Transcript Dynamika
1
Dynamika
Dynamika
to dział fizyki, w którym bada się związki pomiędzy czynnikami wywołującymi ruch, a właściwościami tego ruchu.
Stan ruchu ciała
w danym układzie odniesienia i w danym momencie czasu, określają wektory jego położenia i prędkości.
Zamiana stanu ruchu ciała
jest następstwem sił działających na to ciało.
2
Relacje: siła - ruch
Zauważmy następujące fakty:
1.
Postawiony na półce wazon pozostaje w spoczynku.
2.
3.
Kiedy zostanie pozbawiony podpory – spada, a im wyżej stał, tym większą prędkość ma na dole.
Kiedy spadnie – może zarówno sam się rozbić, jak i uszkodzić inne przedmioty.
Ten banalny przykład ilustruje fundamentalne zasady dynamiki.
1.
Dopóki wypadkowa sił działających na ciało równa jest zeru – stan ruchu ciała nie zmienia się
(wazon nie spada).
2.
3.
Niezrównoważona siła działająca na ciało zmienia stan jego ruchu – nadaje mu przyspieszenie lub opóźnienie
(wazon spada i zwiększa swą prędkość).
Działaniu jednego ciała na drugie towarzyszy zawsze działanie drugiego na pierwsze, takie samo ale przeciwnie skierowane
(wazon może uszkodzić inne przedmioty, ale i sam może ulec rozbiciu).
Podobnych przykładów można podać ... tysiące.
3
Zasady dynamiki Newtona
Izaak Newton,
(1642 - 1727) "Philosophiae naturalis principia mathematica" Foto: Isaac Newton w gabinecie figur woskowych Mme Tussaud w Londynie (WiŻ, 5/1977,s.28)
1. Pierwsza zasada dynamiki:
Jeżeli na ciało nie są wywierane siły lub działające siły się równoważą, to stan ruchu ciała nie ulega zmianie (ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym).
2. Druga zasada dynamiki:
Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do siły działającej na to ciało i zachodzi wzdłuż kierunku jej działania.
3. Trzecia zasada dynamiki:
Oddziaływania wzajemne dwóch ciał są zawsze równe co do wartości ale przeciwnie skierowane.
Te trzy zasady opisują wszelkie ruchy obiektów makroskopowych !
4
Pierwsza zasada dynamiki
Jeżeli na ciało nie są wywierane siły lub działające siły się równoważą, to ciało nie zmienia stanu swego ruchu; pozostaje w stanie spoczynku lub w ruchu jednostajnym, prostoliniowym.
• Uwagi: Układ odniesienia, w którym spełniona jest pierwsza zasada dynamiki, nazywamy
układem inercjalnym
.
• Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego z prędkością o stałej wartości i kierunku jest też układem inercjalnym.
• Stany: spoczynku oraz ruchu jednostajnego, prostoliniowego są równoważne z punktu widzenia zasad dynamiki.
Układem inercjalnym może być też jadący pociąg, jeśli nie zmienia swej prędkości i kierunku ruchu.
5
Druga zasada dynamiki
Zmiana pędu ciała proporcjonalna jest do siły działającej na to ciało i zachodzi wzdłuż kierunku jej działania.
Masa –
według Newtona – „miara ilości materii”
Pęd ciała –
iloczyn wektora prędkości ciała i jego masy:
p
m
Druga zasada dynamiki (definicja ilościowa) Pochodna pędu ciała względem czasu równa jest sile działającej na to ciało.
F
d
p dt
Kierunek zmiany pędu jest zgodny z kierunkiem działającej siły.
Druga zasada dynamiki (2)
F
d
p dt
F
d p
dt d
m
dt
m
a d
dt
dm dt
6
Jeżeli masa ciała nie zmienia się w czasie ruchu *) , to
F
m
a
Iloczyn masy ciała i jego przyspieszenia równy jest sile działającej na to ciało.
Jest to inne sformułowanie drugiej zasady dynamiki: --------------------------------------- *) Warunek ten nie jest spełniony dla prędkości obiektów materialnych bliskich prędkości światła.
7
Trzecia zasada dynamiki
Oddziaływania wzajemne dwóch ciał są zawsze równe co do wartości ale przeciwnie skierowane.
F BA
F AB
Jeśli ciało A działa na ciało B daną siłą, to ciało B działa na ciało A taką sama siłą, ale przeciwnie skierowaną. Alternatywne sformułowanie: Każdej akcji towarzyszy równa co do wartości lecz przeciwnie skierowana reakcja.
Masa i ciężar ciała
F
P
m
a
m
g m
jako miara jego bezwładności.
m
P
grawitacyjnego *) .
g z
9 .
81 m s 2 g k
1 .
62 m s 2
- przyspieszenie ziemskie przyspieszenie księżycowe
-------------------------------------- *) Oprócz przyciągania grawitacyjnego na ciężar ciała mają też wpływ inne efekty, np. ruch obrotowy Ziemi, siły wyporu itp.
8
Rola sił bezwładności (1)
demonstracja
Teraz pociągnie
[kliknij w
szybko.
tym polu] Animacja
Na zaczepionej u góry nici zawieszony jest arbuz. U dołu przymocowana jest taka sama druga nić. Kasia będzie ciągnąc za nić zaczepioną u dołu.
Pytanie:
która nić zerwie się, kiedy Kasia pociągnie szybko, a która - kiedy będzie ciągnąc powoli.
Teraz będzie ciągnąć powoli.
[ kliknij w ARBUZ2.MPG
tym polu] 9 Wykonaj podobne doświadczenie w domu.
10
Rola sił bezwładności (2)
Kliknij w polu fotografii.
Oszacujmy wartość siły działającej na gwóźdź.
Animacja
•Najpierw podejmuję próbę wciśnięcia gwoździa palcem – oczywiście, bez powodzenia.
•Potem wbijam go bez większego wysiłku uderzeniem młotka.
Pytanie
: Jaką siłą działa młotek na gwóźdź w momencie wbijania?
Siła uderzenia półkilogramowym młotkiem przekracza ponad trzykrotnie średni ciężar ciała człowieka !
11
Siły tarcia (1)
Kliknij w polu fotografii.
Animacja
Na stole leży serwetka, a na niej talerz z owocami. Ciągnę za serwetkę - za pierwszym razem powoli, za drugim - szybko. Za pierwszym razem talerz zsuwa się ze stołu i spada, za drugim – serwetka wysuwa się spod talerza, zaś talerz pozostaje na stole.
Odpowiedz -
dlaczego tak się dzieje?
Przykład ten demonstruje relacje pomiędzy siłami bezwładności i siłami tarcia.
12
Siły tarcia (2)
Do ciała o masie
m
przykładamy siłę
F
.
Ciało działa na podłoże siłą nacisku
F n
.
Siła tarcia
F t
– przeciwdziała ruchowi.
Ciało pozostaje w spoczynku dopóki Druga zasada dynamiki w obecności sił tarcia:
0
m a
F
F
F t s
F t k
siła tarcia statycznego siła tarcia kinetycznego Od czego zależy siła tarcia?
F t
F n
współczynnik tarcia który zależy od własności trących się powierzchni
Siły tarcia (3)
Jak można wyznaczyć współczynnik tarcia?
13
Zwiększamy kąt nachylenia równi, aż do momentu, kiedy ciało zacznie się z niej zsuwać. Wartość składowej siły stycznej do powierzchni równi
F s F s
m
g
sin
s
F n
s
m
g
cos
s
tg
Współczynnik tarcia równy jest tangensowi kąta nachylenia równi, kiedy ciało zaczyna się z niej zsuwać.
Środek masy (1)
(Przypomnienie) Układ punktów materialnych
zbiór skończonej liczby punktów materialnych o zadanej konfiguracji przestrzennej
14 Promień wodzący środka masy m 1
y
r
1
r
2 m 2
r
3 m 3
x
gdzie
r
N
n N
Środek masy (2)
Obiekt o ciągłym rozkładzie masy: Promień wodzący środka masy 15
r
dm
Gęstość:
Wektor pędu
układu punktów materialnych (przypomnienie)
Pęd ciała o masie
m
i prędkości :
p
m
Pęd układu
N
punktów materialnych...
...równy jest pędowi jego środka masy:
16
Wektor pędu
układu punktów materialnych 17 Suma pędów układu punktów materialnych = Pędowi jego środka masy Prędkość środka masy:
18
Druga zasada dynamiki
dla układu punktów materialnych Dla układu N punktów materialnych:
d
p 1 dt
F 1
d p 2 dt
F 2 d
p N dt
F N
Środek masy układu porusza się tak, jakby na niego działała wypadkowa wszystkich sił działających na układ.
i
Sumujemy stronami:
N
1 d
p i dt
i N
1
F i i N
1
d p i dt
dp sm dt d
p sm dt
i N
1
F i
19
Druga zasada dynamiki
dla układu punktów materialnych Na każdy punkt działają siły wewnętrzne i zewnętrzne ...ale oddzialywania dowolnych dwóch ciał w układzie znoszą się wzajemnie (III zasada dynamiki) więc
F AB
F BA
Siły wewnętrzne nie mają wpływu na ruch układu
Równania Newtona Układ równań dla składowych
x
,
y , z
:
20
21
Ruchy obrotowe (1)
przypomnienie Ruch obrotowy
- wszystkie punkty danego ciała poruszają się po okręgach, których środki znajdują się na jednej prostej -
osi obrotu
Prędkość i przyspieszenie punktów poruszających się ruchem obrotowym nie są jednakowe dla wszystkich punktów, ale zależne są od odległości od osi obrotu. Jak formułować równania dynamiki, gdy siła działa jedna, a przyspieszenia różnych punktów są różne?
Wspólny jest jednak kąt obrotu. Gdyby więc zamiast przemieszczenia liniowego rozważać przemieszczenie kątowe, opis byłby o wiele prostszy.
22
Ruchy obrotowe (2)
prędkość kątowa
d
dt
Wektor prędkości kątowej...
d
dt
zˆ
skierowany jest wzdłuż osi obrotu Związek prędkości liniowej i kątowej:
r
wektorowy skalarny
23
Ruchy obrotowe (3)
Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy:
T
,
okres
czas, w którym ciało wykonuje jeden pełny obrót
v
,
częstotliwość
liczba obrotów wykonanych przez ciało w czasie jednej sekundy, odwrotność okresu
częstość kołowa
zwana też prędkością kątową, kąt zakreślony w jednostce czasu przez ciało będące w ruchu obrotowym Okres obrotu tarczy szlifierskiej wyraża się w tysięcznych częściach sekundy.
... i ich wzajemne związki
24
Ruchy obrotowe (4)
Przyspieszenie kątowe
charakteryzuje zmianę prędkości kątowej w czasie. Składowe: normalna,
a n
przyspieszenia kątowego i styczna,
a s
Dynamika ruchu obrotowego Moment siły
M
M
r
F
i skalarna,
M
r
F
sin
która wyrażona może być także poprzez składowe
25
promienia wodzącego lub siły
Równanie ruchu obrotowego (1)
r
F A
Punkt materialny
A
porusza się po okręgu Działa na niego styczna do okręgu siła
F
F
m
a
26
F
r
m
a
r
r r
mr 2
a r
I
I
m
r 2
M
I
27
Moment bezwładności
Dla punktu materialnego:
I
m
r 2
O’
Dla bryły sztywnej:
I
i N
1
m i
r i 2
r 3 r 1 r 2
m 1
m 2 r i
m i
Dla obiektów o ciągłym rozkładzie masy
I
N lim
i
m i
r i 2
M r 2 dm
O
Momenty bezwładności różnych brył
Rura
I
m
r 2
Walec pełny
I
1 2 m
r 2
Kula Pręt
I
2 5 m
r 2 I
1 12 m
r 2
28
Twierdzenie Steinera
I 0
•
SM
d I
Jeśli znany jest moment bezwładności
I 0
względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, to moment bezwładności względem osi do niej równoległej i przesuniętej o odcinek
d
dany jest wzorem
I
I 0
m
d 2
29
Moment pędu
Punktu materialnego:
L
p
O r
A
s
r
L
I
30
31
Równanie ruchu obrotowego (2)
Druga zasada dynamiki
d
p dt
F r
d dt
p
r
F d
L dt
d dt
I
p
0
iloczyn wektorów równoległych
I
d
dt
I
r
M
d L
M dt
M
I
32
Energia kinetyczna ruchu obrotowego
Punkt materialny:
O’ r 3 r 1 r 2 m 1
E k
mv 2 2
m 2
Bryła sztywna:
E k
i m i v i 2 2
2 2
i m i r i 2
i I
2 m i r i 2
2 2 2
r i m i O
Energia kinetyczna ruchu obrotowego
E k
I
2 2
Sieczkarnia
– po co to duże koło? By energia kinetyczna ruchu obrotowego była duża, przy danej prędkości kątowej, musi być duże
I
równe
mr 2
. Masa musi więc być rozmieszczona możliwie daleko od osi obrotu.
33
Rola momentu bezwładności
Na równi pochyłej toczą się: walec pełny i pusty.
Który pierwszy osiągnie podstawę?
Walec pełny:
I
1 2 m
r 2 mgh
mv 2 2
I
2 2
mv 2 2
mr 2
v 2
2 r 2 2
3 4 mv 2 v
4 3 gh
Walec pusty:
mgh
mv 2 2
I
2 2 I
mv 2 2
m
r 2
mr 2
v 2 r 2 2
mv 2 v
Efekt ten demonstrowano w czasie „pikniku nauki”
gh
Odpowiedz: który walec jest pełny, a który pusty?