Transcript odp

Mechanika, Ciepło
Wykład 5
Paweł Staszel
1
Odkrywanie praw fizyki
Twierdził, że każde ciało ma swoje właściwe miejsce we
Wszechświecie i chce w nim pozostać bądź dąży do swojego
naturalnego stanu. Aby utrzymać ciało w ruchu jednostajnym
po linii prostej potrzebna jest stale działająca siła.
Dyskusja paradoksów Zenona
Prawo Archimedesa o wyporze ciał → prawa statyki i
hydrostatyki. Zajmował się astronomią. Opisał ruch pięciu
planet, Księżyca i Słońca wokół nieruchomej Ziemi. Zbudował
globus i planetarium z hydraulicznym napędem – (jedyny łup
zabrany przez rzymian z Syrakuz). Prekursor rachunku
całkowego → pola powierzchni brył.
Archimedes
(287 BC – 212 BC)
2
Galileusz wprowadził pojęcie bezwładności: twierdził, że ciało
wprawione w ruch ma tendencję do pozostawania w ruchu.
Wykonywał eksperymenty z równią pochyłą i stwierdził na ich
podstawie, że siła jest potrzebna, by zmienić prędkość ciała, a
nie po to, by utrzymywać je w ruchu. Zasada Galileusza.
Narodziny nauki we współczesnym rozumieniu. Kompletna
teoria świata: trzy zasady dynamiki, absolutna przestrzeń i
absolutny czas.
Zmienił wyobrażenia o czasie i przestrzeni. Czas nie jest
absolutny. Kolejność zdarzeń jest dobrze określona tylko w
damy układzie inercjalnym i innych układach te same zdarzenia
mogą następować w innej kolejności. Stworzył szczególną i
ogólną teorię względności.
3
Czy możliwe jest aby dane ciało nie oddziaływało z
innymi obiektami we Wszechświecie? Czy wówczas
istniałaby możliwość obserwacji takiego obiektu?
Doświadczenie pokazuje, że w miarę oddalania się od
innych ciał, ich oddziaływanie na rozważany obiekt staje
się coraz słabsze. Na ekstrapolacji tego faktu
doświadczalnego bazuje fizyki !
4
I zasada dynamiki Newtona
(I prawo ruchu)
Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub
siły działające równoważą się, to
istnieje układ odniesienia (zwany
układem inercjalnym), w którym ciało
pozostaje w spoczynku lub porusza się
ruchem jednostajny prostoliniowym
Jeśli w tym układzie będziemy
rozpatrywali układy odniesienia, które
poruszają się po linii prostej ze stałą
prędkością lub spoczywają, to te
układy też będą inercjalne. Jeśli
istnieje jeden układ inercjalny, to jest
ich nieskończenie wiele!
Isaac Newton, Philosophiæ
Naturalis Principia Mathematica,
1687 (Wikipedia)
5
Jak w praktyce znaleźć układ inercjalny?
Często w prostych problemach mechanicznych (ruch mas
zawieszonych na nitce, bloczku, ruch pod wpływem sił sprężystości,
ruch w obecności oporów ośrodka, sił tarcia, ....) albo przy badaniu
zjawisk z dziedziny biologii, chemii, fizyki atomowej, jądrowej i
cząstek elementarnych – Ziemia jest dobrym przybliżeniem układu
inercjalnego (a = 3.4 cm/s2).
Niekiedy jednak trzeba uwzględnić ruch obrotowy Ziemi wokół własnej
osi (zjawiska pogodowe, wahadło Foucault) oraz ruch Ziemi po orbicie
wokół Słońca (a = 0.6 cm/s2).
Słońce z kolei porusza się po orbicie wokół środka galaktyki itd.
(a = 3·10-8 cm/s2, R=3·1019 km, v≈300 km/s)
Środek Galaktyki → gromady galaktyk → gromady gromad (?)
6
II zasada dynamiki Newtona
(II prawo ruchu)
Jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem w układzie inercjalnym, to
działa na niego siła
równa ilorazowi masy tej cząstki i jej
przyspieszenia:
lub
Co to jest siła? To właśnie II zasada dynamiki definiuje ilościowo siłę wiążąc ją z
przestrzenią i czasem. Wiemy, że siły są wyrazem oddziaływania cząstek zresztą
Wszechświata. Siła może zależeć od własności fizycznych oddziałujących cząstek, ich
mas, ładunku elektrycznego, momentu magnetycznego, ładunku kolorowego, ….
W makroświecie oddziaływanie to może być wyrazem oddziaływania
fundamentalnego (na przykład siła grawitacyjna lub kulombowska) lub też wynikiem
uśrednienia bardzo wielu oddziaływać molekularnych, których źródłem jest
oddziaływanie elektromagnetyczne (siła sprężysta, siła reakcji podłoża (innego ciała),
siła tarcia, opór ośrodka, ….)
7
Oddziaływania fundamentalne
Wszystkie siły występujące w przyrodzie są przejawem czterech
podstawowych rodzajów oddziaływań:
1. oddziaływania grawitacyjnego,
2. oddziaływania elektromagnetycznego,
3. oddziaływania słabego i
4. oddziaływania jądrowego.
Oddziaływanie grawitacyjne
Odgrywa decydującą rolę w ruchach planet i ich księżyców, gwiazd, galaktyk, gromad
galaktyk i dynamiki Wszechświata jako całości (kosmologia). Decyduje też o ruchach
zachodzących w pobliżu Ziemi (spadek swobodny ciał) i trochę dalej od Ziemi jak
ruch pojazdów kosmicznych, sztucznych satelitów. Oddziaływanie to można opisać
dość dobrze jako za pomocą prawa powszechnego ciążenia sformułowanego przez
Newtona. Współczesną teorią grawitacji jest ogólna teoria względności Einsteina.
Przyjmuje się, że nie odgrywa żadnej roli w świecie cząstek elementarnych.
8
Oddziaływanie elektromagnetyczne
Odpowiedzialne jest za wiązanie jąder atomowych i elektronów w trwałe układy (atomy,
cząsteczki, kryształy itp..). Decyduje o przebiegu procesów chemicznych i biologicznych
oraz procesów emisji i absorpcji promieniowania elektromagnetycznego. Do XIX wieku
elektryczność i magnetyzm uważano za całkowicie niezależne od siebie. Klasyczna teoria
elektromagnetyzmu została sformułowana przez Maxwella, który połączył w czterech
eleganckich równaniach znane wcześniej i odkryte przez samego siebie związki pomiędzy
natężeniem pola elektrycznego i pola magnetycznego i ich źródłami – ładunkami
elektrycznymi i prądami. Współczesną teorią elektromagnetyzmu jest elektrodynamika
kwantowa (QED).
Oddziaływanie silne
Powoduje wiązanie się kwarków w hadrony (bariony i mezony) oraz nukleonów w trwałe
jądra atomowe. Jest odpowiedzialne za reakcje jądrowe oraz za niektóre reakcję pomiędzy
cząsteczkami elementarnymi. Jest również odpowiedzialne za rozpady cząstek.
Współczesną teorią oddziaływań silnych jest kwantowa chromodynamika (QCD),
opisująca oddziaływania kwarków i gluonów. W QCD źródłem oddziaływań jest ładunek
kolorowy występujących w trzech rodzajach. W przeciwieństwie do fotonów gluony, które
przenoszą oddziaływanie kolorowe, również niosą ładunek więc same mogą oddziaływać
→ oddziaływanie rośnie z odległością.
9
Oddziaływanie słabe
Nie tworzy żadnych stanów związanych. Przeciwnie, odpowiada za wiele rozpadów i
łamie symetrie zachowywane przez oddziaływania elektromagnetyczne i silne
(symetria względem odbicia zwierciadlanego). Cząstki zwane neutrina oddziałują tyko
słabo. Oddziaływanie słabe odpowiada za rozpady neutronu i wielu jąder atomowych.
Oddziaływanie słabe kontroluje prędkość reakcji termojądrowych zachodzących w
Słońcu (i innych gwiazdach).
Obecnie elektromagnetyczne i słabe traktujemy jako przejawy jednego podstawowego
oddziaływania zwanego oddziaływaniem elektrosłabym.
Wśród fizyków panuje powszechny pogląd, że wszystkie znane oddziaływania są
przejawem jednego podstawowego oddziaływania. Teoretyczne łączenie oddziaływań
w jedno oddziaływanie nazywamy unifikacją oddziaływań. Unifikacja oddziaływań
traktowana jest jako najpoważniejsze wyzwanie współczesnej fizyki.
10
Co to znaczy, że oddziaływanie jest silne lub słabe?
Ćwiczenia:
1. Porównać siłę kulombowską i siłę oddziaływania grawitacyjnego między
protonem i elektronem w atomie wodoru.
Można porównać energię wiązania atomu wodoru (13.6 eV) oraz energię wiązania
układu proton-neutron (2.2 MeV).
Można również porównywać prawdopodobieństwa zachodzenia reakcji w świecie
cząstek elementarnych. Im większe prawdopodobieństwo procesu, tym silniejsze
oddziaływanie odpowiedzialne za ten proces.
11
Pomiar bozonu Z0
I
II
III
Trzy rodziny cząstek elementarnych → dzięki precyzyjnemu pomiarowi funkcji spektralnej bozonu Z 0
12
III zasada dynamiki Newtona
(zasada akcji i reakcji)
Jeśli ciało 1 działa siłą
na ciało 2, to również ciało 2 działa na ciało
1 siłą
, która ma tę samą wartość i kierunek, ale jest przeciwnie
skierowana, tzn:
Uwaga: każda z tych dwóch sił działa na inne ciało! Dlatego te siły nie równoważą
się!!
Przykład: oddziaływanie grawitacyjne dwóch mas. Pokazy fizyczne.
13
14
Wnioski z zasad dynamiki
→ Definicja jednostki siły przez jednostki masy i przyspieszenia. W
układzie SI jest to niuton (N)
→ Zasadnicze prawo rządzące ruchem cząstki (równanie ruchu) ma postać
wektorowego równania różniczkowego:
Zapis prawej strony równania pokazuje, że siła może w ogólności zależeć
w sposób jawny od czasu, prędkości, i położenia. Zakładamy, że nie zależy
już od przyspieszenia ani dalszych pochodnych wektora położenia.
Jak wspominałem na drugim wykładzie niewiadomą jest wektor położenia:
=?
15
Znajdując wektor położenia znajdujemy również tor cząstki.
Przypomnijmy zapis wektorów i ich pochodnych w bazie kartezjańskiej:
przyspieszenie:
siła:
Możemy więc II zasadę dynamiki zapisać jako układ trzech równań
skalarnych:
Jest to układ równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu. Z teorii
równań różniczkowych wiemy, że jeżeli funkcje Fx , Fy , Fz , spełniają
odpowiednie warunki regularności, to równania ruchu mają dokładnie jedno
rozwiązanie.
16
Rozwiązanie to w ogólności zawiera 6 stałych dowolnych. Są to stałe
całkowania, możemy więc zapisać:
(1)
Wartości tych stałych całkowania określają warunki początkowe, czyli
położenie i prędkość cząstki w chwili początkowej t0 :
(2)
Chwilę t0 możemy wybrać dowolnie (czas jest jednorodny).
Trzy równania (1) nie wystarczają do wyznaczenia sześciu stałych.
Różniczkujemy więc równania (1) i otrzymamy ogólne rozwiązania dla
prędkości:
(3)
17
Korzystając z (1), (2) i (3) otrzymujemy sześć równań z sześcioma
niewiadomymi:
{
(4)
Rozwiązując ten układ równań można znaleźć wartości stałych całkowania
C1,…...,C6. Po podstawieniu tych wartości do (1) otrzymujemy
jednoznaczne rozwiązanie podstawowego zagadnienia dynamiki.
Na ogół znalezienie rozwiązań równań ruchu jest trudne i w wielu
przypadkach nie da się wyrazić rozwiązań za pomocą funkcji
elementarnych. W takim przypadku równania ruchu rozwiązuje się
numerycznie.
18
Zasada determinizmu
Widzimy więc, że znajomość siły
działającej na cząstkę oraz położenie
i prędkość
cząstki w chwili początkowej t0 pozwala nam
jednoznacznie znaleźć funkcję
, to znaczy określić położenie tej cząstki
w dowolnej chwili późniejszej (t > t0) oraz w dowolnej chwili wcześniejszej
(t < t0). Stwierdzenie to jest treścią tzw. zasady przyczynowości
(determinizmu) mechaniki klasycznej.
Innymi słowy: znajomość sił działających i warunków początkowych
umożliwia nam znalezienie jednoznacznego stanu ruchu cząstki w dowolnej
chwili czasu (w przyszłości i przeszłości).
Mówimy również, że mechanika klasyczna jest teorią deterministyczną.
Padło wcześniej stwierdzenie, że równania ruchu mają dokładnie jedno
rozwiązanie (tw. o jednoznaczności). Jest ono bardzo ważne. Dzięki niemu
możemy być pewni, że jeżeli uda nam się znaleźć rozwiązanie równania
różniczkowego dla danych warunków początkowych, to będzie to właściwe
19
i jedyne rozwiązanie.
Dalsze wnioski z zasady dynamiki
Istnieje zasadnicza różnica między masą
i ciężarem.
Masa jest wewnętrzną własnością
każdego ciała. Jest ona taka sama na
powierzchni Ziemi, na Księżycu,
satelicie, czy przestrzeni między
gwiezdnej. Masa ciała może zostać
wyznaczona przez porównanie ze
standardem masy. Masa jest skalarem,
jednostką masy w układzie SI jest
kilogram (kg).
Ciężar jest siła z jaką Ziemia przyciąga
masę m. Do wyznaczenia ciężaru można
posłużyć się sprężyną. Na Księżycu
ciężar tego samego ciężar ciała będzie
inny.
20
Dalsze wnioski z zasady dynamiki
Załóżmy chwilowo, że masa ciała jest stała, tzn. m = const. Równanie
ruchu możemy wówczas przepisać następująco:
Powyżej zdefiniowaliśmy pęd ciała:
którego jednostką jest
Równanie ruchu w postaci:
(5)
jest bardziej ogólne, pozwala opisać ruch ciała o zmiennej masie.
Zachowuje również ważność w STW.
21
Policzmy całkę po czasie obu stron równania (5) w granicach od t1 do t2
popęd siły
=
zmiana
pędu ciała
→ zmiana pędu cząstki w czasie Δt test równa popędowi siły w tym
przedziale czasu.
22
Więzy
Dotychczas rozważaliśmy cząstkę, która w inercjalnym układzie
współrzędnych mogła poruszać się w całej przestrzeni pod wpływem
przyłożonej siły. Taka cząstka posiada trzy stopnie swobody, tzn., że do
jednoznacznego określenia jej położenia wymagane są trzy parametry
(na przykład trzy współrzędne kartezjańskie).
Może się zdarzyć, że cząstka podczas ruchu pozostaje stale na
powierzchni danej równaniem:
to liczba stopni swobody takiej cząstki wynosi 2.
Przykład: cząstka poruszająca się po powierzchni kuli o stałym promieniu:
i o promieniu rosnącym liniowo w czasie:
23
Jeżeli cząstka porusza się po krzywej danej przez przecięcie się dwóch
powierzchni jej liczba stopni swobody wynosi 1. Wspomniana krzywa
może być dana równaniami:
Przykład: przecięcie paraboloidy obrotowej i płaszczyzny:
, gdzie A, B, C i D to stałe
Przyczyny ograniczające ruch cząstki nazywamy więzami. Cząstkę
poruszającą się zgodnie z tymi więzami nazywamy cząstką
nieswobodną a odpowiednie równania powierzchni lub krzywych
nazywamy równaniami więzów. Jeżeli powierzchnia lub krzywa
więzów zmienia się w czasie to więzy nazywamy reonomicznymi,
czyli niestacjonarnymi. Jeżeli więzy nie zmieniają się w czasie, więzy
nazywamy skleronomicznymi, czyli stacjonarnymi.
24
Doświadczenie uczy, że istnienie oznacza konieczność wprowadzenia
w równaniach ruchu, oprócz siły zewnętrznej będącej przyczyną ruchu,
także dodatkowej siły. Siła ta jest wynikiem działania więzów na
poruszającą się cząstkę nieswobodną. Siłę tę nazywamy również
reakcją więzów, Równanie ruchu cząstki poddanej więzom mozemy
więc zapisać następująco:
Z doświadczenia wiemy, że siły reakcji więzów mają kierunek
prostopadły do krzywej lub powierzchni definiującej więzy.
W przypadku równowagi ciała w układzie inercjalnym suma
wszystkich sił działających na ciało jest równa zeru:
25
Przykład: równia pochyła
Jednym z przykładów w
którym występują więzy jest
ruch ciała po równi pochyłej.
Siłę ciężkości rozkładamy na
składowe styczną i normalną
do powierzchni równi:
Składowa normalna jest
odpowiedzialna za nacisk
klocka na równię. W wyniku
tego działania (siła
)
pojawia
się
przeciwnie
skierowana do
siła reakcji
równi
Należy zwrócić uwagę na które
siły działają poszczególne ciała
26
Inny przykład: wahadło matematyczne
Siła reakcji nitki (działa na
ciało)
Siła normalna – działa na ciało
a poprzez ciało również na nitkę
Siła styczna – nadaje ciału
przyspieszenie w kierunku
przeciwnym do kierunku
wychylenia
27
Tarcie
Bez tarcia, jedyną
niezrównoważoną siłą
działającą na klocek byłaby
siła ściągające Fs.
Zwykle jednak występuje
tarcie poślizgowe, gdy
przesuwamy jakieś ciało po
powierzchni innego ciała.
W przypadku zsuwania się
klocka, siły tarcia działają
tak, jak zaznaczono na
rysunku. Siła T1 spowalnia
ruch klocka. Jest ona
skierowana przeciwnie do
prędkości.
28
Tarcie poślizgowe
Prawa opisujące tarcie mają charakter czysto empiryczny, tzn., że
otrzymano je na drodze doświadczalnej.
I prawo
Wartość siły tarcia między dwoma ciałami jest proporcjonalna do
wartości siły normalnej utrzymującej te ciała w zetknięciu.
Zwrot siły tarcia jest przeciwny do zwrotu wektora prędkości.
Należy pamiętać, że:
Siła normalną, dociskającą ciało do powierzchni może być ciężar
ciała (na powierzchni poziomej) lub jego składowa (jak na równi
pochyłej)
29
II prawo
Przy danej sile normalnej utrzymującej ciała w zetknięciu, siła
tarcia poślizgowego nie zależy od powierzchni zetknięcia między
dwoma ciałami.
Z doświadczenia wiadomo, że należy wprowadzić dwa rodzaje
współczynnika tarcia. Współczynnik tarcia statycznego daje wartość
siły, którą należy przezwyciężyć, aby wprowadzić ciało w ruch.
Współczynnik tarcia kinetycznego pomnożony przez wartość siły
normalnej daje wartość siły niezbędnej do utrzymania ciała w ruchu
jednostajnym. Mamy zawsze
III prawo
Dla niezbyt dużych prędkości współczynnik tarcia kinetycznego
pozostaje stały.
30
T
Fn
Fn
T = Fs
Fs
31