej obciążenia zewnętrznego w energię potencjalną sił wewnętrznych. Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy Pracą wykonywaną na układzie punktów materialnych nazywamy sumę prac wykonywanych przez wszystkie siły (zewnętrzne i wewnętrzne) działające na układ n i 1 m i v i Pi S ij Wi i 1 dE dt i 1 dt ( Pi S ij ) v i dt t1 m i v i v i ( Pi S ij ) v i n i 1 n d Wi t2 n n E i 1 Wi m i v i v i n ( Pi S ij ) v i i 1 Przyrost energii kinetycznej układu punktów materialnych równa się sumie prac, jaką wykonały w tym czasie (zewnętrzne i wewnętrzne) działające na układ Praca, moc i energia kinetyczna Praca stałej co do wartości i kierunku siły P na prostoliniowym przesunięciu jest to iloczyn skalarny wektora siły P i wektora drogi s punktu jej przyłożenia W P s P s cos W Ps AB AB P s cos ( P x dx P y dy P z dz ) AB PRACA SIŁ CIĘŻKOŚCI W ( P x dx P y dy P z dz ) mgh AB PRACA SIŁ SPRĘŻYSTEJ 2 W AB ( Px dx P y dy Pz dz ) k x1 2 Praca, moc i energia kinetyczna Moc siły jest to iloczyn skalarny wektora siły P i wektora prędkości v punktu jej przyłożenia dW dr N P Pv dt dt N P v P v cos( P , v ) Jeżeli ciało sztywne porusza się ruchem obrotowym, to moc momentu Mz wyznaczamy następująco: N dW M zd dt Jednostką mocy jest wat: 1W dt 1J 1s M z Praca, moc i energia kinetyczna Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii kinetycznej wszystkich jego punktów materialnych n E i 1 n Ei i 1 1 2 1J 1kg 2 m ivi E 1 2 Energia kinetyczna ciała sztywnego w ruchu płaskim 1N m 1s E Energia kinetyczna ciała sztywnego w ruchu postępowym Energia kinetyczna ciała sztywnego w ruchu obrotowym 2 1m 1 mv 2 2 I l 2 E Il 1 2 r dm mv 2 2 C 1 2 I l0 2 Zasada pędu i krętu w ruchu obrotowym H m v C m ( rC ) m a m ( r v ) m (a a ) P H C C C t n W przypadku szczególnym, gdy oś obrotu przechodzi przez środek masy, wówczas promień wektor rc pokrywa się z wektorami prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego ε. Stąd vC=0 i aC =0. Oznacza to, że w ruchu obrotowym wokół osi przechodzącej przez środek masy pęd ogólny i jego pochodna względem czasu równają się zeru K0 r v dm d K 0 ( K 0 e ) K 0 e K 0 K t K n M 0 dt Zasada pędu i krętu w ruchu obrotowym d K 0 ( K 0 e ) K 0 e K 0 K t K n M 0 dt Równania poniżej opisują zasadę krętu w ruchu obrotowym 2 K x I xy I yz M x 2 K x I yz I xz M y K x I z M x Jeżeli osią obrotu jest główna oś bezwładności to Mx = 0, My = 0 Jeżeli Mz= 0 to ciało sztywne obraca się ze stałą prędkością katową Zasada pędu i krętu w ruchu obrotowym z K n 2 K x I xy I yz M x K t 2 K x I yz I xz M y K x I z M x K0 e y x Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego z z' n m x C P1 P ix i 1 Pi n y' x' P m y C iy i 1 P2 n Iz y M iz i 1 x Ruch swobodnego ciała sztywnego jest płaski, jeżeli chwilowe osie obrotu nie zmieniające kierunku pozostają stale równolegle do głównej centralnej osi bezwładności Reakcje statyczne i dynamiczne stałej osi obrotu x P x R Ax R Bx A R Ay B B R Az b c y y R By z Reakcje statyczne i dynamiczne stałej osi obrotu x '' '' 1 H x P x R Ax R Bx B x P x B R Ax R Bx '' '' 2 H y P y R Ay R By B y A z B R Az R Ay b c R By ' 3 H z Pz R Az B z 4 K x M x ( P ) M x ( R ) M x ( B ) y y 5 K y M y ( P ) M y ( R ) M y ( B ) R Az Pz ' 6 K z M z ( P ) M z ( B ) R Ax R Bx m ( x C y C ) '' '' 2 R Ay R By m ( y C x C ) '' '' 2 R Ax b R Bx c I xy I yz '' '' 2 R Ay b R By c I yz I xz '' '' 2