Transcript Wave Properties of Particles 粒子的波動性

第3章
粒子的波特性
Wave Properties of Particles
Modern Physics
3.1 德布羅依波 De Broglie Waves
一個移動中的物體表現出似乎具有波動特性的行為
– 光子波長

h
p
• 德布羅依提議上式為一個普遍的公式，能應用於所有物質
粒子及光子。
質量為m且速度為之粒子動量為 p =  mv，故其對應的德
布羅依波長為
– 德布羅依波長
h

mv
粒子的動量越大，波長越短，其中 為相對論因子。
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Example 3.1
• 求出(a) 46 g且速度為30 m/s的高爾夫球；和(b) 以速度107 m/s運動之電
子的德布羅依波長。
答
– (a) 因為 v << c，我們假設  = 1，因此
6.63 1034 J  s
h


 4.8  1034 m
mv (0.046 kg)(30 m/s)
– 高爾夫球的波長和其大小相比非常地小，故我們無法預期能找到波的特性。
– (b) 同樣地因為 v << c ，且質量 m 為 9.11 1031 kg，我們得到
6.63 1034 J  s
h
11



7
.
3

10
m
 31
7
mv (9.11 10 kg)(10 m/s)
– 原子大小和波長可互相比較――舉例來說，氫原子的半徑為 5.1110 11 m ，
因此運動中電子的波動特性可做為瞭解原子結構和行為的關鍵並不足為奇。
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Example 3.2
• 求出德布羅依波長為 1.00 fm = 1.00015 m 的質子動能，此波長大約
為質子的直徑。
答
– 對於質子而言，除非 pc 遠比質子靜止能量 E0 = 0.938 GeV 小，否則我們
需要相對論計算，為求出其動能，我們使用式 (3.2) 來決定 pc 值：
(4.1361015 eV s)(2.998108 m/s)
pc  (mv)c 

 1.240109 eV
15

1.00010 m
 1.2410 GeV
hc
– 因為，故需要用相對論計算，從式 (1.24) 中得知質子的總能量為
E  E02  p2c2  (0.938 GeV)2  (1.2340 GeV)2  1.555 GeV
– 所對應之動能為
KE  E  E0  (1.555  0.938) GeV  0.617 GeV  617 MeV
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3.2 什麼波？ Waves of What?
機率波
• 對水波，波為水平面高度的週期性變化；對聲波中，為壓
力變化；在光波中為電磁場的變化。
• 物質波變化的數值稱為波函數(wave function)  ，物體在
空間中x, y, z且在時間t的波函數值與在當時該處發現該物
體存在的機率有關。
• 在實驗上藉由波函數來描述該物體位於x, y, z和時間 t 時的
機率正比於時間 t 時||2 的值。
• X-ray繞射的先驅布拉格(W. L. Bragg)給了一個寬鬆但很生
動的解釋：「在物質和輻射的波及粒子特性間的分隔線為
『當下』，在時間的穩定前進下，它將未來的波動凝結成
為過去的粒子……，每件發生在未來的事都是波動，每件
發生在過去的事都是粒子。」
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3.3 描述一個波 Describing a Wave
波的一般公式
– 繩上某點的位移隨時間的變化
y  A cos2t
• 想像在 t = 0 時於 x = 0 處振動
繩索，一波往+x方向前進。
• 將上式中的 t 以 t x/vp 取代，
我們得到以 x 和 t 來表示 y 的
公式為：
y  A c os2 (t 
x
)
vp
• 波速度可由 vp=  求得，我們
得到
– 波動公式
x
y  A cos 2 (t  )

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• 常用角頻率 (angular frequency)和波數k(wave
number)來描述波
– 角頻率
– 波數
  2
k
2



vp
• 以 和k來表示波動方程式如下
y  A cos ( t  kx)

 vp
k
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3.4 相速度與群速度
Phase and Group Velocities
組合而成的一群波，其速度未必會等於波個別的速度
 mc2  h  c 2
– 德布羅依波速度 vp    

   c ?
 h  mv  v
• 對應於運動物體的德布羅依波振幅可反映出物體在特定時
間和地點出現的機率，可以波包(wave packet)或波群
(wave group)表示。
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• 一個波群的例子為拍(beat)，當兩個相同振幅而頻
率稍異的聲波同時產生時，我們聽到的頻率為兩
個頻率的平均值，而振幅會週期性地增減，振幅
變化的頻率等於兩個初始頻率之間的差異。
如初始聲波頻率為 440 和 442 Hz時，我們將會聽
到一個具有兩個大小強度並且以頻率441 Hz振動
的聲波，稱之為拍(beat) 。
y1  A c os(t  kx)
y2  A cos[(  )t  ( k  k)x]
y  y1  y2
k 
 
 2 A c o s(t  kx) c o s
t
x
2 
 2
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– 拍
– 相速度
k 
 
y  2 A c os(t  kx) c os
t
x
2 
 2
vp 

k
• 波群的速度 vg 為
– 群速度
vg 

k
• 當  和 k 有連續分布而非先前討論的單一數值時，群速度
將等於
– 群速度
vg 
d
dk
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3.4 相速度與群速度 Phase and Group Velocities
• 對應於質量為m且以速度行進的物體而言，其德
布羅依波的角頻率和波數的關係為 和k皆為物體
速度v的函數。
–
2mc2
2mc2

德布羅依波的角頻率   2 
h
h 1  v2 / c 2
– 德布羅依波的波數
k
– 德布羅依波群速度
vg 
– 德布羅依波相速度
2


2mv
2mv

h
h 1  v2 / c 2
d d / dv

v
dk dk / dv

c2
vp  
k
v
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Example 3.3
• 一個電子的德布羅依波長為 2.00 pm  2.00  1012 m ，求出其
動能和德布羅依波的相速度與群速度。
答
– (a) 第一個步驟為計算電子的pc
(4.136  1015 eV  s)(3.00  108 m / s)
pc 

 6.20  105 eV
12

2.00  10 m
hc
 620 keV
– 電子的靜止能量為 E0  511 keV，所以
KE  E  E0  E02  ( pc)2  E0  (511 keV)2  (620 keV)2  511 keV
 803 keV  511 keV  292 keV
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– (b) 電子速度可由下列方程式得到
因為
E  mc2 
E0
1  v2 / c 2
故
2
E02
 511 keV 
v  c 1 2  c 1 
  0.771c
E
8
03
keV


– 因此相速度和群速度分別為
c2
v p   1.30c
v
vg  v  0.771c
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電子顯微鏡
• 電子的波動特性為電子顯微鏡的基
礎，第一部電子顯微鏡於1932年被
製作出來。
• 利用快電子波長遠較可見光短的特
性，可提高為繞射限制的解析度。
• 電子另一特性為帶電，可利用電磁
場聚焦。x射線也有短波長特性，但
目前無法適當地聚焦。
• 在一個電子顯微鏡中，攜帶電流的
線圈產生做為將電子束聚焦至樣本
的磁場，故可在螢光幕或是感光片
上產生放大影像。
• 為了預防光線散射以致於影像模糊，
必須使用薄樣本且整體系統必須保
持在真空中。
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3.5 粒子繞射 Particle Diffraction
一個驗證德布羅依波的實驗
• 1927年美國的Clinton
Davisson、Lester Germer 和
英國的 G. P. Thomson，分別
利用電子束被晶體的規則原子
序列散射所產生的繞射線，證
明了德布羅依波的存在。
Davisson- Germer的實驗。
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•古典物理預測了散射電子將會發散於各個方向，而其強度與
散射角度有關，但和主要電子的能量較無關。
•Davisson- Germer 實驗的結果，顯示出散射電子的數量隨
入射電子與晶體表面的角度而變化。
Davisson- Germer 實驗的結果，顯示出散射電子的數量如何隨入射光及晶體表面
的角度而變化。曲線中任一點與原點連線，角度為電子散射角，距離對應其散射
強度。
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被靶繞射的德布羅依波說明了Davisson及Germer實驗的結果。
d  0.091 nm
  2d sin 

  90   65
2
  (2)(0.091 nm)(sin 65)  0.165 nm
54 eV  511keV no nrelativity
1
KE  mv2  mv  2mKE  4.0 10 24 kg  m/s
2
h
6.631034 J  s
10
λ


1
.
66

10
m
 24
mv 4.0 10 kg  m/s
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3.6 箱子中的粒子 Particle in a Box
• 當運動粒子被限制於某些區域而非自由移動時，其波特性
會導致相當重要的結果。
• 從波的觀點來看，一個陷於箱中的粒子正如同
在箱壁間拉伸繩索中的駐波一樣，在這兩個狀
況中(繩索的橫向位移及運動物體的波函數)，
波函數在壁上必須為 0，因為波會在壁上停止。
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–補陷粒子的德布羅依波長
–箱中的粒子能量

n2 h2
En 
8mL2
2L
n
n  1, 2, 3,
n  1, 2, 3,
•每個允許的能量被稱為能階(energy level)，
而決定能階 En的整數 n 被稱為量子數
(quantum number)。
被捕陷在寬L的箱中的粒子的波函數。
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Example 3.4
一個在寬為0.10 nm箱中的電子，這個箱子大小和原子尺寸
相當，求其允許的能量。
答
– 在此 m = 9.111031 kg 且 L = 0.10 nm = 1.0  1010 m，故允許電
子能量為
(n 2 )(6.63  1034 J  s) 2
18 2
En 

6.0

10
n J
(8)(9.1  1031 kg)(1.0  1010 m)2
 38n 2 eV
– 電子的最小能量為38 eV，對應的n為1。能階依序
為 E2 = 152 eV、E3 = 342 eV、E4 = 608 eV，依此
類推（圖3.11）。如果這樣的箱子存在，捕陷電子
能量的量子化將是系統的特徵之一（能量量化也
的確是原子電子中最顯著的特色之一）。
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Example 3.5
一個10 g的彈珠位於10 cm寬的箱中，求其允許能量。
答
– m  10 g  1.0  102 kg 且 ， L  10 cm  1.0  101 m
(n 2 )(6.63  1034 J  s) 2
 5.5  1064 n 2 J
En 
2
1
2
(8)(1.0  10 kg)(1.0  10 m)
 3.4  1045 n2 eV
– 彈珠的最小能量為5.51064 J，對應的n為1。具有此動能
的彈珠速度為3.31031 m/s，因此並無法由實驗分辨它
和靜止彈珠的差異。彈珠合理的速度可能為1/3 m/s─對
應能階的量子數為n = 1030！允許的能階態非常接近，故
無法決定彈珠是否所預測的能階或是別的能階。因此在
日常生活經驗中，量子效應是無法被察覺到的，這也解
釋了牛頓力學在日常生活中之所以成功的原因。
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3.7 測不準原理一 Uncertainty Principle I
• 測不準原理：
不可能同時知道一個物體的正確位置和正確動量。
– 這個原理於1927年被海森堡發現，並且為物理定律的重
要發現之一。
我們不能預知未來，因為我們不知道現在
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在特定時間 t 時，波群函數(x)可以傅利葉積分來表示

   g( k) c oskx dk
0
 x  k  12
當波形為高斯函數時等號成立
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高斯函數
•標準差
•高斯函數

1 N
( xi  x0 )2

N i 1
f ( x) 
1
 2
e
 ( x  x0 ) 2 2 2
圖3.15 高斯分布。發現x值的
機率由高斯函數所給定。x的平
均值為x0，曲線最大值一半的
總寬度為2.35， 為分布的標
準差。在求得x 在x0附近一個標
準差之內的機率等於顏色較暗
的區域為68.3%。
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2p
k


h
2
測不準原理
hk
 p
2
h
p 
k
2
h
xp 
4
• h/2 這個量常在近代物理中出現，因為它剛好是
角動量的基本單位。因此為了方便起見將 h/2 簡
寫成ħ (h-bar)
– 測不準原理

xp 
2
h

 1.0541034 J  s
2
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Example 3.6
• 某次對質子的位置測量準確度為  1.00 × 10-11 m。求出一
秒後質子位置的測不準量。假設 v << c。
答
– 設時間 t = 0 時，質子位置的測不準量為 x0。此時它的動量測不
準量可從式 (3.22) 求出，

p 
2x0
– 因為 v = c，動量的測不準量為 p = (mv) = mv，所以質子速度
的測不準量為
p

v 

m 2mx0
– 在 t 時間內質子出現範圍的準確度不可能超過
t
x  tv 
2mx0
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– 因此 x 會反比於 x0：我們對於 t = 0 的質子位置知道的越清楚，
我們就會對於 t > 0 的位置知道的越少。在t = 1.00 s 時 x 的值為
(1.054  1034 J  s)(1.00 s)
x
(2)(1.672  1027 kg)(1.00  1011 m)
3

3.15

10
m
– 答案是3.15 km！發生的原因在於組合波的相位速度隨波數而改變，
而原本狹窄的波群需要很大範圍的波數才得以表達出來。
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3.8 測不準原理二 Uncertainty Principle II
由粒子觀點
• 測不準原理不但可以從粒子的波動特性導出，也
可以從波的粒子特性推導出。
p
h

x
 x p  h
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3.9 測不準原理應用
Applying the Uncertainty Principle
由於ħ/2只是一個下限，且只有在某些特別狀況下xp才
會滿足。因此經常測不準關係可表示為
xp ħ
甚至是
xp h
測不準原理是一個有用的工具，而非只是一
個負面的陳述。
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Example 3.7
• 一個典型原子核的半徑約為 5.01015 m。利用測不準原理求出電子為
原子核的一部分時所需要的最低能量。
答
– 令 x = 5.01015 m 則得到
1.054  1034 J  s
20
p


1.1

10
kg  m / s
15
2 x (2)(5.0  10 m)
– 如果這是核內電子動量的測不準量，則動量 p 本身的強度必須與其相當。
一個有這樣動量的電子動能 KE 比它的靜止能量 mc2 大了好幾倍。從式
(1.24) 中我們看到可以假設 KE = pc，準確度不會差太多。因此
KE  pc  (1.1  1020 kg  m / s)(3.0  108 m / s)  3.3  1012 J
– 因為1 eV = 1.61019 J，在核中的電子動能必須超過20 MeV。實驗證明由
某些不穩定核中所射出的電子只是這個能量的很小一部分，從這裡我們可
以得到結論就是原子核不可能含有電子。不穩定核所發射的電子是因為那
時原子核衰變所造成。
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Example 3.8
• 一個氫原子的半徑為 5.31011 m。運用測不準原理估算在原子中電子
所需具備的最小能量。
答
– 這裡我們發現  x  5.3  1011 m。
p
2 x
 9.9  10 25 kg  m / s
– 具有這種強度等級動量的電子表現和古典的粒子相似，它的動能
為
p 2 (9.9  1025 kg  m / s) 2
19
KE 


5.4

10
J
31
2m
(2)(9.1  10 kg)
– 也就是3.4 eV。在氫原子最低能階的電子動能實際上是13.6 eV。
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•能量與時間
–能量與時間的測不準量
E t 
2
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Example 3.9
• 一個「激發的」原子以發射出某個特徵頻率的光子將多餘的
能量用掉。平均一個原子從激發至輻射所花的時間約為 1.0
 108 s 。求光子頻率中的測不準量。
答
– 光子能量的測不準量為
1.054  10 34 J  s
27
E 


5.3

10
J
8
2t
2(1.0  10 s)
– 對應光頻率的測不準量為
 
E
 8  10 6 Hz
h
– 這就是用來決定原子所發射之輻射頻率的準確度一定不可少的限制。
如結果所示，從一群激發的原子不會以準確的頻率  出現。假設一
個光子的頻率為 5.0  1014 Hz，/ = 1.6  10 8。實際上其他現象
如都卜勒效應對於譜線變寬的貢獻遠大於前者。
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4, 9, 13, 22, 24, 26, 28, 29, 33, 36, 39
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