Transcript Wyklad_4 - skaczmarek.zut.edu.pl
Dynamika
Całka ruchu
–
wielkość, będąca funkcją położenia i prędkości, która w czasie ruchu zachowuje swoją wartość.
Energia, pęd i moment pędu
- prawa zachowania tych całek ruchu dają często możliwość szybszych rozwiązań.
Prawa zachowania
– niezależne od własności toru i działających sił (nieznane siły).
W układzie odosobnionym odpowiednia wielkość fizyczna opisująca zachowanie się cząstek nie ulega zmianie podczas ich ruchu.
___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 1
Zasada zachowania energii
1.
1. Praca wykonana nad ciałem przez dowolną siłę zewnętrzną jest równa zmianie jego energii kinetycznej (ciało musi być
E>10 40 J
swobodne):
- wybuch supernowej: - zmiana spinu w atomie wodoru: E<10 -20 J
F
(
x
x o
) 1 2
mv
2 1 2
mv o
2 [
E
] [
W
]
J
N
m
kg
m
2
s
2
E k
E p
E
const mgh
1 2
mv
2
mgx
E Jeżeli ruch zaczyna się na wysokości h, to energia całkowita E=const
___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 2
Zasady zachowania – siła dowolna
Siła zachowawcza - jeżeli praca wykonana przez siłę nie zależy od drogi
; dW=
F
·d
r
;
W
(
A
B
)
B A
F
d
r
m B A
d dt v d
r
m B A
v d
v
1 2
m B A
d
(
v
2 ) 1 2
mv
2
B
1 2
mv
2
A W
(
A
B
)
E k B
E k A
,
W
(
A
B
)
W
(
B
A
)
Praca wykonana na drodze zamkniętej równa jest 0. Praca wykonana nad cząstką znajdującą się w polu sił zmienia się w jej energię potencjalną B A W
(
A
B
)
E p
E p Jeżeli siły są zachowawcze
:
F
gradE p
E p
;
i
x
j
y
k
z
___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 3
Zasady zachowania
Moc P
– szybkość wykonania jakiejś pracy, iloczyn skalarny siły działającej na ciało i jego prędkości P
dW
;
dt dW
F
d
r
;
P
F
v
; [
P
]
W
J s
kg
m
2
s
3 Kwazary – P=10 40 [W], lecący owad P<1 W
Przykład 1
Klocek zsuwa się z wysokości h po równi pochyłej. Jaką drogę przebędzie klocek na płaszczyźnie u podstawy równi do chwili zatrzymania, jeżeli współczynnik tarcia na całej drodze wynosi m ?
___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 4
Zasada zachowania energii
mgh v
2 |
W T
2
gh
| 1
mv
2 2 2 m
ghctg
s
m
mg
cos 1 2
mv
2 1 2
mv
2 m
mgx
;
x
v
2 2 m
g
1
h
( m
ctg
)
a
1
mg
sin m
mg
cos ;
m s
1 2
a
1
t
* 2
t
* 2
hg
( 1 m
ctg
) 2
s
a
1
a
1 2
h
sin ;
v
a
1
t
* 2
ha
1 sin
a
2
T
1
m
g
m ;
v k
v
a
2
t
* * 0
t
* *
v
a
2
x
h
( 1 m
ctg
)
v g
m ;
x
vt
* * 1 2 |
a
2 |
t
* * 2 1 2
vt
* *
v
2 2
g
m ___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 5
Zasada zachowania pędu
Fdt=dp
Ziemia – 10 30 kg*m/s; elektron w atomie wodoru – 10 -20 kg*m/s
Przy zderzeniu dwóch ciał o stałej masie
: 1 2
M
1
v
1 2 1 2
M
2
v
2 2 1 2
M
1
w
1 2 1 2
M
2
w
2 2 –
energia wewnętrznego wzbudzenia ciał
W układzie odosobnionym pęd układu nie ulega zmianie
M
1
v
1
M
2
v
2
M
1
w
1
M
1
w
2
Ruch ciał o zmiennej masie, wzór Ciołkowskiego
:
v
v o
u
ln
m o m u – prędkość strumienia gazów względem rakiety
___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 6
Zasady zachowania
Jeżeli nie działają siły zewnętrzne prędkość środka masy jest stała
R sm
i N
1
r i
m i i N
1
m i
;
R sm
const M
:
R sm
F zew Pod działaniem sił zewnętrznych środek masy układu porusza się tak, jakby w nim skupiona była cała masa układu
___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 7
Zasada zachowania pędu
Przykład 2
Wózek o masie m poruszający się z prędkością v zderza się ze spoczywającym wózkiem o masie M=2m. Po zderzeniu wózki poruszają się razem. Obliczyć ich prędkości. Jaka część początkowej energii kinetycznej została zamieniona na ciepło?
mv
M
* 0 (
m
M
)
w
;
w
1 3
v E
1
mv
2 ; 2
E
2 1 2 3
m v
2 9 1 3 1 2
mv
2
E
2 1 3
E
1 ;
Q
E
2 3
mv
2 ;
Q E
1 2 3
E
1
E
1 2 3 ___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 8
Zasada zachowania momentu pędu
Moment pędu punktu materialnego –
ilości ruchu w ruchu krzywoliniowym.
miara
J
r
p Szybkość zmiany momentu pędu równa jest momentowi siły. Moment pędu układu jest zachowany, gdy na układ nie działa żaden zewnętrzny moment siły d
J
r
F dt
___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 9
Zasada zachowania momentu pędu
Przykład 3
Na brzegu poziomego stolika, o masie m 1 =100 kg i o promieniu r 1 =1m wirującego z częstotliwością f=0.5 Hz dookoła pionowej osi przechodzącej przez jego środek stoi człowiek o masie m 2 =60 kg.
Z jaką prędkością kątową będzie się obracał stolik, gdy człowiek przejdzie na jego środek? Jak zmieni się energia kinetyczna układu stolik-człowiek?
L p
L k
;
L p
I p
p
;
L k
I k
k
k
I p
p I k
p
2
f
;
I p
1 2
m
1
r
2
m
2
r
2 ;
I k
1 2
m
1
r
2
k
2
f
( 1 2
m
2 )
m
1
E
E k
E p
I k
k
2 2
I p
p
2 2 4 2
f
2
r
2 ( 1 2
m
2 )
m
1 ___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 10
Zasady zachowania a symetria
Zasady zachowania danej wielkości wiążą się ściśle z niezmienniczością tej wielkości względem transformacji, odzwierciedlających własności symetrii przestrzeni i czasu
Przestrzeń jednorodna i izotropowa, czas jednorodny Zasada zachowania energii Zasada zachowania pędu
– jednorodność czasu, niezmienniczość względem przesunięcia w czasie, – jednorodność przestrzeni, niezmienni czość względem przesunięcia w przestrzeni,
Zasada zachowania momentu pędu
– izotropowość przestrzeni, Niezmienniczość względem obrotów w przestrzeni.
Każdemu rodzajowi symetrii odpowiada jakaś zasada
___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 11
Dynamika ruchu obrotowego
Bryła sztywna – zbiór punktów nie zmieniających swoich wzajemnych odległości. Bryła sztywna porusza się jako całość nie zmieniając kształtu i objętości Ilość stopni swobody - 6 |
r i
r j
| |
r ij
|
r ij
ruch postępowy
- gdy wektory prędkości wszystkich punktów bryły jednakowe;
ruch obrotowy
– wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach, których środki leżą na osi obrotu ___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 12
Zasady dynamiki dla ruchu obrotowego
N
i n
1
r i
F i
;
F i
m i
a i
m i
r i
;
N
i n
1
m i r i
2
I Iloczyn momentu bezwładności i przyspieszenia kątowego bryły jest równy momentowi sił zewnętrznych działających na ciało –
II zasada
d
;
dt
N
d dt
J
;
J
I
moment pedu Zmiana momentu pędu bryły w czasie dt jest równa momentowi siły działającej na nią Bryła sztywna, na którą nie działa żaden moment siły (N=0) pozostaje w spoczynku lub obraca się ze stałą prędkością kątową –
I zasada
___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 13
Zasady dynamiki ruchu obrotowego
dwie bryły
N
12
N
21
Suma momentów sił działających na bryłę w układzie odosobnionym równa jest zero –
III zasada
.
Równowaga statyczna:
i
F i
0 ,
i
M i
0
Bryła w spoczynku
E p
x
0
równowaga trwała Twierdzenie Steinera I xx
o I xx
ma
2 ;
a
przesuniec ie osi obrotu
E p
x
0
E p
x
0
równowaga obojętna równowaga chwiejna Energia kinetyczna bryły E k
1 2
I
2 ___________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Dynamika 14