Transcript Particle Properties of Waves 波的粒子性質

第2章
波的粒子特性
(Particle Properties of Waves)
Modern Physics
2.1 電磁波
電與磁的耦合振動以光速行進並且顯示出典型的波動行為。
• 在1864年時，英國物理學家James Clerk Maxwell做出了重大的假設，
加速電荷能產生相互耦合的電和磁的擾動(disturbances)，並無限傳
播於空間中。
• 相對於法拉第的磁變生電，Maxwell提出另一個看法：一個變化的電
場也會產生相關的磁場。
• Maxwell推論相互耦合的電磁場可產生一電磁波動，而此波動行進速
度 c  1/  0 0  2.998108 m/s 恰等於光速。由此，Maxwell進一步
推論光是一種電磁波(em wave)。
• 直到Maxwell過世後，於1888年由德國物理學家Heinrich Hertz才藉
由實驗證實Maxwell所預測的em wave的存在。
Modern Physics
電磁輻射的光譜
Modern Physics
A C
B
D
水波的干涉。建設性干射沿著AB連線出現，而破壞性干涉則沿著CD連線產生。
Modern Physics
楊氏實驗的干涉圖案，建設性干涉會在從狹縫至屏幕的路徑長度差為λ, 2λ,
3λ 的地方發生；破壞性干涉會在在從狹縫至屏幕的路徑長度差為λ/2, 3λ/2,
5λ/2的地方產生。
Modern Physics
2.2 黑體輻射
• 為方便起見，可以假設有一個理想的物體，它可以吸收所
有入射的輻射能量而不論其頻率為何，這樣的物體稱為黑
體(blackbody)。
黑體光譜。輻射的
能量光譜分布僅和
物體的溫度有關，
溫度越高時，輻射
量越大且最大輻射
頻率也會越高。
Modern Physics
Rayleigh-Jeans Formula
考慮一立方體共振腔
x, y, z方向上半波長數目
任意方向的駐波數有
j x , y ,z 
2L

 1,2 ,3,
2L 

2
2
2
jx  j y  jz   
  
2
介於 j 到 j+dj 駐波數目
g( j)dj  (2)(18 )(4j 2dj)  j 2dj
因為
紫外線災難
(The Ultraviolet Catastrophe)
2 L
j


c
2L
8 2 d
–腔體中的駐波密度 G( )d 
c3
–每個駐波的古典平均能量
  kT
(2.1)
(2.2)
波茲曼常數 k  1.381  1023 J/K
–Rayleigh-Jeans(瑞利-瓊斯)公式
u( )d   G( )d 
8kT 2
 d
3
c
(2.3)
Modern Physics
• 普朗克輻射公式(Planck Radiation Formula)
8h  3d
– 1900年，普朗克提出輻射公式 u( )d  3 h / kT
c e
1
(2.4)
其中普朗克常數 h  6.626  1034 J  s
– 假設振盪子能量
 n  nh n  0,1,2,
(2.5)
因此每個駐波實際平均能量
 
h
e h / kT  1
(2.6)
上式當
8h  3d
8kT 2
h  kT u( )d  3

 d
3
h
c (1  kT )  1
c
Modern Physics
Example 2.1
• Assume that a certain 660-Hz fork can be considered as a harmonic
oscillator whose vibrational energy is 0.04 J. Compare the energy quanta of
this tuning fork with those of an atomic oscillator that emits and absorbs
orange light whose frequency is 5.001014 Hz.
• 答
– (a) 對音叉而言
h 1  (6.63 1034 J  s)(660 s1 )  4.38 1031 J
– (b) 對於原子振盪子而言
h 2  (6.63 1034 J  s)(5.00 1014 s1 )  3.32 1019 J
– 以電子伏特來表示，
3.32 1019 J
h 2 
 2.08 eV
19
1.60  10 J/eV
Modern Physics
2.3 光電效應
Retarding potential
光電效應實驗
Retarding potential對在三個不同金屬表面
入射光頻率 作圖， Retarding potential相
當於最大的電子動能。
Modern Physics
被光所釋放之電子能量和光的頻率相關
• 當光的頻率夠高時會放出電子，這個現象被稱為光電效應
(photoelectric effect)，且被放出的電子稱為光電子
(photoelectron)
• 光量子理論
– 在 1905 年時，愛因斯坦瞭解到如果光的能量不是由波前擴散而是集
中於一個小封包或光子(photon)時，光電效應就可以被理解（光子
和1926化學家Gilbert Lewis所提到的名詞一樣），每個頻率為的光
子能量為，和普朗克的量子能量相同。
Modern Physics
  h 0
– 功函數
– 光電效應
(2.7)
h  KEmax  
(2.8)
h  KEmax  h 0
KEmax  h  h 0  h(  0 )
(2.9)
– 光子能量
 6.626 1034 J  s 
15

E  


(
4
.
136

10
) eV  s
-19

 1.602 10 J/eV 
(2.10)
如果我們以光的波長  來表示時，因為 = c/ ，我們得到
– 光子能量
E
( 4.1361015 eV  s)(2.998108 m/s)


1240 eV  nm

(2.11)
Modern Physics
表2.1 功函數
Modern Physics
Example2.2
• Ultraviolet light of wavelength 350 nm and intensity 1.00 W/m2 is directed at
a potassium surface. (a) Find the maximum KE of the photoelectrons. (b) If
0.5% of incident photons produce photoelectrons, how many are emitted per
second if the potassium surface has an area of 1.00 cm2 ?
答
– (a) 從式 (2.11) 中，因為1 nm = 1奈米 = 10−9 m，光子的能量為
1.24  106 eV  m
Ep 
 3.5 eV
(350 nm)(109 m / nm)
– 表2.1顯示鉀的功函數為2.2 eV，所以
KEmax  h    3.5 eV - 2.2 eV  1.3 eV
– (b) 光子能量為5.6810-19 J，因此每秒到達表面的光子數目為
E t ( P A)( A) (1.00 W m 2 )(1.00  104 m 2 )
np 


 1.76  1014 photons / s
19
Ep
Ep
5.68 10 J photon
– 因此光電子放射的速率為
ne  (0.0050)np  8.8  1011 photoelectrons/s  0.14 A
Modern Physics
2.4 光是什麼？
既是波也是粒子
• 光的波動理論解釋了繞射和干涉現象，而量子理論卻
不能解釋。
• 量子理論解釋了光電效應，而波動理論無法解釋。
• 光以一連串的封包傳播的觀念和光的波動理論相反。
• 我們可以想像光有一個二元性(dual character)，波動
理論和量子理論互相配合，每個理論本身都是整個事
件的一部分且僅能解釋某些效應。
Modern Physics
2.5 x射線
• 在1895年時，崙琴(Wilhelm Roentgen)
發現當快速電子撞擊物質時，會產生一
種未知特性的高穿透力輻射。
– x射線的產生
min 
1240
V  nm
V
(2.12)
x-ray管。加速電壓V越
高時，電子速度越快且
x-ray 波長越短。
Modern Physics
在不同加速電位下，鎢的x-ray光譜。
鎢和鉬在35 kV加速電位下的x射
線光譜。
Modern Physics
Example2.3
• 求出加速電壓為50,000 V之x-ray機所能發射出的
最短波長。
答
– 從式 (2.12) 中我們得到
min
1240

V  nm  0.0248 nm
4
5 10 V
– 對應到此波長的頻率為
 max 
c
min
3.00  108 m / s
19


1.21

10
Hz
11
2.48  10 m
Modern Physics
2.6 x-ray繞射
如何決定 x-ray的波長
被一群原子造成的電磁輻射散射現
象，入射平面波將以球面波型態重
新被釋放出來。
從NaCl晶體的
離子中散射的
x-ray所產生的
干涉圖案。
明亮的圓點對
應到晶體中的
不同層散射出
來的x-ray產生
建設性干涉，
NaCl的立方圖
案由其四重對
稱圖形所推論
出來，中間的
大圓點是由於
未散射的x-ray
所產生。
Modern Physics
•晶體中的原子可被用來定義許多平行平面族，如圖所示，每
一個平面族之間具有特定的間隔，這個分析是在1913年時由
布拉格(W. L. Bragg)所提出，而為了紀念他，我們將上述的
平面稱為布拉格平面(Bragg planes)。
在NaCl晶體中的
兩種布拉格平面。
Modern Physics
2d sin   n
n  1, 2, 3,
(2.13)
x-ray光譜儀。
Modern Physics
2.7 康普頓效應(Compton Effect )
康普頓效應實驗
Modern Physics
康普頓散射的實驗確認，根據式 (2.21)，散射角度越大，
則波長的變化越大。
Modern Physics
• 光子模型的進一步驗證
光子損失的能量=電子得到的能量
h  h '  KE
(2.14)
無質量粒子的動量和其能量相關，藉由下列公式
(1.25)
–
E = pc
因為光子能量為h，其動量為
– 光子動量
p
E h

c
c
(2.15)
Modern Physics
(a) 電子所造成的光子散射為康普頓效應。能量和動量
在每個事件中守恆，因此散射光子（較長波長）比入射
光子能量少；
(b) 入射光子、散射光子和散射電子的動量和其分量的
向量圖。
Modern Physics
初始動量 = 最終動量
h
h '
0 
cos  p cos
c
c
h '
0
sin   p sin
c
p2c 2  (h )2  2(h )(h ' ) cos  (h ' )2
• 粒子的總能量有兩個公式
E  KE  mc 2
(1.20)
E  m2c4  p2c2
(1.24)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Modern Physics
p2c 2  (h )2  2(h )(h ' )  (h ' )2  2mc2 (h  h ' )
2mc2 (h  h ' )  2(h )(h ' )(1  cos )
– 康普頓效應
– 康普頓波長
   
h
(1  cos )
mc
h
C 
mc
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
     C (1  cos )
(2.23)
Modern Physics
Example2.4
• 波長10.0 pm的x射線經由一個靶散射；(a) 求出散射角45°
的x射線波長；(b) 求在散射的x射線中的最大波長；
(c) 求出反彈電子的最大動能。
答
– (a) 從式 (2.23) 中，      C (1  cos  ) ，且
     C (1  cos 45)
 10.0 pm  0.293C
 10.7 pm
– (b) 當 (1  cos  )  2 時，     為最大，其中
     2C  10.0 pm  4.9 pm  14.9 pm
Modern Physics
Example2.4(續)
– (c) 最大反彈動能等於入射和散射光子之間的能量差，所以
1 1
KEmax  h(  ' )  hc  
  ' 
– 其中’ 由 (b) 而得。因此
KE max

(6.626  1034 J  s)(3.00  108 m / s) 
1
1




12
10.0
pm
14.9
pm
10 m / pm


 6.54  1015 J
= 40.8 keV。
Modern Physics
2.8 對生(Pair Production)
能量轉換為物質
• 在碰撞中一個光子會將其全部（光電效應）或部分（康普
頓效應）能量給予電子，對一個光子而言轉化成一個電子
和一個正子（帶正電的電子）也是有可能的，這個過程稱
為配對產生(pair production)，電磁能量會轉換為物質。
• 電子或正子的靜止能量為0.51 MeV，因此對生需要至少
一個光子的能量 1.02 MeV，任何多餘的光子能量都會變
成電子或正子的動能，所對應的最大光子波長為1.2 pm。
這樣的電磁波稱為伽瑪射線(gamma rays)，其符號為，可
在自然界的放射性原子核及宇宙射線中發現。
• Pair annihilation 對滅，對生的相反過程，
e  e    
Modern Physics
在對生的過程中，一個具有足夠能量的光子將會物
化為一個電子和正子。
Modern Physics
電子－正子對形成的氣泡腔圖，一個垂直於頁面的磁場使得電子和正子分別以
相反的曲線運動，此曲線路徑為螺旋狀，因為粒子在空間中運動時會損失能量。
(氣泡腔中，液體(此處為氫)處於能使其保持為液體的壓力下被加熱超過其沸點，
隨後壓力釋放。任一離子的出現會使附近不穩定過熱液體形成氣泡，此時液體
運動的帶電粒子將會留下氣泡痕跡使得我們可以繪製成圖形。)
Modern Physics
Example2.5
證明對生不會在真空中發生。
答
– 從能量守恆來看
h  2mc2
– 其中為光子能量且 mc2 為電子和正子對中每個成員的總能量。下
圖為光子、電子和正子的線性動量向量圖，因為動量在垂直方向
上也必須守恆，故角度 相等。而在光子的運動方向中，動量守
恆
h
 2 p cos 
c
or h  2 pc cos 
p
光子 h/c
p


pcos
pcos
Modern Physics
因為對於電子和正子而言 p= mv，所以
v

h  2mvcc o s  2mc   c o s
c
2
– 因為 v/c < 1 且 cos  1
，
h  2mc2
– 但是能量守恆需要 h = 2mc2，因此對於對生而言，能量及動量
不可能守恆，除非有其他物質參與過程以帶走初始光子的部分動
量。
Modern Physics
Example2.6
• 一個電子和一個正子在+x方向上以速度0.500c並行運動，
當互相結合而滅絕時，沿著x軸產生兩個光子；(a) 兩個光
子都是向著+x方向嗎？(b) 每個光子的能量為何？
答
– (a) 在一個隨初始粒子移動的質心系統中(center-of-mass, CM)，光
子將會在相反方向上運動，而使動量守恆。因為CM系統相對於實
驗室座標系統的速度小於光速 c，因此光子在實驗室系統中亦必須
朝相反方向行進。
– (b) 假設 p1 為沿著 +x 方向移動的光子動量，而 p2 為沿著 −x 方向
移動的光子動量，動量守恆使得（在實驗室系統中）
p1  p2  2mv 

2( mc2 )(v / c 2 )
1  v2 / c 2
2(0.511 MeV / c 2 )(c 2 )(0.500c) / c 2
1  (0.500)
2
 0.590 MeV / c
Modern Physics
Example2.6
– 能量守恆使得
p1c  p2 c  2mc 
2
2mc2
1 v / c
2
2

2(0.511MeV)
1  (0.500)
2
 1.180 MeV
– 所以 p1  p2  1.180 MeV / c
– 現在我們將這兩個結果相加並解出 p1和 p2：
( p1  p2 )  ( p1  p2 )  2 p1  (0.590  1.180) MeV / c
p1  0.885 MeV / c
p2  ( p1  p2 )  p1  0.295 MeV / c
– 因此光子能量為
E1  p1c  0.885 MeV
E2  p2 c  0.295 MeV
Modern Physics
光子吸收
x射線和伽瑪射線與物質主要是經由光電效應、康普頓散射和對生來交互作用。
對生至少需要1.02 MeV能量的光子。
Modern Physics
•光子能量較低，光電效應為主。
•當能量增加，逐漸轉為Compton散射。
•大於1.02 MeV始有對生。
•較輕的元素，以Compton散射為主的能量範圍較大。
在碳原子和鉛原子中，光電效應、康普頓散射和對生之相對機率和能量之間的關
係圖形。
Modern Physics
– 可見光、x射線和伽瑪射線等三種光子與物質交互作用的三個主要的方
式如下圖所顯示，在所有的情況中，光子能量轉換至電子，而電子損
失能量給吸收材料中的原子。能量損失率−dI/I正比於穿透的厚度dx，
比例常數  稱為線性衰減係數 linear attenuation coefficient
dI
   dx
I
– 輻射強度
– 吸收體厚度
I  I 0 e  x
x
ln( I 0 / I )

(2.24)
(2.25)
(2.26)
Modern Physics
鉛中光子的線性衰減係數。
Modern Physics
Example2.7
• 在水中2.0 MeV伽瑪射線的線性衰減係數為 4.9 m1，(a) 求
出2.0 MeV伽瑪射線通過10 cm的水之後，相對強度為何？
(b) 當此光線強度減少為原先的百分之一時，此光線在水
中走了多遠？
答
– (a) 此處  x  (4.9 m1 )(0.10 m)  0.49 ，且從式 (2.25) 中得知
I
 e   x  e 0.49  0.61
I0
– 光線通過10 cm的水之後，其強度減少為初始值的61%。
– (b) 因為 I I 0  100，式 (2.26) 產生
x
ln( I 0 / I )


ln(100)
 0.94 m
4.9
Modern Physics
2, 6, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 31, 37, 38, 40,
41, 43, 47
Modern Physics