1

Dynamika

Dynamika

to dział fizyki, w którym bada się związki pomiędzy czynnikami wywołującymi ruch, a właściwościami tego ruchu.

Stan ruchu ciała

w danym układzie odniesienia i w danym momencie czasu, określają wektory jego położenia i prędkości.

Zamiana stanu ruchu ciała

jest następstwem sił działających na to ciało.

2

Relacje: siła - ruch

Zauważmy następujące fakty:

1.

Postawiony na półce wazon pozostaje w spoczynku.

2.

3.

Kiedy zostanie pozbawiony podpory – spada, a im wyżej stał, tym większą prędkość ma na dole.

Kiedy spadnie – może zarówno sam się rozbić, jak i uszkodzić inne przedmioty.

Ten banalny przykład ilustruje fundamentalne zasady dynamiki.

1.

Dopóki wypadkowa sił działających na ciało równa jest zeru – stan ruchu ciała nie zmienia się

(wazon nie spada).

2.

3.

Niezrównoważona siła działająca na ciało zmienia stan jego ruchu – nadaje mu przyspieszenie lub opóźnienie

(wazon spada i zwiększa swą prędkość).

Działaniu jednego ciała na drugie towarzyszy zawsze działanie drugiego na pierwsze, takie samo ale przeciwnie skierowane

(wazon może uszkodzić inne przedmioty, ale i sam może ulec rozbiciu).

Podobnych przykładów można podać ... tysiące.

3

Zasady dynamiki Newtona

Izaak Newton,

(1642 - 1727) "Philosophiae naturalis principia mathematica" Foto: Isaac Newton w gabinecie figur woskowych Mme Tussaud w Londynie (WiŻ, 5/1977,s.28)

1. Pierwsza zasada dynamiki:

Jeżeli na ciało nie są wywierane siły lub działające siły się równoważą, to stan ruchu ciała nie ulega zmianie (ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym).

2. Druga zasada dynamiki:

Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do siły działającej na to ciało i zachodzi wzdłuż kierunku jej działania.

3. Trzecia zasada dynamiki:

Oddziaływania wzajemne dwóch ciał są zawsze równe co do wartości ale przeciwnie skierowane.

Te trzy zasady opisują wszelkie ruchy obiektów makroskopowych !

4

Pierwsza zasada dynamiki

Jeżeli na ciało nie są wywierane siły lub działające siły się równoważą, to ciało nie zmienia stanu swego ruchu; pozostaje w stanie spoczynku lub w ruchu jednostajnym, prostoliniowym.

• Uwagi: Układ odniesienia, w którym spełniona jest pierwsza zasada dynamiki, nazywamy

układem inercjalnym

.

• Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego z prędkością o stałej wartości i kierunku jest też układem inercjalnym.

• Stany: spoczynku oraz ruchu jednostajnego, prostoliniowego są równoważne z punktu widzenia zasad dynamiki.

Układem inercjalnym może być też jadący pociąg, jeśli nie zmienia swej prędkości i kierunku ruchu.

5

Druga zasada dynamiki

Zmiana pędu ciała proporcjonalna jest do siły działającej na to ciało i zachodzi wzdłuż kierunku jej działania.

Masa –

według Newtona – „miara ilości materii”

Pęd ciała –

iloczyn wektora prędkości ciała i jego masy: 

p



m

 Druga zasada dynamiki (definicja ilościowa) Pochodna pędu ciała względem czasu równa jest sile działającej na to ciało.

F

 

d



p dt

Kierunek zmiany pędu jest zgodny z kierunkiem działającej siły.

Druga zasada dynamiki (2)



F



d



p dt



F

 

d p



dt d



m

   

dt



m



a d



dt

  

dm dt

6

Jeżeli masa ciała nie zmienia się w czasie ruchu *) , to 

F



m

 

a

Iloczyn masy ciała i jego przyspieszenia równy jest sile działającej na to ciało.

Jest to inne sformułowanie drugiej zasady dynamiki: --------------------------------------- *) Warunek ten nie jest spełniony dla prędkości obiektów materialnych bliskich prędkości światła.

7

Trzecia zasada dynamiki

Oddziaływania wzajemne dwóch ciał są zawsze równe co do wartości ale przeciwnie skierowane. 

F BA

  

F AB

Jeśli ciało A działa na ciało B daną siłą, to ciało B działa na ciało A taką sama siłą, ale przeciwnie skierowaną. Alternatywne sformułowanie: Każdej akcji towarzyszy równa co do wartości lecz przeciwnie skierowana reakcja.

Masa i ciężar ciała

F



P

 

m

 

a



m

 

g m

jako miara jego bezwładności.

m



P

grawitacyjnego *) .

g z



9 .

81 m s 2 g k



1 .

62 m s 2

- przyspieszenie ziemskie przyspieszenie księżycowe

-------------------------------------- *) Oprócz przyciągania grawitacyjnego na ciężar ciała mają też wpływ inne efekty, np. ruch obrotowy Ziemi, siły wyporu itp.

8

Rola sił bezwładności (1)

demonstracja

Teraz pociągnie

[kliknij w

szybko.

tym polu] Animacja

Na zaczepionej u góry nici zawieszony jest arbuz. U dołu przymocowana jest taka sama druga nić. Kasia będzie ciągnąc za nić zaczepioną u dołu.

Pytanie:

która nić zerwie się, kiedy Kasia pociągnie szybko, a która - kiedy będzie ciągnąc powoli.

Teraz będzie ciągnąć powoli.

[ kliknij w ARBUZ2.MPG

tym polu] 9 Wykonaj podobne doświadczenie w domu.

10

Rola sił bezwładności (2)

Kliknij w polu fotografii.

Oszacujmy wartość siły działającej na gwóźdź.

Animacja

•Najpierw podejmuję próbę wciśnięcia gwoździa palcem – oczywiście, bez powodzenia.

•Potem wbijam go bez większego wysiłku uderzeniem młotka.

Pytanie

: Jaką siłą działa młotek na gwóźdź w momencie wbijania?

Siła uderzenia półkilogramowym młotkiem przekracza ponad trzykrotnie średni ciężar ciała człowieka !

11

Siły tarcia (1)

Kliknij w polu fotografii.

Animacja

Na stole leży serwetka, a na niej talerz z owocami. Ciągnę za serwetkę - za pierwszym razem powoli, za drugim - szybko. Za pierwszym razem talerz zsuwa się ze stołu i spada, za drugim – serwetka wysuwa się spod talerza, zaś talerz pozostaje na stole.

Odpowiedz -

dlaczego tak się dzieje?

Przykład ten demonstruje relacje pomiędzy siłami bezwładności i siłami tarcia.

12

Siły tarcia (2)

Do ciała o masie

m

przykładamy siłę

F

.

Ciało działa na podłoże siłą nacisku

F n

.

Siła tarcia

F t

– przeciwdziała ruchowi.

Ciało pozostaje w spoczynku dopóki Druga zasada dynamiki w obecności sił tarcia:

0

 

m a



F



F

 

F t s



F t k

siła tarcia statycznego siła tarcia kinetycznego Od czego zależy siła tarcia?

F t

  

F n

 współczynnik tarcia który zależy od własności trących się powierzchni

Siły tarcia (3)

Jak można wyznaczyć współczynnik tarcia?

13

Zwiększamy kąt nachylenia równi, aż do momentu, kiedy ciało zacznie się z niej zsuwać. Wartość składowej siły stycznej do powierzchni równi

F s F s

 

m



g



sin

 

s



F n

 

s



m



g



cos

  

s



tg

 Współczynnik tarcia równy jest tangensowi kąta nachylenia równi, kiedy ciało zaczyna się z niej zsuwać.

Środek masy (1)

(Przypomnienie) Układ punktów materialnych

zbiór skończonej liczby punktów materialnych o zadanej konfiguracji przestrzennej

14 Promień wodzący środka masy m 1

y

r



1

r



2 m 2

r



3 m 3

x

gdzie

r



N

n N

Środek masy (2)

Obiekt o ciągłym rozkładzie masy: Promień wodzący środka masy 15

r



dm

Gęstość:

Wektor pędu

układu punktów materialnych (przypomnienie)

Pęd ciała o masie

m

  i prędkości : 

p



m

   Pęd układu

N

punktów materialnych...

...równy jest pędowi jego środka masy:

16

Wektor pędu

układu punktów materialnych 17 Suma pędów układu punktów materialnych = Pędowi jego środka masy Prędkość środka masy:

18

Druga zasada dynamiki

dla układu punktów materialnych Dla układu N punktów materialnych:

d



p 1 dt

 

F 1



d p 2 dt

 

F 2 d



p N dt

 

F N

Środek masy układu porusza się tak, jakby na niego działała wypadkowa wszystkich sił działających na układ.

i

Sumujemy stronami:

N

 

1 d



p i dt



i N

 

1



F i i N

 

1



d p i dt



dp sm dt d



p sm dt



i N

 

1



F i

19

Druga zasada dynamiki

dla układu punktów materialnych Na każdy punkt działają siły wewnętrzne i zewnętrzne ...ale oddzialywania dowolnych dwóch ciał w układzie znoszą się wzajemnie (III zasada dynamiki) więc



F AB

  

F BA

Siły wewnętrzne nie mają wpływu na ruch układu

Równania Newtona Układ równań dla składowych

x

,

y , z

:

20

21

Ruchy obrotowe (1)

przypomnienie Ruch obrotowy

- wszystkie punkty danego ciała poruszają się po okręgach, których środki znajdują się na jednej prostej -

osi obrotu

Prędkość i przyspieszenie punktów poruszających się ruchem obrotowym nie są jednakowe dla wszystkich punktów, ale zależne są od odległości od osi obrotu. Jak formułować równania dynamiki, gdy siła działa jedna, a przyspieszenia różnych punktów są różne?

Wspólny jest jednak kąt obrotu. Gdyby więc zamiast przemieszczenia liniowego rozważać przemieszczenie kątowe, opis byłby o wiele prostszy.

22

Ruchy obrotowe (2)

prędkość kątowa  

d



dt

Wektor prędkości kątowej...



d



dt



zˆ

skierowany jest wzdłuż osi obrotu Związek prędkości liniowej i kątowej:    

r

 wektorowy skalarny

23

Ruchy obrotowe (3)

Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy:

T

,

okres

czas, w którym ciało wykonuje jeden pełny obrót

v

,

częstotliwość

liczba obrotów wykonanych przez ciało w czasie jednej sekundy, odwrotność okresu 

częstość kołowa

zwana też prędkością kątową, kąt zakreślony w jednostce czasu przez ciało będące w ruchu obrotowym Okres obrotu tarczy szlifierskiej wyraża się w tysięcznych częściach sekundy.

... i ich wzajemne związki

24

Ruchy obrotowe (4)

Przyspieszenie kątowe

charakteryzuje zmianę prędkości kątowej w czasie. Składowe: normalna,

a n

przyspieszenia kątowego i styczna,

a s

Dynamika ruchu obrotowego Moment siły



M



M



r

  

F

i skalarna,

M



r



F



sin

 która wyrażona może być także poprzez składowe

25

promienia wodzącego lub siły

Równanie ruchu obrotowego (1)

r

 

F A

Punkt materialny

A

porusza się po okręgu Działa na niego styczna do okręgu siła



F

F



m



a

26

F



r



m



a



r



r r



mr 2



a r



I

 

I



m



r 2



M



I

  

27

Moment bezwładności

Dla punktu materialnego:

I



m



r 2

O’

Dla bryły sztywnej:

I



i N

 

1



m i



r i 2

r 3 r 1 r 2



m 1



m 2 r i



m i

Dla obiektów o ciągłym rozkładzie masy

I



N lim

  

i



m i



r i 2

 

M r 2 dm

O

Momenty bezwładności różnych brył

Rura

I



m



r 2

Walec pełny

I



1 2 m



r 2

Kula Pręt

I



2 5 m



r 2 I



1 12 m



r 2

28

Twierdzenie Steinera

I 0

•

SM

d I

Jeśli znany jest moment bezwładności

I 0

względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, to moment bezwładności względem osi do niej równoległej i przesuniętej o odcinek

d

dany jest wzorem

I



I 0



m



d 2

29

Moment pędu

Punktu materialnego:

L

 

p



O r



A



s

  

r



L



I



30

31

Równanie ruchu obrotowego (2)

Druga zasada dynamiki

d



p dt

 

F r

 

d dt



p



r

  

F d



L dt



d dt



I

    

p



0

iloczyn wektorów równoległych  

I



d



dt



I

  

r

 

M



d L

 

M dt



M



I

  

32

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Punkt materialny:

O’ r 3 r 1 r 2 m 1

E k



mv 2 2

m 2

Bryła sztywna:

E k

 

i m i v i 2 2

 

2 2



i m i r i 2

  

i I



2 m i r i 2



2 2 2



r i m i O

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

E k



I

 

2 2

Sieczkarnia

– po co to duże koło? By energia kinetyczna ruchu obrotowego była duża, przy danej prędkości kątowej, musi być duże

I

równe

mr 2

. Masa musi więc być rozmieszczona możliwie daleko od osi obrotu.

33

Rola momentu bezwładności

Na równi pochyłej toczą się: walec pełny i pusty.

Który pierwszy osiągnie podstawę?

Walec pełny:

I



1 2 m



r 2 mgh



mv 2 2



I



2 2



mv 2 2



mr 2



v 2



2 r 2 2



3 4 mv 2 v



4 3 gh

Walec pusty:

mgh



mv 2 2



I



2 2 I



mv 2 2



m



r 2



mr 2



v 2 r 2 2



mv 2 v

 Efekt ten demonstrowano w czasie „pikniku nauki”

gh

Odpowiedz: który walec jest pełny, a który pusty?