Transcript 第14章静电场中的导体和电介质

大学物理
第十四章
静电场中的导体和电介质
章节简介
导体
内场为零
表面场垂直
感应
静电场作用
特点
极化
电介质
内场非零
极化面电荷
场强和电荷分布
描述
场强、电位移
极化强度、电荷密度
静电屏蔽和电容器
应用
增加电容
本章研究导体和电介质在静电场中所发生的物理现象，同时
计算相应物理量，并述及重要应用。（课时数：共2讲，4学时）
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第四讲 导体与电容
主要内容：静电场中的导体，电容
重点要求：有导体时的场强、电势和电容计算
难点理解：平衡后的电荷和电场分布
数学方法：高斯定理，场强叠加，电势积分
典型示例：场强计算，电容器：平行板，柱形，球形
课外练习：思考题14.3， 14.8，习题14.1，14.4，14.5，14.7
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一、静电场中的导体
1.静电平衡条件
静电平衡 ：
导体内部和表面都没有电
荷作宏观定向运动的状态。


-+
-  0 -+
内
-+
静电平衡条件

E内  0
电荷不动


F  qE  0

0
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2. 静电平衡导体上的电势分布
静电平衡时,
导体是个等势体,
Ua  Ub  
b
a
U a  Ub
导体表面是等势面。
 
E  dl  0
(等势)
a
或


E内  U  0
U  const

b
内  0
导体
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3. 静电平衡导体上的电荷分布
S
①体内各处净电荷为零 。
体内取高斯面 S ,


 E  ds 
s
q

内  0
则
i
0
0
  qi  0
②电荷在导体表面的分布
σ与表面曲率有关,
对于弧立带电导体, 表面曲率
大的地方电荷面密度σ大。
σ大
σ更小
σ小
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4. 导体表面附近的电场
①

E表面  表面

静电平衡,电荷不沿表面运动,
则EⅡ  E sin   0,
② E 与σ
  0
的关系

E
ΔS
取扁柱形为高斯面
1
 e     d s  s  (s)
s
o
   0

内  0


E
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5. 静电屏蔽
+
+
+
+
+
+
+
++
导体空腔内部电场
不受腔外电荷影响。
屏蔽外电场：如仪
器外面加金属罩。
带电体
+
+
+
+
+
导体壳
接地导体空腔外部电场
不受腔内电荷影响。
导体壳
+
电荷
-
B
屏蔽带电体(接地) ：如
高压设备加外罩接地。
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6. 有导体存在时静电场的计算
例1：两块平行放置的面积为S 的金属板，各带电量Q1、 Q2
,
板距与板的线度相比很小。求：
① 静电平衡时,
金属板电荷的分布和周
围电场的分布。
②若把第二块金属
板接地，以上结果如何？
Q2
Q1
1
2
EI
3
EII
S
4
S
EIII
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解： 电荷守恒
( 1   2 ) s  Q1
( 3   4 ) s  Q2
i
i 
高斯定理
2 o
静电平衡条件
 p1  0,  p2  0
1 2 3 4
P1 :



0
2 o 2 o 2 o 2 o
1 2 3 4  0
P2 :  1   2   3   4  0
Q1
Q2
2
1
EI •
P1
4
3
EII
•
P2
EIII
解得：
Q1  Q2
1  4 
2s
Q1  Q2
 2   3 
2s
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电场分布：
Q1
1
I  
( 1   2   3   4 )
2 o
1
1
Q1  Q2
 
o
2 o s
EI •
P1
Q2
2
4
3
EII
•
P2
EIII
 II
1
 2 Q1  Q2

( 1   2   3   4 ) 

2 o
o
2 o s
 III
1
 1 Q1  Q2

( 1   2   3   4 ) 

2 o
o
2 o
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如果第二块坂接地，则
Q1
4 = 0
电荷守恒
 1   2  Q1 / s
1
Q2
2
EI
高斯定理
2 3  0
静电平衡条件
p  0
1 2 3  0
4
3
EII •
P
EIII
解得：
1  4  0
Q1
 2   3 
s
 I  0,  II
Q1

,  III  0
oS
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例2：半径为R1 的金属球 A , 带总电量q 。外面有一同心的
金属球壳，内外半径分别为R2 、R3 ,
总电量为Q , 求：
① 此系统的电荷与电场分
布 ；球与壳之间的电
Q
势差。
q
②
如果用导线将球与壳
连接一下，结果如何？
B
R1
R2
A
R3
③
若未连接时使内球接
地，内球电荷如何 ？
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解3： ①电荷分布如图
用高斯定理可求出电场分布









q+Q
Q内
4 o r 2
+q
–q
( r  R1 )
0
q
R1
B
A
( R1  r  R2 )
4 o r
0
Qq
4 o r 2
2
R2
R3
( R2  r  R3 )
( r  R3 )
球与壳之间电势差
1
1
uA  uB     dl  
dr 
(  )
2
A
R1 4  r
4 o R1 R2
o
B
R2
q
q
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②当两导体用线相连，成为一个
等势体, 电荷只分布在外表面。
q+Q
u AB  0
0
( r  R3 )
  Qq
电场  
( r  R3 )
2

 4 o r
③内球接地
u中 心＝0
B
q'+Q
q'
1 q q q  Q
( 

)0
4 o R1 R2
R3
Q
q 
R3 (1 R1  1 R2 )  1
R1 R2
A
R3
B
R1
A
R2
R3
q'
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二、电
容
1. 孤立导体的电容
导体带电 q , 场强 E , 电势
U
+
+
q + +
+
+
+
+
导体带电 2q , 场强 2E , 电势
2U
q  CU
Cq U
C 与 q、U 无关, 与导体的几
何形状和大小有关,
体性质的物理量。
是反映孤立导
单位： 1F  1C / V ,
1F  10 F ,
6
12
1 pF  10 F
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例4：求半径为 R 的孤立导体球的电容 。
解：设导体球带电 q
, 其电势 ( 以无穷远为参
考点 ) 为
U 

1
4 o
q
R
C  q U  4o R
R
q
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2. 电容器的电容
-
用空腔B 将非孤立导体 A
屏蔽, 消除其他导体及带电体
( C、D ) 对A 的影响。
A 带电 qA , B 内表面带
电 -qA , 腔内场强E , A B间
电势差 UAB = UA – UB 。
-
+
A
+ -
qA +
+
-
-
+
B
D
-
-qA
q
C
U AB
UAB ∝ qA
C 与 qA 、UA
- +
+
C
及外界情况无关, 仅与A、B 大小、形
状、位置有关。导体组 A、B 称为电容器, A、B 称为电容器
的极板, C 称为电容器的电容。
B
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3. 电容的计算
基本步骤 ：
①设电容器两极板带电± q ；
②计算板间的电场E
③计算板间电势差
④计算电容
；

U     dl
q
C 
U
AB
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①
平行板电容器
S
+q
+
+
+
+
+
d
E
① 设电容器两极板
–q
带电± q ；
② 板间电场：
③ 板间电势差：
④ 电容：
d 很小,
大 ,
–
S 很
U AB
–
A
–
–
–
B

q
E

o oS
qd
 Ed 
oS
os
q
C 

U AB
d
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球形电容器
②
+q
R1
两极板间电场
q
E
4o r 2
o
( R1  r  R2 )
U 12  
R1
电
- q
讨论：①当R2 → 时，
板间电势差
R2
R2
 q 1 1
(  )
E  dl 
4o R1
容
4  o R1 R2
C
R2  R1
R2
C  4 o R1 ,
孤立导体球电容。
②R2 –R1= d , R2 ≈R1 = R
C  4 o R d   o S d
2
平行板电容器电容。
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③
圆柱形电容器
R2
R1
设两极板带电  q
板间电场
q
E
2 o rl
板间电势差
l
( l >> R2 – R1 )
( R1  r  R2 )
U 12  
R2
R1
圆柱形电容器的电容
R2
ln
E  dl 
2 o l
R1
q
2 o l
q
C

U 12 ln( R2 R1 )
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4. 电容器的串、并联
①串联
C1
+
C2
C3
–
q
U  U 1  U 2  U n   U i  
i
i Ci
等效电容
U
Cq U
1
1

C
i Ci
②并联
+
U
U 1  U 2  U n  U
C1
–
C2
C3
q   qi   C i U
i
i
C   Ci
i
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例5：C1，C2 两电容分别标明：200 pF 500 V ；300 pF
900 V 。①串联后等效电容C＝？ ②把串联后的C1 ，C2 加
上1000 V 电压，是否被击穿？
 1
1 

C  

 C1 C 2 
解: 等效电容
V1
C2

V2
C1
串联后
V1 = 600V ,
 120 pF ,
V1 + V2 = 1000 V
V2 = 400V
V1 >
C1 的额定电压,
C1 被击穿。
V2
C2 的额定电压,
C2 不会击穿。
<
1
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第五讲 电介质的极化
主要内容：电介质的极化，电极化强度，电位移，电场能量
重点要求：有介质时的场强、电势和电容计算
难点理解：极化后的电荷和电场分布
数学方法：高斯定理，场强叠加
典型示例：电场计算，有介质的电容器
课外练习：思考题14.10， 14.12，习题14.8，14.11，14.13
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一、电介质的极化
在外电场作用下电介质表面出现电荷的现象 。
介质的总电场
 

E  E   E0
无极分子
分类：
有极分子
–
电介质
+
–

E
+
–q –
+ +q

Eo
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1.
无极分子

E
无外电场时,电介质分子
–
正负电荷中心重合。
如 H2、N2、O2、CO2、
CH4 等

p
–
–
+
+
+
电介质
无极分子的位移极化：
在外电场作用下,
子,
分子电偶极矩
正负电荷中心错开,
( 感生电矩 )
形成一电偶极
沿外场方向。
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2. 有极分子
+q +

p
无外电场时, 电介质分子
正负电荷中心不重合, 相当于
一个电偶极子。
f –
f
+
– –q

E
如 H2O、 SO2、 NH3、H2S
等。

E
有极分子的取向极化：
–
在外电场作用下, 分子电
–
+
–
+
矩方向转向外场方向。
分子电偶极矩


P  ql
+
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二、极化强度矢量
定义

 Σ P分
P
V
单位 ( SI ) ：
库仑/米2
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1.
nˆ 
极化面电荷σ′
P
虚、实线分别表示正、负电荷
区域。
ΔS

取面元S , 沿P作斜柱体,
柱体内极化电荷为
q  nqlS cos  PS cos
nˆ

   q S  P cos  P  nˆ
 
  Pn

ΔS
 ++  
P
+
l
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2.
极化体电荷

dS
取一闭合面S , 则因极化而
穿出此面的极化电荷为

s


P  ds
nˆ 
P
S
S
由电荷守恒定律, 它应等于 S 面内剩余的极化电荷 q′
的负值

s


P  ds   q 
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2. 有介质时的高斯定理



1 
q 0 q  
s E  dS   0  
内


s
 
P  ds   q 


 
  0 E  P  dS   q0
或


 D  dS 
s
s
q
0
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三、电位移矢量

 
D  0E  P
  
D，E，P三矢量之间的关系：
对于各向同性电介质，实验表明


P  xe 0 E

 



D   0 E  P   0 E  x e  0 E   0 1  x e E
令 r  1  x e



D   0 r E  E
 ––– 介电常数
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例1： 一个带正电的金属球 , 半径为 R , 电量为 q , 浸
在一个大油箱中, 油的相对介电常数为εr , 求球外的电
场分布及贴近金属球表面上的极化电荷总量。
解：
① 取过p 点的球面为高斯面
 
2
D

d
S

D

4

r
q

s
q

q
D
D
rˆ
2
2
4r
4r

E

D
 0 r

q
4 0  r r
2
rˆ
εr
+
+
P
+
R

E
q
+ +

D
+
+
+
  
②介质中的电场E  E0  E
 

自由电荷q
E  E0  E 
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极化电荷q 所
产生的
所
产生的
q
q
E0 
，E  
2
2
4 0 r
4 0 r
E
q
4 0 r
2

q
4 0 r
 1

 q   q
   1

 r

2
εr
– –
– + + + –
–
– + R
+
q'
q
–
–
+
+ + –
– –
–

E
P

D
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S1
例2： 平行板电容器内充满相
对介电常数为εr 的电介质,
板上电荷面密度为  o 。

D
求： ① 介质中 E = ?
S2S
0
 
εr

0
② C介/ C0 = ?
解：①
 
 D  dS  D  S 2   0 S 2
s
D 0
②
U  Ed 
ED
E0d
r

U0
r
0
E0


 0 r  0 r
r
Q0
Q0
C介    r
  r C0
U
U0
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例3：平行板电容器两极板面积为S ，极板间有两层电介质
, 介电常数分别为1 ，2 ，厚为d1 , d2 。电容器极板上
–
自由电荷面密度  。
+
+
d1
–
+
S 
S
–
+


D1
D2
 S
D1
–
+
 
 D  dS   D1 S  D2 S  0
S
2 –
S
+
② 电容器的电容 。
解： ① 由高斯定理
1
–
 
求： ① 各介质内的 D，E；
s
s
 D1  D2  
+


 D  dS  D1 S   S 
d2
–
D1  D2
E1  
1
E2  
2
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–
② 两极板间的电势差
1
+
–
d2
–
d1
+
d1
+

S
1  d2  2
+
q  S
C

U
U
S 
S
–
S


D1
D2
 S
D1
–
+
 d1
d2 

  

2 
 1
S
+
U  E1 d 1  E 2 d 2
2 –
–
+
①
E1  
D1  D2  
1
E2  
2
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四、静电场的能量
以电容器为例

设某时刻，极板上所带电量
为±q , 板间电压 u = q / C
，移动 dq 电量, 外力 ( 电源
) 克服电场力所作的功
q
dA  u  dq  dq
C
2
Q q
1Q
A 
dq 
0 C
2 C
外力 的功全部转
化为电容器贮存的电能：
+q
dq
C
S
–q
整个充电过程
q：0  Q
1
1
2
 CU  QU
2
2
1 Q2 1
1
2
W 
 CU  QU
2 C
2
2
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平行板电容器
C   0 r S / d ,
U  Ed
1
1
1
2
2
2



E
V
W  CU   0 r E Sd
0 r
2
2
2
能量密度
we  W V
1
1  
2
 w e   0 r E  D  E
2
2
电场能量
W   w e dV 
v

V
1 
D  EdV
2
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例4：圆柱形电容器长为 l , 带电量 Q , 其间充满相对介
电常数εr 的均匀电介质, 求两极板间的总能量。
Q
1

2 0 r l r
2
1
Q
1
2
w e   0 r E  2
 2
2
8  0 r l r
2
解：R1 < r < R2 内 E 
Q2
dr

W  w e dV  R
1 4   l
v
r
0 r
R2
Q2

ln
4 0  r l R1

R2
2 0 r l
1
2
W  CQ  C 
2
ln R2 / R1
R2
R1
r
S
r
dV  2rl  dr
l