Transcript Relativity 相對論

第1章 相對論
(Relativity)
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在1905年時，一個二十六歲的年輕科學家亞
伯特．愛因斯坦證明出時間和空間的量測如何被
觀察者及被觀測物之間的運動所影響。愛因斯坦
的相對論使得科學發生了革命，連結了空間與時
間、物質與能量、電與磁－這連結對於真實宇宙
的瞭解非常重要。相對論中有許多非凡的預測，
至今全部要已經被實驗所證實，雖然它很深澳，
許多結論卻可僅由最簡單的數學來表示。
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1.1 特殊相對論 Special Relativity
所有運動都是相對的，對所有觀察者而言，光
在自由空間中的速度都相同。
• 參考座標系(Frames of Reference)
– 慣性參考座標(inertial frame of reference)
一個運動中的物體持續以等速度移動(速率和方向相同)
• 特殊相對論假設
兩個假設構成了特殊相對論
– 第一假設：相對性原理→物理定律在所有慣性座標系中
都相同
– 第二假設：實驗的結果→光在自由空間中的速度對於有
慣性座標系而言皆相同
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光速對所有觀察者而言皆相同
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Michelson-Morley 實驗
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1.2 時間膨脹 Time Dilation
運動中的時鐘滴答比靜止時還慢。
• 原時間(proper time)
– 若在太空船上兩個事性發生的時間間隔為 t0，在地面上的我們
會發現該時間間隔為 t，數值 t0 由發生在一個觀察者參考座標
系中同樣地方的事件來決定，稱這數值為事件間隔的原時間。
• 時間膨脹效應(time dilation)
– 當在地面上看到此事件發生時，由於該標記事件開始及結尾
處的地點不同，因此觀察到事件間隔的時間比特徵時間還長，
此效應稱為時間膨脹效應。
time dilation
t
t0
1   2 c2
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t0 
2L0
c
一個簡單的時鐘裝置，每一次滴答聲對應於
光脈衝由下面的鏡子行進到上面的鏡子來回
所需要的時間
位於地面上的觀察者所見到的靜止光
脈衝時鐘，圓盤代表在地面上的傳統
時鐘。
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t
2 L0 c
1   2 c2
(1.2)
地面上的觀察者所看到在太空船中的光脈衝時間，鏡子和太空船的
運動方向平行，圓盤代表在地面上的傳統時鐘
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Modern Physics
在太空船裡的一個人打開閃光燈，並假設其相對於地球的速度大於光速。
(a)在太空船的座標系中，光波行進至太空船的前端
(b)在地球的座標系中，光波行進至太空船的尾端
因為在太空船裡和地球上的觀察者看到不同的事件，違背了相對性原理，
而結論是太空船相對於地球的速度不能比光速還快(或是相對於所有物體而言)。
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Example 1.1
• A spacecraft is moving relative to the earth. An observer on the earth
finds that, between 1 P.M. and 2 P.M. according to her clock, 3599 s
elapse on the spacecraft’s clock. What is the spacecraft’s speed relative
to the earth?
答
– 此處 t0 = 3599 s 為太空船中的原時間，t = 3600 s 為從地球上觀察到
的移動座標系的時間間隔，
t
t0
1  v2 / c 2
2
v 2  t0 
1 2   
c
t 
2
2
t0 
3599 


8
6
v  c 1     2.998 10 m/s  1  
  7.110 m/s
 3600 
t 
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1.3 都卜勒效應 Doppler Effect
v0
觀察者速度
V
V
T0  T0 (1  )
c
c
1
1
   0
T
1  (V / c)
T  T0 
V 0
T

波源速度

cv
cv

  0 (1  v / c)
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1.3 都卜勒效應 Doppler Effect
宇宙被認為是在擴張的理由。
• 聲波中的都卜勒效應
 1 v / c 

1

V
/
c


  0 
(1.4)
c = 聲速
v = 觀察者的速度(+表示接近聲源，  表示遠離聲源)
V = 聲源速度(+表示接近觀察者，  表示達離觀察者)
• 橫向光波都卜勒效應
   0 1  v2 / c2
(1.5)
被觀測之頻率ν總是比光源頻率ν0小。
• 縱向光波都卜勒效應
  0
1 v / c
1 v / c
(1.8)
當光源和觀察者互相接近時， v 為正(+)，而當兩者互相遠離時， v 為負()。
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1.3 都卜勒效應 Doppler Effect
• 橫向光波都卜勒效應
1
1  v2 / c 2
T t   
  0 1  v2 / c 2
T
t0
• 縱向光波都卜勒效應
(1.5)
當光源和觀察者互相接近時(v > 0)
T t
vt
v
v
1
1 v / c
 (1  )t  (1  )t0
 t0
c
c
c
1 v / c
1  v2 / c 2
  0
1 v / c
1 v / c
(1.7)
觀察者所看到光的
頻率和觀察者相對
於光源的運動方向
和速度有關。
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擴張中的宇宙
• 紅位移(red shifts)
– 遙遠的銀河系星球的光譜線全部都有往低頻(紅色)
端移動現象。
• 哈伯定律(Hubble‘s law)
– 這樣的位移顯示出銀河正在遠離我們且互相遠離中，
而遠離的速度被觀測到與距離成正比。
對於遙遠星雲而言，遠離速度和距離的關係圖，
平均的遠離速度約為每百萬光年71 km/s
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故可推測整個宇宙是正在擴張的
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Example 1.2
• 一個駕駛者闖紅燈時被逮捕，駕駛者對法官宣稱由於
都卜勒效應之故，他所看到的燈為綠色( = 5.60×1014
Hz)而非紅色(0 = 4.80×1014 Hz)。法官接受他的解釋且
改為超過80 km/h，每1 km/h罰款1美金，請問他要罰
多少錢？
答
解方程式(1.8)中的υ得到
  2  02 
 (5.60)2  ( 4.80)2 
8
  (3.0010 m/s)
v  c 2
2 
2
2



(5.60)

(
4
.
80
)


0 

 4.59  107 m / s  1.65  108 km / h
因為1 m/s = 2.6 km/h，故需罰款(1.65×108-80) = 164,999,920美金。
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Example1.3
• 一個位於天蛇座的遙遠星雲正以速度6.12 ×107 m/s遠離地球，此星雲
所釋放之波長為500 nm的綠色光譜線往紅色光譜端移動多遠？
答
因為λ＝c/ν且λ0＝c/ν0，從式(1.8)我們得到
  0
1 v / c
1 v / c
此處v = -0.204 c且λ0＝500 nm，所以
  500 nm
1  0.204
 615 nm
1  0.204
位於光譜線的橘色部分，位移為λ -λ0＝115 nm。此星雲距離地球據信有二
十九億光年之遙。
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1.4 長度收縮 Length Contraction
• 原長度(proper length)
– 長度的量測和時間一樣都會被相對運動所影響，一個
在運動中的物體相對於觀察者的長度為 L，總是比靜
止時的長度L0來得短，這個長度收縮僅發生在相對運
動的方向上，一個物體在靜止座標系中的長度為 L0 稱
為原長度(proper length)。
• 長度縮短(length contraction)
L  L0 1  v 2 / c 2
以宇宙射線muon為例，速度約為 2.994×108 m/s (0.998 c)
平均生命期為 2.2 μs
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vt0  (2.994  108 m/s)(2.2  106 s)  0.66 km
t
t0
1 v / c
2
2

2.2  106 s
1  0.998
2
 34.8 μs
vt  (2.994  108 m/s)(34.8  106 s)  10.4 km
h  h0 1  v2 / c 2
 (10.4 km) 1  0.9982  0.66 km
不同觀察者所見到之muon衰變現象。
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相對長度的收縮，只有在運動方向上的長度才會被影響。
水平軸採對數尺度。
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1.5 孿生難題
• 孿生狀態牽涉到兩個同樣的
時鐘，一個是在地球上而另
一個則以速度 v 在太空中旅
行，而最後被帶回地球。以
雙胞胎 Dick和Jane來比較，
當Dick 20 歲時以 0.8c 的速
度開始太空旅行到 20 光年遠
的星球，對在地球的Jane而
言， Dick的生命步調將比她
慢。
一個從太空旅行回來的太空人在回到地球時，
將比他(或她)的孿生兄弟(或姐妹)來得年輕，
此現象在接近光速時才會明顯
(此處 v = 0.8c) 。
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•矛盾之處---時間擴張公式可應用於Jane對Dick的觀察，卻不適用
於Dick對Jane的觀察，因為Jane在Dick太空旅行中始終維持著同一
個慣性座標系， Dick從一個慣性座標系改變至另一個座標系。
•對Dick而言，時間以正常的速率前進，但是他的旅程長度
L  L0 1  (v / c)2  (20 ly) 1  0.64  12 ly
去時花了L / v = 15 年而回程也花了 15 年，總共是 30 年。當然，
Dick的生命並沒有延長，僅因為Jane等了 50 年，他在旅行中只花
了 30 年。
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Example1.4
• Dick和Jane在Dick離開之後每年都發送出一個無
線電信號， Dick會收到多少個信號？ Jane會收
到多少個信號？
答
在離開的旅程中，Dick和Jane以 0.8c 的速度分開，利用
Doppler Effect，可發現他們兩人每隔
T1  t0
1 v/ c
1  0.8
 (1 y)
3y
1 v/ c
1  0.8
會收到一個信號；在回程時， Dick和Jane會以相同的速率接
近對方，故會更加頻繁地以每隔
T2  t0
1 v/ c
1  0.8 1
 (1 y)
 y
1 v/ c
1  0.8 3
收到信號。
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對Dick來說，去程需要15年，而他從Jane那兒收到 15/3 = 5 個信號，
在回程的15年中，Dick收到 15/(1/3) = 45 個從Jane發出的信號，故總共收
到50個信號，因此Dick推論Jane在他離開地球的時候老了50歲，所以Dick
和Jane都同意在這段太空旅行結束時，Jane已經 70 歲了。
對Jane而言， Dick需要L0/v = 25年抵達該星球，因為該星球距離地球
20光年遠，在地球上的Jane每三年接收到Dick每年發出的信號，在Dick抵
達該星後持續了20年，因此Jane每三年收到一次信號共 25y +20y = 45y，
故收到 45/3 = 15 個信號(這15個信號是在Dick抵達該星球之前所發射出來
的)。然後對於Jane而言剩下的5年太空旅行中，從Dick發出的訊號以每
1/3年發射出來，故可收到 5/(1/3) = 15個信號，因此Jane總共收到30個信
號，且推論出在Dick離開的這段時間內僅老了30歲和Dick自己的狀況相
同，Dick在他回到地球之後比他的孿生姐妹Jane年輕了20歲。
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Jane看Dick
去程
在經過5/3 y = (1 y)1/(10.82)1/2 Dick發出一個訊號，此時Dick距離地球4/3 ly =
(5/3 y)0.8 c， 因此Jane收到第一訊號是三年後，從此每隔三年收到一個來自Dick
的訊號。當Dick發出15th時到目的地(20 ly/0.8 c = 25 y = 5/3 y  15)，此訊號到達地
球為Dick出發的45年(= 25y + 20 y)。
回程
第16個訊號發出：5/3 y16，到達地球：(5/3 y16) + (20 ly4/3 ly)/c = (45+1/3) y，
17th發出： 5/3 y17 ，抵達：(5/3 y17) + (20 ly8/3 ly)/c = (45+2/3) y。…
Dick回程亦花了25年(以Dick自覺為15年)，共發射了15個訊號，此15個訊號地球上
接收間隔為1/3年，前後持續5年。因此Jane共花了50年收到了30個訊號。
5/3 y
5/3 y  2
5/3 y  3
4/3 ly
4/3 ly  2
4/3 ly  3
5/3 y  15 = 25 y
4/3 ly  15 = 20 ly
……….
16th
1st
5/3 y  17
15th
5/3 y  16
4/3 ly  14
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Dick看Jane
去程
在經過5/3 y = (1 y)1/(10.82)1/2 Jane發射第1個訊號，此時Jane距Dick 4/3 ly = (5/3
y)0.8 c，因此Dick收到1st訊號是三年後，從此每三年收到一個Jane的訊號。Dick在
出發後15年到達目的地時(距離12 ly = 20 (10.82)1/2，時間12 ly/0.8c = 15 y)收到
Jane的5th訊號 。
回程
當回程時，此時Dick看6th訊號距目的地(1 ly)(10.82)1/2 = 0.6 ly，因此Dick往回程
前進1/3年(0.6 ly – t = (4/5)t)時收到第6個訊號中，此後每1/3收到1個訊號直到地球
共收到15/(1/3) = 45個訊號。
1st
5/3 y
5/3 y  2
5/3 y  3
4/3 ly
4/3 ly  2
4/3 ly  3
……….
5/3 y × 9
4/3 ly  9 = 12 ly
6th
5/3 y  11
5th
5/3 y  10
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1.6 電與磁
相對論為電與磁的橋樑。
• 電子電荷為相對性不變。
– 在某一個參考座標系中的電荷大小為Q，則在另一
個參考座標系亦為Q。
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兩個平行電流產生磁吸引力的方式
(a)包含相同數目的正電荷及負電荷之理想平行導體；
(b)當導體攜帶電流時，從實驗室來看會發現移動電荷之間的距離縮短；
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(c)從I中的一個負電荷來看，II中的負電荷是靜止的，而正電荷是移動的，後者的間
隔縮短導致了II中的淨正電荷並吸引I中的負電荷；
(d)從I中的一個正電荷來看，II中的正電荷靜止負電荷在移動，後者間隔縮短導致II
產生淨負電荷，並且吸引I中的正電荷。在b,c,d中的間隔縮短係誇張地放大以作為
示意圖。
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1.7 相對論動量 Relativistic Momentum
• 在古典力學中，線性動量 p = mv 為一個很有用
的數值，因為它在一個不被外力影響的粒子系
統中守恆，當一個隔離系統內發生碰撞或是爆
炸時，在該事件發生前，系統內所有粒子的向
量總和會等於發生後的向量總和。
在相對論中， p = mv ?
考慮兩相同粒子AB以相同速率相互接近，作彈性碰撞。
碰撞前，兩者總動量為零。
碰撞後，由動量守恆，兩者以相同速率分開。
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B
B
S
選擇座標系統
A
A
S'
選擇某一座標系S，使得在碰撞前， A以速度VA被拋向+y方向；
選擇另一座標系S’，與S相對速度為v，在碰撞前， B以速度
V’B被拋向-y’方向。所以有
VA = V’B
因此由S觀察A和由S’觀察B的性質完全一樣。
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在S參考座標系中，A在碰撞前後所
行走的時間為
Y/2
T0  2
VA
Y
而B在S’中亦有相同結果 T0 
V 'B
在S中觀察B的Y軸速度為VB = Y/T
其中時間T為在S量到的時間，與S’所量得時間T0關係為
T
T0
1 v / c
2
2
(1.13)
所以在S中觀察兩者動量為
p  m V  m Y
A A
A
 A
T0


2
2
Y
1

v
/
c
p  m V  m
B B
B
 B
T0
Modern Physics
這意味著在此座標系中，如果mA= mB，動量不會守
恆。
然而，如果
mA
mB 
1 v / c
2
2
(1.14)
則動量將會守恆。
因此若要求動量守恆，對一以速度v移動的物體，有
m( v) 
m
1 v / c
2
2
(1.15)
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如果線性動量被定義為
p
相對論動量
mv
1 v / c
2
2
(1.16)
可看到在特殊相對論中動量守恆成立。當 v << c時，式(1.16)
變成如同古典力學中的動量 p = mv。式(1.16)常被寫成
相對論動量 p  mv
其中

(1.17)
1
1 v / c
2
2
(1.18)
在此定義中，m為相對於觀察者而言靜止物體的原質量(proper
mass)；或靜止質量(rest mass)。
Modern Physics
相對於觀察者以速度v移動的物體動量，物體的質量m為其相對於觀察者而言靜止時
的質量，物體速度不能接近c，因為其動量將變成無限大，而這是不可能的；相對論
動量mv總是正確的，而古典動量mv只有在速度遠小於c時才有效。
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相對論中的第二運動定律
• 在相對論中牛頓第二運動定律為
相對論第二運動定律 F 
dp d
 (mv)
dt dt
(1.19)
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Example1.5
• 當外力 F 施加於質量 m 且速度為 v 之粒子上，
算出粒子之加速度；其中 F 方向和 v 方向互相
平行。
答
從式(1.19)中，因為a = dv/dt
dp d
d 
v
F
 ( γmv)  m
dt dt
dt  1  v 2 / c 2




2
2

 dv
1
v
/
c


m

 1  v 2 / c 2 (1  v 2 / c 2 ) 3 / 2  dt


ma
3



ma
2
2 3/ 2
(1  v / c )
我們注意到F等於3ma非 ma ，將m以 m取代不見得總是能得
到在相對論中正確的結果。
Modern Physics
粒子的加速度為
F
a  (1  v 2 / c 2 ) 3 / 2
m
甚至在外力為一常數時，當粒子速度增加，其加速度會減少。
當v → c時，a → 0，故粒子決不會達到光速，此結論亦為我
們所預期的。
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1.8 質量與能量 Mass and Energy
•
動能
s
KE   Fds  mc2  mc2  (  1)mc2
0
(1.20)
即一個物體的動能為 mc2和mc2的差，式(1.20)可寫成
•
總能量
E  γmc2  mc2  KE
•
靜止能量
E0  mc2
(1.21)
(1.22)
如果一個物體在移動，總能量為
•
總能量
E  γmc 
2
mc2
1 v / c
2
2
(1.23)
Modern Physics
•
在低速時的動能
KE  γmc  mc 
2
2
mc2
1 v / c
2
2
 mc2
(1.20)
1 v2
 1
2
2
2
2
c
1 v / c
v  c
 1 v2  2
1
2
2

KE   1 
mc

mc

mv
2 
2
c
2


v  c
1
Modern Physics
圖1.16 在古典力學和相對論中，運動物體的動能和其靜止能量mc2之間的比較，在低速時，
兩個公式會得到相同的結果，但是當速度接近光速時，兩條曲線便開始發散，根據相對論力
學來看，一物體若要以光速行進時，必需要有無限大的動能，在古典力學中僅需要其相當於
靜止能量一半的動能即可達到光達。
Modern Physics
Example1.6
• 一個靜止的物體爆炸分為二個碎片，每個碎片
質量為1.0 kg且相對於原物體以速度0.6 c飛離，
計算物體原來的質量。
答
原來物體的靜止能量必須等於碎片的總能量，因此
E0  mc2  γm1c 2  γm2 c 2 
m1c 2
1  v1 / c
2
2

m2 c 2
1  v2 2 / c 2
且
E0
(2)(1.0 kg)
m 2 
 2.5 kg
2
c
1  (0.60)
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Example1.7
• 太陽能以垂直於地球表面每平方公尺1.4 kW的
速率到達地球(圖1.15)。由於這個能量損失，
太陽每秒減少多少質量？地球軌道的平均半徑
為1.5×1011 m。
圖1.15
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答
半徑 r 的球其表面積為A = 4πr2，太陽輻射的總功率為半徑等於地球軌道
半徑的球體所吸收的功率
P
P
P
A  (4 r 2 )  (1.4  103 W / m2 )(4 )(1.5  1011 m)2  4.0  1026 W
A
A
因此太陽每秒損失E0 = 4.0×1026 J的能量，這意指太陽的靜止質量每秒減少
了
E0
4.0  1026 J
m 2 
 4.4  109 kg
8
2
c
(3.0  10 m / s)
因為太陽的質量為 2.0 ×1030 kg，並不會有立即消耗殆盡的危險。在太陽
和大部分的恆星中，主要的能量產生過程為其內部的氫轉換為氦，每個氦
原子核的形成都伴隨著 4.0 ×10-11 J的能量釋放，所以太陽每秒會產生 1037
個氦原子核。
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1.9 能量與動量 Energy and Momentum
兩者在相對論中如何對稱。
總能量
E
能量與動量
• 無質量粒子
mc2
1 c
2
2
E 2  (mc2 )2  p 2 c2
E  pc
• 電子伏特(electronvolt)
電子質量
(1.23)
(1.24)
(1.25)
1 eV  1.602 10-19 J
31
8 2
9.109

10

(
2
.
998

10
)
2
me  9.109 1031 kg 
eV
/
c
1.602 1019
 0.511MeV/ c 2
Modern Physics
Example1.8
• 一個電子(m = 0.511 MeV/c2)和一個光子(m = 0)
的動量都為 2.000 MeV/c 時，求出每個粒子的
總能量。
答
(a)從式(1.24)中，電子的總能量為
E  m2c4  p2c2  (0.511 MeV/ c2 )2 c4  (2.000 MeV/ c)2 c2
 (0.511 MeV)2  (2.000 MeV)2  2.064 MeV
(b)從式(1.25)中，光子的總能量為
E  pc   2.000 MeV/c  c  2.000 MeV
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1.10 廣義相對論 General Relativity
•等效原理(principle of equivalence)
在密閉實驗室中的觀察者不能分辦由重力場和實驗室的加
速度所分別產生的效應。
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重力為時空的扭曲
廣義相對論繪出由於物質的存在，重力為時空的扭曲分布。附近的物體會因
為這個扭曲而被吸引，就像一顆彈珠滾向壓陷的橡膠底部。
以惠勒(J. A. Wheeler)的話來說，時空告訴質量如何移動，質量則告訴了時空
如何扭曲。
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通過太陽附近的星光被其強大的重力場偏折，
在日蝕的期間，太陽光環被月亮遮蔽而顯得
模糊時，此偏折將可被測量。
重力透鏡：如類星體之來源所放射出之光波和無線電
波會被星雲之類的巨大質量物體所偏折，以致於它似乎
是由兩個或更多的相同來源而來，目前已證實許多這樣
的重力透鏡現象。
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廣義相對論的其他發現
解釋水星軌道近日點的進動
Vulcan 假說
水星軌道近日點的進動。
重力波(gravitational waves)
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勞倫茲轉換(The Lorentz Transformation)
•
•
•
•
•
伽利略轉換(Galilean Transformation)
勞倫茲轉(Lorentz Transformation)
反勞倫茲轉(Inverse Lorentz Transformation)
速度疊加
同時性(Simultaneity)
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圖1.22 座標系S‘在+x方向以相對於座標系S之速度υ移動，必須使用勞倫茲轉換以
轉換其中一個座標系的量測成為另一個座標系的等效值。
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伽利略轉換(Galilean Transformation)
x  x   t
(1.26)
y  y
(1.27)
z  z
(1.28)
t  t
(1.29)
x 
dx
 x  
dt 
 y 
dy
 y
dt 
z 
dz
 z
dt 
(1.30)
(1.31)
(1.32)
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勞倫茲轉換(Lorentz Transformation)
x  k ( x   t )
(1.33)
x  k ( x   t )
(1.34)
y  y
(1.35)
z  z
(1.36)
1 k2 
t   kt  
x
 k 
(1.37)
x  ct
(1.38)
x   ct 
(1.39)
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1
k
1 c
2
x  t
x 
t 
2
1 c
2
2
(1.40)
(1.41)
y  y
(1.42)
z  z
(1.43)
t
x
c2
1  c
2
2
(1.44)
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圖1.23 (a) 慣性座標系為相對於參考座標系S之另一船而言，在+x方向以速度移動的船，當時，
緊接著S且，此時在兩船釋放出閃光，在船S上的觀察者量測到從他的船上擴散出去且速度為c
之光波；在船上的觀察者也量測到從她的船上擴散出去且速度亦為c的光波，甚至相對於S而言
向右移動； (b) 如果相反地在時將一個石頭丟落水中，觀察者會發現漣漪波形相對於他們的船
而言，將以不同的速度在S附近擴散出去。在 (a) 和 (b) 之間的差別為，漣漪移動所在的水本身
為參考座標系，而光線移動所在的空間並不是參考座標系。
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Example1.9
• 利用勞倫茲轉換推導出相對論的長度收縮。
• 答
– 讓我們考慮位於移動座標系 S  之 x  軸方向的柱子，在這個座標系中
的觀察者決定了其尾端座標為 x1 和 x2，故此棒的特徵長度為
L0  x2  x1
– 為了求得 L  x2  x1 ，在時間t時，可量測靜止座標系S中柱子的長度，
我們使用式 (1.41) 得到
x1 
– 因此
x1   t
1   2 c2
x2 
x2   t
1   2 c2
L  x2  x1  ( x2  x1) 1  2 c2  L0 1  2 c2
– 這和式 (1.9) 的結果是相同的。
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反勞倫茲轉換(Inverse Lorentz Transformation)
x
t
相對論速度轉換
x   t 
1   2 c2
(1.45)
y  y
(1.46)
z  z
(1.47)
t 
 x
c2
1 c
2
2
Vx  
Vx 
V 
1  2x
c
(1.48)
(1.49)
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Vy 1   2 c 2
Vy 
V 
1  2x
c
Vz 1   2 c2
Vz 
V 
1  2x
c
(1.50)
(1.51)
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Example1.10
• 利用反勞倫茲轉換推導出時間擴張的公式。
• 答
– 讓我們考慮一個在移動座標系 S’中位於 x’的時鐘，在S’中的觀察者發
現時間為t1’，而另一個觀察者會發現為t1，而從式 (1.48) 中得到
t1 
t1 
 x
c2
1   2 c2
– 在時間間隔 t0（對他而言）之後，在移動系統中的觀察者根據她的時
鐘會發現目前時間為 ，亦即
t0  t2  t1
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– 然而在S中的觀察者量測到同樣時間間隔的結尾為
t2 
t2 
 x
c2
1   2 c2
– 故對她而言時間間隔t為
t  t2  t1 
t2  t1
1   2 c2

t0
1   2 c2
– 這就是我們先前利用一個光脈衝時鐘所得到的結果。
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Example1.11
• 太空船阿爾法號以相對於地球速度0.90c前進，如果太空船貝
他號在相同方向上以相對於阿爾法號速度0.50c前進時，貝他
號相對於地球的速度為何？
• 答
– 根據伽利略轉換，貝他相對於地球所需的速度為0.90c + 0.50c =
1.4c
，我們知道這是不可能的，然而根據式 (1.49)，Vx’=
0.50c且 v = 0.90c，所需的速度僅為
Vx  
0.50c  0.90c
Vx 

 0.97c
Vx
(0.90c)(0.50c)
1
1 2
c2
c
– 比c還小，為了以相對速度0.50c通過一個速度0.90c的太空船，必須要比
太空船快約10%才能得到。
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附錄二：時空(Spacetime)
• 時空間隔(Spacetime Intervals)
s2  x2  y 2  z 2  (ct )2
– 事件之間的時空間隔
– 類時間間隔
(1.52)
(s)2  (ct )2  (x)2
(s)2  0
– 類空間間隔
(s)2  0
– 類光間隔
s  0
(1.53)
(1.54)
(1.55)
(1.56)
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圖1.24 轉動一個二維座標系統並不會改變 ，其中s為向量s的長度，這
可以推廣至四維時空座標系統x, y, z, ict中。
個結果也
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圖1.25 事件一的過去光錐(cone)和未來光錐。
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圖1.26 時空中粒子的世界線。
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6, 9, 14, 22, 30, 39, 44, 49
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