Transcript Решение показательных уравнений. 11 класс

Решение показательных
уравнений
11 класс
Цель:обобщить и закрепить теоретические
знания методов, умения и навыки решения
показательных уравнений на основе свойств
показательной функции
•
•
•
•
Психологическая установка учащимся:
Продолжаем отрабатывать навыки
решения показательных уравнений.
Продолжаем учиться решать. Формируем
математическую интуицию, которая
поможет ориентироваться в способах
решения уравнений.
На уроке можно ошибаться, сомневаться,
консультироваться.
Дать самому себе установку: “Понять и
быть тем первым, который увидит ход
решения”
Уравнение-это равенство,
содержащее переменную
Корнем уравнения называется
значение переменной, при
котором уравнение обращается в
верное числовое равенство
Уравнения называют равносильными,
если они имеют одни и те же корни
или не имеют корней вообще
Функция, заданная формулой y = ax (где
а>0; а≠1), называется показательной
функцией с основанием а.
• Показательными уравнениями называются
уравнения, в которых неизвестные содержатся в
показателе степени, а основаниями степеней
являются положительные числа не равные 1.
• (аx = b).
• В основе решения показательных уравнений
лежит следующая теорема:
• Показательное уравнение af(x) = ag(x)
равносильно уравнению f(x) = g(x).
Свойства показательной
функции
• 1. Область определения – R
(множество действительных. чисел).
• 2. область значений – R +
(множество всех положительных
действительных чисел)
• 3. При а > 1 функция возрастает на
всей числовой прямой, при 0 < a <
1 функция убывает на всей
числовой прямой.
•
4. При любых действительных
значениях X и Y справедливы
равенства.
x
a
a
   x
b
b
a 
x y
x
a
1
a  x
a
a0  1
x
xy
a a a
x
x
y
x y
a
x y
a
y
a
x
x x
ab   a b
Ответы
•
•
•
•
1. нет
2.нет
3.нет
4.да
5.да
6.да
7.нет
Методы решения
показательных уравнений
• 1.Приведение к одному и тому же
основанию.
2. Приведение к квадратным
уравнениям.
• 3. Вынесение общего множителя за
скобки.
• 4. Деление обеих частей на одно и
то же выражение.
• 5. Графический способ.
Приведение к одному и тому же
основанию.
Показательное уравнение af(x) = ag(x)
равносильно уравнению f(x) = g(x).
Решить уравнение
2
x 2 2 x
2
3 x 6
Заданное уравнение равносильно уравнению
2
x  2 x  3x  6;
x  5 x  6  0;
2
Ответ: 2; 3.
Использование свойств степени,
вынесение общего множителя за
скобки
Решить уравнение
6х+1 + 35 . 6х-1 = 71
РЕШЕНИЕ:
решение
35
6  (6  )  71;
6
5
x
6 11  71;
6
71 6
x
6 
;
71
Ответ: 1.
x
5
6  (6  5 )  71;
6
5
x
6  71  11 ;
6
6 x  6 , т .е. 6 x  6 1
x
Решить устно:
• 3х-1=27
•
•
17х=1
3х-2.3х-2=63
x
1
   49
7
2х=32
10
x 1
x
 0,1
x
 3 5
    1
5  3
Применение способа замены и
приведения к квадратному
уравнению
______________________________
• 9x - 4 · 3x – 45 = 0
т.к. 9x = (32)x = 32x = (3x)2,
• выполним замену 3x = t, где t > 0
t2 – 4t – 45 = 0
• t1; = 9 , t2 = -5 (не удовл. пост. условию)
• 3x = 9
• х=2
Деление обеих частей на
одно и то же выражение.
• Решить уравнение
3
x 3
5
2 x  6
• Это уравнение не является простейшим
показательным уравнением, так как не
одинаковы степени в левой и правой
части.
Решение
3х-3=5х-6
3х-3=52(х-3)
3х-3=25х-3
х 3
3

1
х 3
25
3
 
 25 
получим х-3 = 0; х =3
Ответ : 3
х 3
3
 
 25 
0
Практическое применение показательной
функции и показательных уравнений
•
•
•
•
•
•
Показательная функция находит важнейшие применения при изучении природных и
общественных явлений. Известно, например, что при распадении радиоактивного вещества его
масса m уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое число раз.
Если обозначить через t0 (период полураспада) промежуток времени, необходимый
для того, чтобы от первоначальной массы вещества m0 осталось половина, то оставшаяся через
t лет масса выразится так:
m

m
0
 1 


2


t
t
0
т.е. радиоактивный распад совершается по закону, выражаемому показательной функцией.
Степенные зависимости более высокого порядка также встречаются на практике. Например, по
закону Стефана – Больцмана излучательная способность абсолютно чёрного тела
пропорциональна четвёртой степени его температуры. Масса шара является кубической
функцией его радиуса.
В естествознании и технике встречаются процессы, рост или затухание которых происходит
быстрее, чем у любой степенной функции. С примерами быстро растущих функций человек
столкнулся очень давно. В древней легенде об изобретателе шахмат говорится, что он
потребовал за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, а за каждую следующую
– вдвое больше, чем за предыдущую.
Необходимость изучения функций, у которых производная пропорциональна самой функции,
возникла с обнаружением различных законов естествознания, таких, как законы размножения,
законы радиоактивного излучения, законы движения в тормозящей среде
Пример 1. Обозначим через m(t) массу колонии бактерий в момент
времени t. Если нет ограничений в количестве питательных веществ и
объёме сосуда и притом отсутствуют живые существа, поедающие эти
бактерии, то за равные промежутки времени масса колоний будет
возрастать в одно и то же число раз. Если за единицу измерения массы
принять массу одной бактерии, то m(t) будет равно численности этой
колонии.
Аналогично обстоят дела для любой совокупности живых существ
при условии, что нет ограни пище и пространстве и нет истребляющих
их врагов. Поэтому процессы, в которых величина увеличивается за
равные промежутки времени в одно и то же число раз, называют
процессами органического роста.
• Пример 2. В процессе
радиоактивного распада
вещества его масса m(t)
за равные промежутки
времени меняется в
одно и то же число раз.
Поэтому и здесь
происходит изменение
по закону, но при этом
масса уменьшается. В
таких случаях говорят
процессах
органического убывания