应用数学处理物理问题的能力的培养
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Transcript 应用数学处理物理问题的能力的培养
《考试说明》能力要求四
“应用数学处理物理问题的能力”
浙江省诸暨中学
王晓峰
• 一、对考试说明中用数学知识处理物
理问题的能力的解读
• 二、高考中常用的数学知识及在浙江
与其他省市高考中的体现
• 三、我校在提高学生数学处理物理问
题能力上的做法
一、对考试说明中用数学知识处理
物理问题的能力的解读
高考物理试题的解答离不开数学知识和
方法的应用，借助物理知识渗透考查数
学能力是高考命题的永恒主题。
• 考试说明：“能够根据具体问题列出物理量
之间的关系式，进行推导和求解，并根据
结果得出物理结论；必要时能运用几
何图形、函数图象进行表达和分析”。
• 根据对考试说明的理解应用数学的能力可
分以下三个层次
• 1、应用数学知识推导和求解物理问题的能
力——将“物理”问题转变成“数学”问
题的能力
• 2、应用数学知识根据推导的数学结果来得
出物理结论的能力——将“数学”问题回
归到“物理”问题的能力
• 3、应用几何图形、函数图象表达和分析物
理问题的能力
•1、应用数学知识推导和求解物理问题
的能力——将“物理”问题转变成
“数学”问题的能力
应用数学知识推导和求解物理问题的能
力是指根据题设条件与过程，结合物理
概念和规律，用数学知识把具体物理量
间的关系列为方程形式，并进行推导和
求解，这是物理研究必不可少的内容，
是数学与物理结合的主要形式，是应用
数学知识处理物理问题的能力的主要体
现。
•2、应用数学知识根据推导的数学结果
来得出物理结论的能力——将“数学”
问题回归到“物理”问题的能力
应用数学知识根据推导的数学结果来得出物
理结论的能力指在有些问题中，虽然用数学
知识推出了物理量间的定量关系，但仍无法
完整准确的得出物理结论，还需要根据一定
的数学知识通过一定的数学处理，才能彻底
明了所要研究的物理问题，这是应用数学处
理物理问题能力的重要体现方面，是数学与
物理结合的难点与重点。
•3、应用几何图形、函数图象表达和分析物
理问题的能力
在用数学知识推导和求解得出物理结果后，
有时往往还需要用图形或函数图像来描述和
表达这个结果，反之根据图形或图像我们也
可以定性或定量来研究物理量间的关系或物
理过程的发展规律和趋势，而在科学研究中，
应用几何图形与函数图象更是一种重要手段
和方法，因此应用几何图形、函数图象表达
和分析物理问题的能力是物理教学必不可少
的一部份且是非常重要的一部份，是新高考
能力考查的一个重要方面。
•例1：（2010全国卷Ⅱ）频率不同的两束单色光1
和2以相同的入射角从同一点射入玻璃板后，其光路
如右图所示，下列说法正确的是
1
2
•A.单色光1的波长小于单色光2的波长
•B.在玻璃中单色光1的传播速度大于单色光2的传播
速度
•C.单色光1通过玻璃板所需时间小于单色光2通过玻
璃板所需的时间
•D.单色光1从玻璃到空气的全反射临界角小于单色
光2从玻璃到空气的全反射临界角
解析:ABD中容易知A正确,着重分析C选项。
令折射率为n，玻璃砖厚度为d，光在玻璃中速度为v，
光通过玻璃砖的时间t
d
t
v
cos r
2
nd
推得t
c
2
2
v
c
n
sin
i
n
sin i n sin r
由数学函数单调性可知n越大，t越
在，故单色光1通过玻璃板所需时
间大于单色光2通过玻璃板所需的
时间
将“物理”
问题转变
成“数学”
问题
将“数学”
问题回归
到“物理”
问题
例2：一束单色光斜射到厚平板玻璃
的一个表面上，经两次折射后从玻璃
板另一个表面射出，出射光线相对于
入射光线侧移了一段距离。在下列情
况下，出射光线侧移距离最大的是
A．红光以30°的入射角入射
B．红光以45°的入射角入射
C．紫光以30°的入射角入射
D．紫光以45°的入射角入射
解析：因为同种介质对紫光的折射率较大，故入射
角相同时，紫光侧移距离较大，排除A、B选项；
来研究侧移量与入射角的关系，由三角函数、几何
知识可得：
i
d
r
Δx
d sin( i r )
x
cos r
将“物理”
问题转变成
“数学”问
题
d sin( i r )
x
cos r
由折射定律有
sin i n sin r
因为n>1，由三角函数的单调性可知
i r
所以i增大，r增大，（i-r）也增
大，△x 增大，故选D。
将“数学”
问题回归
到“物理”
问题
例3：
应用函数
图像描述
物理问题
应用函数
图像处理
物理问题
例4：
应用函数
图像描述
物理问题
根据函数
图像描述
物理问题
例5：物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动
摩擦因数为µ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做
匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？
F'
mg
N
F
θ
f
应用几何图形
分析物理问题
ф
mg
矢量就是解析知何中的向量，当物体受三力平衡时，将三力矢
量首尾相连后，必定构成三角形，利用点到直线的垂直线段最
短可求极值。
tanф= =µ
Fmin mg sin
Fmin G sin
G
1 2
二、高考中常用的数学知识及在
浙江高考中的体现
方程、方程组、不等式求解：这是数学能力考查的基
本形式和要求，典型如09（16）、10（18）
函数图像：一是借助函数图像来定性阐明物理量间的
相互关系，二是根据图像的点、线、面的特性来定量
计算与分析，如 10（19）、 10（21）、 11（22）、
11（23）、 11（25）
平面几何、三角函数：利用几何图形中的边角关系结
合三角函数来分析物理量间的定量关系在和物理解题
中有着较广泛的应用，如 09（14）、 09（18）、
10（20）、 10（24）、 11（17）
解析几何：10（24）
比例求解：在相同或相似的物理过程、物理模型中
对某个量进行比较或求比例关系在中学物理里比较
常见，尤其是在万有引力一章中经常碰到。关于比
较或求比例有一个重要的数学思想就是公共量可以
忽略，只比较差异量即可，因此通常思路为：写通
式——找关系——对应量求比例。如 11（19）
数学求极值：常用有三角函数求极值、二次函数、
基本不等式求极值、一元二次方程的判别式求极值、
几何方法求极值等。如 10（22）、
小量处理：小量处理是近似计算中经常用到的一种数
学方法，常用有：当a＜＜b且n>2，则（a/b)n=0；
当x＜＜1, （1+x）n=1+nx。如10（24）
周围省地高考考查过的数学知识
极限法：若某物理过程具有单调性，可假设
某种极端情况，从而得出结论或作出判断。
如2010福建理综18题。
微元法：是一种重要的从部分到整体的思想
方法，教材中多处渗透微元思想，一般分①
取微元并给出对应表达式②叠加运算③求得
待求量。如2009江苏单科15题。
归纳法：用以解决某些具有周期性的物理过
程，从特殊推到一般规律。如2010年北京理
综24题。
例6：
在机械波中联立方程组求解
此前很少碰到，学生缺乏经
验和意识是该题得分并不高
的原因。
例7：
以上极板带正电作为U—I图象的正方向，由B—t图
像结合愣次定律可得：
U
O
1
3
4
I
设粒子带正电，以向上运动作为正方向，可得微粒
的v—t图象：
v
由两函数图象可得
选项A。
O
1
3
4
t
例8：
解析：
r
R
O
α
α
A
添加辅助线如图，由平面几何知识及三角函数
可知：宇宙飞船经历“日全食过程”的圆心角
r
R
/
sin
为α，绕地作圆周运动的半径为
，结
2
合万有引力知识可得选项为AD。
例9
例10
AD
例11（2010浙江理综22题）在一次国际城市运动会中，要求
运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ
的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道
的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取
g=10m/s2）。求：
（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；
（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多
大？对应的最大水平距离Smax为多少？
3）若图中H＝4m，L＝5m，动摩擦因数＝0.2，则水平运动
距离要达到7m，h值应为多少？
A
B
H
L
h
【解析】（1）由A运动到B过程：
1 2
mg ( H h) mg L mvB 0
2
（2）平抛运动过程：
vB 2 g ( H h L)
1 2
解得
x vC t
h gt
2
x 2 ( H L h) h 2 h 2 ( H L )h
当
H L
h
2 (1)
（3）
时，x有最大值，Smax
L H L
x 2 ( H L h)h h 3h 1 0
2
h1
3 5
2.62m
2
h2
3 5
0.38m
2
解得
例12（2010浙江理综24题）有一个放射源水平放射出α、β和γ三种射线，垂
直射入如图所示磁场。区域Ⅰ和Ⅱ的宽度均为d，各自存在着垂直纸面的匀强
磁场，两区域的磁感强度大小B相等，方向相反（粒子运动不考虑相对论效
应）。
（1）若要筛选出速率大于v1的β粒子进入区域Ⅱ，求磁场宽度d与B和v1的关
系。
（2）若B＝0.0034T，v1＝0.1c（c是光速），则可得d; α粒子的速率为
0.001c，计算α和γ射线离开区域Ⅰ时的距离；并给出去除α和γ射线的方法。
（3）当d满足第（1）小题所给关系时，请给出速率在 v1＞v＞v2区间的粒
子离开区域Ⅱ时的位置和方向。
（4）请设计一种方案，能使离开区域Ⅱ的粒子束在右侧聚焦且水平出射。
已知：电子质量
量
me ，9.110-31 kg
q 1.6 1019 C
，α粒子质量
（x<<1时）ma 6.7 10-27 kg
1 x 1
x
2
I
B
，电子电荷
II
B
例13
例14
该类问题分析：一、单位量纲判断；二、取
极限：非理想模型通过取极限迁移到理想模
型从而作出判断
例15：(2009江苏单科)15题如图所示，两平行的光滑金属导轨
安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不
计，导轨平面的倾角为α，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强
度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒
和正方形的单匝线框连接在一起组成 “
”型装置，总质量
为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒
流源产生，图中未画出）。线框的边长为d（d < l），电阻为R，
下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运
动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导
轨垂直。重力加速度为g。求：
（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；
（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 ；
（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大
距离m 。
导体棒中通以大小恒为I的电流
将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回
V=0
V1
甲
乙
乙到丙动能定理：
1 2 t
mg sin 2d BIld 0 mv1 1
2
V=0
丙
2B 2 d 3
2m( BIld 2mgd sin )
R
mg sin
甲到乙微元法：
mg sin BI d
B 2d 2v
v
t ( g sin
)t vt 2d
m
mR
B 2d 2v
2B 2 d 3
)t v1 gt1 sin
求和 v ( g sin
mR
mR
例16：（2010北京理综24题）雨滴在穿过云层的过程
中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，
其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的
一系列碰撞。已知雨滴的初始质量为 m0，初速度为
v0，下降距离l后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变
为 m1。此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的
小水珠碰撞且合并，质量依次为m2、 m3……mn……
（设各质量为已知量）。不计空气阻力。
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度 ；
vn
（2）若考虑重力的影响，
ａ．求第１次碰撞前、后雨滴的速度v1和
；
ｂ．求第ｎ次碰撞后雨滴的动能
。
v1
1
mn vn2
2
解答：
m0
v0
（1） v1 v 2 gl
mn
（2）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加
速运动，碰撞瞬间动量守恒。
2
0
vn
2
2
v
v
a． 第1次碰撞前 1
0 2 gl ,
第1次碰撞后
m0v1 m1v1
m0
m0 2
v1
v1
v0 2 gl
m1
m1
2
2
2
m
m
m
2
2
2
2
0
0
1
b. 第2次碰撞前 v2 v1 2 gl v2
v0
2 gl
2
m1
m1
2
2
2
2
m
m
m
m
1
第2次碰撞后 v2 1 v 2 0 v 2 0
2
0
2 gl
2
2
m2
m2
m2
2
2
2
2
m
m
m
m
2
2
0
0
1
2
同理，第3次碰撞后 v3
v0
2 gl
2
m3
m3
…………
第n次碰撞后
得动能
n 1 2
2
mi
m0 2
2
i 0
2 gl
vn
v
0
2
mn
mn
n 1
1
1
2
2 2
2
mn vn
(m0 v0 2 gl mi )
2
2mn
i 0
三、学生的主要问题剖析及我校在
提高学生数学处理物理问题能力上
的一些做法
现象
若 y a x bx，太简单！
2
a, b为常数，求y的最大值。
x 2 ( H L h) h 2 h ( H L ) h ,
不知道！
求x的最大值？
？？？？？？
2
已知三角形ABC的三条对边a、b、c，
求角C的余弦。
余弦定理，
没问题！
Y
O'
θ
r
r
θ
A(0,y)
O
R
求角θ的余弦。
X
不会求！
？？？？？？
平时经常说
物理问题：力
分析、运动分
析、能量分析
物理规律列式
数学知识求解
“要重
视数学
知识在
物理中
的应
用”！
“强
调的
次数
很多，
效果
却很
小”！
学生普遍存在的问题：
“不怕做不到，只怕想不到”、”
数学中会做，物理中不会做”、
“不缺乏数学知识，缺乏在物理问题
中应用数学知识的意识”——缺乏
用数学解决物理问题的“能力”
我校在提高学生数学处理物理
问题能力上的一些做法
• (一)课堂渗透
• (二)专题训练
• (三)错误共析
(一)课堂渗透
1.在高一、高二的概念、规律教学中渗透数学知
识与方法，提高学生在建立概念、推导规律中应
用数学知识的能力，领会数学与物理的紧密联系。
如：在速度、加速度、电场强度、电容等概念建立过程
都用到了比值定义的方法，平均速度的概念用到极限的
思想；匀变速直线运动由基本公式可推导出多个推论，
牛顿定律推导得出动能定理，动能定理推导得出机械能
守恒定律与功能关系，历史上牛顿万有引力定律就是在
开普勒定律基础上用数学推导得来等；匀变速直线运动
位移公式的推导用到了函数图像与微元法，向心加速度
公式推导用到了向量求解、微元法、平面几何知识，等
等……。概念与规律建立与推导要注重引导学生使用数
学知识推导，切勿直接告诉结论或越殂代疱。
2.在习题教学中渗透数学思想与方法，在
习题练习后帮助学生总结一些典型物理问
题中所需的数学知识与处理方法，如：平
衡问题通常需要用到三角函数知识；带电
粒子在磁场中运动通常用到平面几何知识
（定圆心、半径、圆心、轨迹）；平抛或
类平抛通常分解到两方向然后联立方程求
解；在相同或相似的物理过程、物理模型
中来比较某个量往往用到求比例的思想；
数学求极值的思想等等。
案例1
比较或求比例类问题基本思路
写通式
找关系
如例1、例2
变量比较
变量求比例
案例2
求极值问题的基本思路：
是
定性判是否单调
否
取极限或临界
写一般关系式
数学求极值
例17：（12年绍兴期末试题）如图甲所示，真空中的电
极K连续不断地发出电子（电子的初速度可忽略不计），
经电压为Ul的电场加速，加速电压Ul随时间t变化的图象
如图乙所示。每个电子通过加速电场的过程时间极短，
可认为加速电压不变。电子被加速后由小孔S从穿出，
设每秒K向加速电场发射的电子数目恒定。出加速电场
后，电子沿两个彼此靠近且正对的水平金属板A、B间
中轴线射入偏转电场， A、B两板长均为L=0.20m，两
板之间距离d＝0.40m，A板的电势比B板的电势高。A，
B板右側边缘到竖直放置的荧光屏P（面积足够大）之间
的距离b=0.20m。荧光屏的中心点O与A、B板的中心轴
线在同一水平直线上。不计电子之间的相互作用力及其
所受的重力。求：
(3)在A、B间加适当的电压，在较长时间内可以使从
加速电场中出来的电子90%都能打在荧光屏上，则此情
况下所有能打到屏上的电子的动能的最小值为多少。
Δy
定性分析：在U2一定时，U1大，在加速电场中做功多，但在
偏转电场中偏转距离小，做功少，总动能不一定大，显然出射
动能与U1非单调关系。
eU 2 2 L2
y
U 2 L2
Ek eU1 e U 2 eU1
列一般关系式： y
2
d
4
d
U1
4dU1
eU 2 2 L2 eU 2 L
数学求极值： Ek eU1
2
4 d U1
d
由题意可解得U2＝80V，代入得Ekmin=40eV
3.在实验教学中渗透数学思想与方法，培养学生
在实验的基础上，运用数学方法分析实验数据、
得出物理结论的能力，特别是作图能力、函数图
像处理数据的能力及分析实验结论的能力。如：
胡克定律在探究弹簧伸长与弹力的实验基础上通
过作F—ΔX图象得到；通过实验数据描绘出小灯
泡的U—I图象来定性得出金属电阻率与温度的关
系；牛顿第二定律中研究a与m关系时，先通过实
验获得实验数据，再描a—m图象，非线性不能得
出定量关系，猜测成反比，再作a—1/m图象，线
性，得出定量关系，等等……函数图象是浙江高
考重点考查的数学能力，只有在平时重视培养才
能在高考中做到游刃有余。
(二)专题训练
在高考二轮复习中进行相应数学知识解决物
理问题的专题训练，是提高学生应用数学知
识解决物理问题能力的有效方式。专题训练
不必面面俱到，要有重点有计划，不必大量
训练，关键要典型有针对性，不是为了练而
练，而要引导学生总结归纳，切实有效的提
高自身的能力。我校一般每年都设计“方程
组求解”专题、“求极值”专题、“函数图
象”专题，然后帮助学生总结相应的方法。
如可采用如下形式：
案例1：数学方法求极值
方法
特征
对应训练
几何方法求极值
已知合矢量与两分矢量
中一个矢量的大小方向
与另一矢量的方向，求
另一矢量最小值
y(θ)=cosθ+μsinθ，
ymax= 1 2
a+b≥ 2 ab
例题
练习
三角函数求极值
基本不等式求极
值
b
ax 2 ab
x
例题、练
习
例题、练
习
两次函数求极值
y=ax2+bx+c，
4ac b2
ym
4a
例题、练
习
(a＞0时，有ymin；a＜0时，
有ymax)
判别式求值
y=ax2+bx+c，
b 2 4ac 0
例题、练
习
案例2：图象类问题专题
图象类型
V-t、s-t、F-t、F-x、E-x、I-t、U-t……
作图
建座标系、定标度、描点、连线：例题、
训练
图象的
“点”
利用图象中的特殊点（截距）:例题、
训练
图象的
“线”
利用图象的函数关系、斜率：例题、训
练
图象的
“面”
利用图象的面积：例题、训练
例18：在光滑绝缘水平面上固定有一点电荷，A、B是
该点荷电场中一条电场线上的两点，带负电的小球沿
该电场线从A运动到B，其动能随位置变化关系如图所
示。设A、B两点电势分别为ΦA、ΦB，电势能分别为
EPA、 EPB，则下列说法正确的是（
）
A.点电荷带负电在A点左侧， ΦA<ΦB、 EPA> EPB
B.点电荷带正电在A点左侧， ΦA>ΦB、 EPA< EPB
C.点电荷带正电在B点右侧， ΦA<ΦB、 EPA> EPB
D.点电荷带负电在B点右侧， ΦA>ΦB、 EPA< EPB
EK
A
B
O xA
xB
x
由点得EKA>EKB
A
A
—
B
B
A
—
B
选A、C？
由线得A到B斜率变大，即电场力增大
A
B
+
选C！
利用图象的斜率
+
例19：老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴
的距离成反比，当它行进到离洞穴d1的甲处时速度
为v1，试求：
(1)老鼠行进到离洞穴的距离d2的乙处的速度多大？
(2)从甲处到乙处所用的时间为多少？
(1) v
2
d1
v1
d2
(2) 作d—1/v图，图线与坐标轴包围的面积即是所用时
间
d d
t
2d1v1
2
2
2
1
利用图象
的“面”
(三)错误共析
在学生的作业中挖掘一些典型的错误，
教师与学生一起互动讨论，找出误区，
总结注意点，明确正确做法，往往会起
到事半功倍的作用。如：
案例1：方程组求解
（2008年全国卷23题）已知O、A、B、C为
同一直线上的四点，AB间的距离为l1,BC间
的距离为l2。一物体自O点由静止出发，沿此
直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点。
已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等。
求O到A的距离。
作业后找出学生典型错误
1.计算错误；
2.字母运算能力差；
3.运动学公式不清造成方程错误
4.未知量设置不合理，无目的性
5.方程列了一大堆，但整合能力不足
6.信心不足，中途放弃
师生互动讨论，总结解法
作运动过程图，令加速度为a，O到A时间为t，
距离为l，A到B、B到C时间为T
O t
A
l
T
B
l1
T
C
l2
方法一：代aT2
l2 l1 aT
2
①
(3l1 l2 )
①代入③得 l
8(l2 l1 )
l1 l2
vB
②
2T
vB2 (l1 l2 ) 2
l l1
2a
8aT 2 ③
2
方法二：代a代t
l2 l1 aT
2
①
l1 l2
vB
a (T t )
2T
1 2
l at
③
2
②
3l1 l2
T
由①②得 t
2
2(l2 l1 )
(3l1 l2 )
代入③得 l
l
l
8(l2 l1 )
2
由①得
l 21
T
方法三：…
方法四：…
不同的方程进行不同的组合，可达十几种解法
总结注意点
1.未知数能少则少
2.未知数多于方程数未必不能求解（消元）
3.先观察方程的特点，再求解
4.字母运算要注意切勿遗漏字母
5.要有信心
案例2：函数图象处理实验数据
作业后找出学生典型错误
1.实验原理理解不清，作图前定位错误
2.座标标度选择不佳，使图象过小或过大
3.描点后图象为一光滑曲线
4.描点后图象为一直线
5.描点连线过于草率，没用直尺
6.U—x图象斜率的物理意义不清，电阻率不会求
7.计算错误
师生互动讨论，总结实验图象的注意点
1.梳理实验原理，根据理论知识作出预判
2.原点不一定取（0,0）,视实验数据而定
3.标度的选择应使图象分布满整张座标纸为
宜
4.若图象为直线，应使尽可能多的点在同一
直线上，其余点分布直线两侧，偏差较大点
舍去，图象为连续曲线，用光滑曲线连接
5.研究函数图象要分析清楚点、线、面的物
理意义
以上是本人对“应用数学知识解
决物理问题”这一重要考查能力的一
点肤浅认识和做法，不足之处，不言
而喻，请多多指正批评。
谢谢！