Transcript A = A(x)
Slide 1
[ основные типы уравнений второго порядка в математической физике - уравнение теплопроводности - уравнения в
частных производные - уравнения переноса количества движения в жидкости – волновое уравнение – примеры ]
Slide 2
Под термином “Уравнения математической физики” обычно понимают
линейные дифференциальные уравнения второго порядка с частными
производными, к которым приводит моделирование определенных
физических задач.
a11
2
u
x
2
2 a12
2
u
xy
a22
2
u
y
где a11(x,y), a12(x,y), a22(x,y)
2
F ( x , y ,u ,
u
x
,
u
y
) 0
некоторые функции двух переменных.
Три основных типа уравнений:
2
Гиперболический тип: a12
a11 a22 0
Эллиптический тип:
2
a12 a11 a22 0
2
Параболический тип: a12
a11 a22 0
Slide 3
Дифференциальными уравнениями в частных производных описываются
математические модели переноса в сплошных средах.
Одномерный перенос тепла
qx kA
T
x
o
A(x)
T(x)
x
dx
Скорость, с которой тепло поступает в контрольный объем слева, через
поперечное сечение A выделенного объема, может быть записана на
основании закона Фурье.
k - коэффициент теплопроводности материала.
T
x
A = A(x) - площадь поперечного сечения тела.
- скорость изменения температуры (градиент) вдоль оси тела.
Slide 4
Скорость с которой тепло покидает правое сечение выделенного объема
qx dx qx
qx
x
dx kA
T
x
T
kA
dx
x
x
Уравнение баланса энергии для выделенного контрольного объема за время
dt содержит следующие члены: входящее тепло за время dt + тепло,
образованное за счет внутренних источников за время dt = выходящее
тепло за время dt + изменение внутренней энергии объема за время dt
T
qx dt QAdt qx dx dt cp
dt
t
где Q - скорость генерации тепла, приходящая на единицу объема (тепловой
источник), cp - теплоемкость, - плотность и
температуры контрольного объема за время dt.
Получаем нестационарное уравнение
теплопроводности
cp
T
t
T
t
dt dT
-
изменение
T
kA
QA
x
x
Slide 5
Специальные случаи определяются физическими условиями процесса передачи
тепла и описываются следующими типами дифференциальных уравнений в
частных производных:
T
kA
t
x
x
T
kA
Уравнение Пуассона:
QA
x
x
Уравнение Фурье: c p
Уравнение Лапласа:
Уравнение Лапласа:
T
( отсутствует источник тепла – Q = 0 )
0 (стационарный процесс)
T
kA
0 (стационарный процесс без
x
x
тепловыделения - Q = 0 )
2
T
x
2
0
(стационарный процесс в теле постоянного
сечения и с постоянным
коэффициентом теплопроводности)
Slide 6
Одномерное движение жидкости
Для каждого поперечного сечения A в конфузоре расход жидкости будет
одинаков UA = const, где - плотность, U - скорость течения, A - площадь
поперечного сечения.
A(x)
Это условие
можно записать
U(x)
UA 0
x
как уравнение
o
x
сохранения
массы:
Если считать жидкость несжимаемой, а поле скоростей имеющим потенциал
, то уравнение движения примет вид:
U ( x ) grad (x)
i
x
A
0
x
x
Slide 7
Вывод подобных уравнений для трехмерного физического пространства удобно делать
с использование интегральных соотношений из теории поля.
Например, уравнение нестационарной теплопроводности в трехмерном случае
изотропного тела (из однородного материала с постоянным коэффициентом
теплопроводности) может быть записано в следующем виде:
T
T(a)
T
t
c p T
2
k T
c p x 2
k t
T(x,0)
T ( x ,)
T(b)
x
o
a
b
2
T
x
2
2
T
y
2
2
T
z
2
Q
k
Решение уравнений в частных производных требует
знания начальных условий - распределение
температуры в начальный момент времени и граничных
условий - распределение температуры и/или ее
градиентов на границе. Для линейных уравнений общее
решение может быть найдено как суперпозиция
решений стационарного уравнения и решения для
нестационарных условий.
Slide 8
u
o
Уравнение колебаний струны
L
x
Дана тонкая однородная нить, работающая только на растяжение – струна.
В положении равновесия струна представляет собой отрезок 0
x L
Концы струны закреплены в точках x = 0 и x = L .
Струна выводится из положения равновесия (принимает форму дуги с
уравнением f(x) ) и отпускается.
Возникают свободные колебания струны около положения равновесия.
Slide 9
u
T
o
M
P
M1
T
P1
x x+dx
L
x
На элемент струны MM1 (в положении равновесия - отрезок PP1 массой Dx )
действуют силы натяжения T и T + dT , направленные по касательной с
углами a и a Da относительно оси x .
К этим двум силам добавляется сила инерции
2 u
I Dx
2
t
Равнодействующая всех трех сил будет равна нулю.
M
Slide 10
u
T
P
o
Проекция на ось x : (T
Проекция на ось u :
M
M1
T
P1
x x+dx
L
DT ) cos( a Da ) T cos a 0
x
T0 T cos a
2 u
(T DT ) sin( a Da ) T sin a Dx
2
t
u
T sin a T0 ( t )tg a T0 ( t )
x M
u
Dx
x
M
T0 ( t )
Dx
0
M
2 u
t 2
M
Slide 11
u
T
o
M
P
M1
P1
x x+dx
T
L
x
Переходя к пределу при Dx 0 (устремляя к нулю длину элемента MM1),
2
2 u
2 u
T0 ( t ) 2 u
u
получим T0 ( t ) 2 2
2
2
x M
t M
t
x
T (t )
2
При малых по абсолютной величине колебаниях 0
const a
2
2
u
2 u
a
Уравнение колебаний струны:
2
2
t
x
Slide 12
u
f(x)
L
o
(x)
x
Начальные условия:
2
u
t
2
a
2
2
u
x
1) u ( x ,0 ) f ( x )
2)
u ( x ,0 )
2
t
( x )
Граничные условия:
1) u ( 0 ,t ) 0
2) u ( L,t ) 0
Slide 13
2
u
u
t
a
2
2
u
2
x
2
u ( x ,t ) F ( x at ) G ( x at )
L
o
u
F
t
2
u
t
2
2
u
t
2
'
( x at )
t
2
a (F
2
''
a (F
G
''
G )
''
''
'
x
( x at )
t
u
x
G ) a
2
F
2
u
x
2
'
aF
G
'
'
aG
'
2
u
x
2
F
''
G
''
Slide 14
u
Начальные условия: u ( x ,0 ) f ( x )
u ( x ,t )
(x)
f(x)
o
x at
1
(
v
)
dv
t 2 a x at
x at
2
1
( v ) dv
2
2
a
t
x at
1
x 2 a
2
x
2
x at
x at
( f ( x at ) f ( x at ))
L
1
2a
1
2a
( v ) dv
x at
2
t
( x )
1
2a
x at
( v ) dv
x at
x
( a ( x at ) ( a ) ( x at ))
1
1
1
1
( x at )
a
a 0
( x at )
t
2
2
2
2
( v ) dv
x at
1
2a
1
u ( x ,0 )
( ( x at ) ( x at ))
1
1
( x at )
( x at )
0
x 2 a
2a
2a
2a
0 0
Slide 15
@
Найти движение струны, первоначально находящейся
в нейтральном положении и имеющей скорость в
начальный момент времени
2
u
t
2
a
u ( x ,t )
2
1
2a
x
L
)
2
Решение
x at
t
sin(
L = 9, a =2
2
u
x
u
sin
x at
u ( x ,t )
v
L
dv
L
x
at
x
at
cos(
) cos(
)
2 a
L
L
L
L
9
x
2 t
x
2 t
cos(
)
cos(
4
9
9
9
9
)
[ основные типы уравнений второго порядка в математической физике - уравнение теплопроводности - уравнения в
частных производные - уравнения переноса количества движения в жидкости – волновое уравнение – примеры ]
Slide 2
Под термином “Уравнения математической физики” обычно понимают
линейные дифференциальные уравнения второго порядка с частными
производными, к которым приводит моделирование определенных
физических задач.
a11
2
u
x
2
2 a12
2
u
xy
a22
2
u
y
где a11(x,y), a12(x,y), a22(x,y)
2
F ( x , y ,u ,
u
x
,
u
y
) 0
некоторые функции двух переменных.
Три основных типа уравнений:
2
Гиперболический тип: a12
a11 a22 0
Эллиптический тип:
2
a12 a11 a22 0
2
Параболический тип: a12
a11 a22 0
Slide 3
Дифференциальными уравнениями в частных производных описываются
математические модели переноса в сплошных средах.
Одномерный перенос тепла
qx kA
T
x
o
A(x)
T(x)
x
dx
Скорость, с которой тепло поступает в контрольный объем слева, через
поперечное сечение A выделенного объема, может быть записана на
основании закона Фурье.
k - коэффициент теплопроводности материала.
T
x
A = A(x) - площадь поперечного сечения тела.
- скорость изменения температуры (градиент) вдоль оси тела.
Slide 4
Скорость с которой тепло покидает правое сечение выделенного объема
qx dx qx
qx
x
dx kA
T
x
T
kA
dx
x
x
Уравнение баланса энергии для выделенного контрольного объема за время
dt содержит следующие члены: входящее тепло за время dt + тепло,
образованное за счет внутренних источников за время dt = выходящее
тепло за время dt + изменение внутренней энергии объема за время dt
T
qx dt QAdt qx dx dt cp
dt
t
где Q - скорость генерации тепла, приходящая на единицу объема (тепловой
источник), cp - теплоемкость, - плотность и
температуры контрольного объема за время dt.
Получаем нестационарное уравнение
теплопроводности
cp
T
t
T
t
dt dT
-
изменение
T
kA
QA
x
x
Slide 5
Специальные случаи определяются физическими условиями процесса передачи
тепла и описываются следующими типами дифференциальных уравнений в
частных производных:
T
kA
t
x
x
T
kA
Уравнение Пуассона:
QA
x
x
Уравнение Фурье: c p
Уравнение Лапласа:
Уравнение Лапласа:
T
( отсутствует источник тепла – Q = 0 )
0 (стационарный процесс)
T
kA
0 (стационарный процесс без
x
x
тепловыделения - Q = 0 )
2
T
x
2
0
(стационарный процесс в теле постоянного
сечения и с постоянным
коэффициентом теплопроводности)
Slide 6
Одномерное движение жидкости
Для каждого поперечного сечения A в конфузоре расход жидкости будет
одинаков UA = const, где - плотность, U - скорость течения, A - площадь
поперечного сечения.
A(x)
Это условие
можно записать
U(x)
UA 0
x
как уравнение
o
x
сохранения
массы:
Если считать жидкость несжимаемой, а поле скоростей имеющим потенциал
, то уравнение движения примет вид:
U ( x ) grad (x)
i
x
A
0
x
x
Slide 7
Вывод подобных уравнений для трехмерного физического пространства удобно делать
с использование интегральных соотношений из теории поля.
Например, уравнение нестационарной теплопроводности в трехмерном случае
изотропного тела (из однородного материала с постоянным коэффициентом
теплопроводности) может быть записано в следующем виде:
T
T(a)
T
t
c p T
2
k T
c p x 2
k t
T(x,0)
T ( x ,)
T(b)
x
o
a
b
2
T
x
2
2
T
y
2
2
T
z
2
Q
k
Решение уравнений в частных производных требует
знания начальных условий - распределение
температуры в начальный момент времени и граничных
условий - распределение температуры и/или ее
градиентов на границе. Для линейных уравнений общее
решение может быть найдено как суперпозиция
решений стационарного уравнения и решения для
нестационарных условий.
Slide 8
u
o
Уравнение колебаний струны
L
x
Дана тонкая однородная нить, работающая только на растяжение – струна.
В положении равновесия струна представляет собой отрезок 0
x L
Концы струны закреплены в точках x = 0 и x = L .
Струна выводится из положения равновесия (принимает форму дуги с
уравнением f(x) ) и отпускается.
Возникают свободные колебания струны около положения равновесия.
Slide 9
u
T
o
M
P
M1
T
P1
x x+dx
L
x
На элемент струны MM1 (в положении равновесия - отрезок PP1 массой Dx )
действуют силы натяжения T и T + dT , направленные по касательной с
углами a и a Da относительно оси x .
К этим двум силам добавляется сила инерции
2 u
I Dx
2
t
Равнодействующая всех трех сил будет равна нулю.
M
Slide 10
u
T
P
o
Проекция на ось x : (T
Проекция на ось u :
M
M1
T
P1
x x+dx
L
DT ) cos( a Da ) T cos a 0
x
T0 T cos a
2 u
(T DT ) sin( a Da ) T sin a Dx
2
t
u
T sin a T0 ( t )tg a T0 ( t )
x M
u
Dx
x
M
T0 ( t )
Dx
0
M
2 u
t 2
M
Slide 11
u
T
o
M
P
M1
P1
x x+dx
T
L
x
Переходя к пределу при Dx 0 (устремляя к нулю длину элемента MM1),
2
2 u
2 u
T0 ( t ) 2 u
u
получим T0 ( t ) 2 2
2
2
x M
t M
t
x
T (t )
2
При малых по абсолютной величине колебаниях 0
const a
2
2
u
2 u
a
Уравнение колебаний струны:
2
2
t
x
Slide 12
u
f(x)
L
o
(x)
x
Начальные условия:
2
u
t
2
a
2
2
u
x
1) u ( x ,0 ) f ( x )
2)
u ( x ,0 )
2
t
( x )
Граничные условия:
1) u ( 0 ,t ) 0
2) u ( L,t ) 0
Slide 13
2
u
u
t
a
2
2
u
2
x
2
u ( x ,t ) F ( x at ) G ( x at )
L
o
u
F
t
2
u
t
2
2
u
t
2
'
( x at )
t
2
a (F
2
''
a (F
G
''
G )
''
''
'
x
( x at )
t
u
x
G ) a
2
F
2
u
x
2
'
aF
G
'
'
aG
'
2
u
x
2
F
''
G
''
Slide 14
u
Начальные условия: u ( x ,0 ) f ( x )
u ( x ,t )
(x)
f(x)
o
x at
1
(
v
)
dv
t 2 a x at
x at
2
1
( v ) dv
2
2
a
t
x at
1
x 2 a
2
x
2
x at
x at
( f ( x at ) f ( x at ))
L
1
2a
1
2a
( v ) dv
x at
2
t
( x )
1
2a
x at
( v ) dv
x at
x
( a ( x at ) ( a ) ( x at ))
1
1
1
1
( x at )
a
a 0
( x at )
t
2
2
2
2
( v ) dv
x at
1
2a
1
u ( x ,0 )
( ( x at ) ( x at ))
1
1
( x at )
( x at )
0
x 2 a
2a
2a
2a
0 0
Slide 15
@
Найти движение струны, первоначально находящейся
в нейтральном положении и имеющей скорость в
начальный момент времени
2
u
t
2
a
u ( x ,t )
2
1
2a
x
L
)
2
Решение
x at
t
sin(
L = 9, a =2
2
u
x
u
sin
x at
u ( x ,t )
v
L
dv
L
x
at
x
at
cos(
) cos(
)
2 a
L
L
L
L
9
x
2 t
x
2 t
cos(
)
cos(
4
9
9
9
9
)