Transcript Öğretim Programlarında kesir kavramı

Matematiksel kavramlara giriş
KESİR KAVRAMI
Doç. Dr. İlhan KARATAŞ
Kesirlerin kullanımı



İlköğretim matematik programının en zengin
ve karmaşık konularından birisi kesirlerdir.
Günlük hayatta oldukça sık kullanılmaktadır.
Saati ifade ederken “Üçe çeyrek var”,
alışverişte “bir tam, bir de yarım kiloluk
yoğurt” gibi
Doğal sayılar “kaç tane?” sorusuna cevap
olurken kesirler “ne kadar?” sorusuna cevap
arar.
Doğal sayılardan farkı



Kesirli çoklukların gösteriminde iki sayının
birbirine göre ilişkisi ön plandadır. ¾ litre, ¾
kilometre gibi 3 ve 4’ün birbirine göre
durumunu anlatır
Her bir kesre karşılık sonsuz sayıda kesir
denktir, tam sayılarda bu durum tektir.
Kesirlerde büyüklük açısından farklılıklar
gösterebilir. Bir yarım ekmekle diğer yarım
ekmek eşit olmayabilir.
Kesir kavramının matematiksel
anlamları



Parça-bütün
Bölüm
Oran
Parça-Bütün anlamı


Kesirlerin en sık ve kavramsal olarak
anlaşılması en kolay anlaşılan anlamıdır
Parça-bütün anlamının kullanıldığı kesir
sorularında genellikle “bütünün ne kadarı?”
sorusuyla kullanılır.
Parça-Bütün anlamı



Sınıftaki öğrencilerin ne kadarı gözlük
takıyor?
Bahçenin ne kadarına çilek ekilmiştir?
Kitabın ne kadarını okudun?
Bölüm (Quotient)



İkinci anlam, çoğunlukla bir nesne çokluğunu
eşit şekilde dağıtılmasında karşımıza çıkar
Örneğin 20 tane ekmeği 4 kişiye
yaylaştırılması ve bir kişiye düşen ekmek
miktarıdır.
Benzer şekilde 3 ekmeği 5 kişiye
paylaştırıldığında bir kişiye düşen ekmek
miktarı olarak kullanılabilir.
Bölüm (Quotient)

“……eşit paylaştırılırsa herkese ne kadar (pasta,
elma, ekmek, vb) düşer?” sorusuyla anlam kazanır
Oran




Aynı birimde iki çokluğun birbiriyle karşılaştırılması
olarak karşımıza çıkar.
Bu anlam, bütünü oluşturan parçaların birbirine
oranına odaklanmıştır.
Oranı bulunan parçalar birlikte bütünü oluşturmak
zorunda değillerdir.
Örneğin, sınıftaki kızların erkeklere oranında bütün
oluştururken, sınıftaki Trabzonspor’u ve
Galatasaray’ı tutanların oranı bütünü
oluşturmayabilir.
Oran


Bu anlam, kesirlerin denklikleri için faydalı bir
kavramsal temel oluşturabilir. Örneğin, 12 kişilik bir
sınıfta solak öğrencilerin olmayanlara oranı 3/9 ise,
24 kişilik bir sınıfta bu oran 6/18 olabilir.
Denk kesirleri, kesirlerin bu anlamını içeren
örneklerle anlatmak daha iyi olabilir.
Kesirlerin Gösterimleri




Bölge
Çizgi
Küme
Alan
Bölge



Bu gösterimde daire, dikdörtgen, ve üçgen
gibi basit geometrik şekiller kullanılır
Bu şekiller parça-bütün anlamına karşılık
gelecek şekilde eşit parçalara bölünür ve
seçilen kısımlar ayrılarak kesir gösterilir.
Önemli olan parçaların aynı alana ve şekle
sahip olmasıdır
Bölge

Bu gösterim yolu, öğrenciler için diğerlerine
göre en basit ve anlaşılması kolay modeldir.
Öğrenciler kesirlerle ilk defa tanışırken bu
modelin ağırlıkla kullanılması faydalı olabilir
Çizgi (sayı doğrusu)


Her kesir bir sayıdır ve sayı doğrusu
üzerinde bir noktaya karşılık gelir.
Bu model kesir sayıyı soyut bir gerçek sayı
olarak nitelendirir. Bu nedenle diğer
modellere göre anlaşılması zordur ve
sonraya bırakılabilir
Çizgi (sayı doğrusu)

Burada bir çizgi üzerinde önce tam birimin
başı ve sonu belirlendikten sonra kesrin
içerdiği parça sayısına eşit olarak bölünüp
istenen sayıdaki kısmı işaretlenerek ayırt
edilir.
Küme

Bir grup nesne bütünü temsil eden bir kümeyi
oluşturmakta, bu kümenin bazı elemanları
diğerlerinden ayrı özellikleri nedeniyle kesir
gösteriminde kullanılmaktadır.
Küme




Bu gösterim bölme kavramıyla
ilişkilendirilerek verilebilir,
Örneğin; 12 oyuncak 4 çocuğa eşit bir
şekilde paylaştırılabilir mi? (evet, hayır)
5 çocuğa paylaştırılabilir mi? (evet, hayır)
Bu şekilde, küme modeli, kesirlerle
ilişkilendirilerek verilebilir.
Küme
Alan

Bu model, bölge modeline benzemekle
birlikte farkı bütünün parçalarının hepsinin
aynı şekli taşımak zorunda olmamasıdır.
Ancak parçalarının alanlarının aynı olması
gerekmektedir.
Öğretim Programlarında kesir
kavramı





Yarım, çeyrek, bütün ve birbirleriyle olan
ilişkileri
Bir bütünü eş parçalara ayırıp parçayı ifade
etme
Kesirleri karşılaştırma
Bir çokluğun (20 tane) bir bölümünü elde
etme (2/5’ini)
Bileşik kesri gösterme ve doğal sayılarla
karşılaştırma
1.Sınıf kazanımlar



Uygun şekil veya nesneleri iki eş parçaya
böler ve yarımı belirtir.
Yarım ve bütün arasındaki ilişkiyi açıklar.
Bütün, yarım ve çeyrek arasındaki ilişkiyi
açıklar.
2.Sınıf kazanımlar

Bütün, yarım ve çeyrek arasındaki ilişkiyi
açıklar.
3.Sınıf kazanımlar




Bir bütünü eş parçalara ayırarak eş parçalardan her
birinin kesrin birimi olduğunu belirtir.
Payı paydasından küçük ve paydası en çok iki
basamaklı doğal sayı olan kesirler elde eder.
Paydası en çok iki basamaklı doğal sayı olan en çok
üç kesri karşılaştırır ve sıralar.
Bir çokluğun belirtilen kesrin birimi kadarını belirler.
4.Sınıf kazanımlar






Payı ve paydası en çok iki basamaklı doğal sayı olan kesirleri,
kesrin birimlerinden elde ederek isimlendirir.
Payı ve paydası en çok iki basamaklı olan kesirleri sayı
doğrusunda gösterir
Kesirleri karşılaştırır.
Eşit paydalı en çok dört kesri, büyükten küçüğe veya küçükten
büyüğe doğru sıralar.
Payları eşit, paydaları birbirinden farklı en çok dört kesri,
büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralar.
Bir çokluğun belirtilen bir basit kesir kadarını belirler.
5.Sınıf kazanımlar






Bileşik kesri tam sayılı kesre, tam sayılı kesri bileşik kesre
dönüştürür.
Bir doğal sayı ile bir kesri karşılaştırır.
Eşit paydalı veya paydası diğerinin katı olan en çok beş kesri,
büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralar.
Bir kesre denk olan kesirler oluşturur.
Bir basit kesir kadarı verilen çokluğun, tamamını belirler.
Kesir ile bölme işlemi arasındaki ilişkiyi açıklar.
Uygun şekil veya nesneleri iki eş
parçaya böler ve yarımı belirtir.

Kâğıdı ikiye katlama ve kesme, portakalı, elmayı,
somun ekmeğini vb. iki eş parçaya bölme ve yarım
elde etme etkinlikleri yaptırılır.
Yarım ve bütün arasındaki ilişkiyi
açıklar.

Yarım ve bütün arasındaki ilişki modellerle
buldurulur.
2.Sınıf
Bütün, yarım ve çeyrek arasındaki ilişkiyi
açıklar.

Bütün” modelleri, eş parçalara katlanabilen,
kesilebilen, ayrılabilen somut nesnelerden seçtirilir.
3.sınıf
Bir bütünü eş parçalara ayırarak eş
parçalardan her birinin kesrin birimi olduğunu
belirtir.

Kâğıt, kesir blokları, örüntü blokları ve sayı doğrusu gibi çeşitli
modeller kullandırılarak bütün belirtilen sayıda eş parçaya
böldürülür. Ortaya çıkan eş parçalardan her birinin kesrin
birimini belirttiği vurgulanır.
Payı paydasından küçük ve paydası en çok
iki basamaklı doğal sayı olan kesirler elde
eder.

Öğrenciler, kâğıt, kesir blokları, örüntü blokları ve
sayı doğrusu gibi çeşitli modeller kullanarak payı
paydasından küçük kesirler elde ederler.
Paydası en çok iki basamaklı doğal sayı olan
en çok üç kesri karşılaştırır ve sıralar.

Somut kesir modelleri kullandırılır veya kâğıt katlama etkinliği
yaptırılır. Bütünün eş parça sayısı arttıkça ortaya çıkan eş
parçaların küçüldüğüne dikkat çekilir.
Bir çokluğun belirtilen kesrin
birimi kadarını belirler.
 “24 fındığın ’i kaç fındıktır?’’ Problem, model
kullandırılarak çözdürülür. Daha sonra işlem
yaptırılır.
Payı ve paydası en çok iki basamaklı doğal sayı olan
kesirleri, kesrin birimlerinden elde ederek
isimlendirir.

Somut nesneler, şekiller, sayı doğrusu modelleri ile kesirlerin birimleri
elde ettirilir. Bu kesir birimlerinden basit, bileşik ve tam sayılı kesirler
elde ettirilir.
Payı ve paydası en çok iki basamaklı olan
kesirleri sayı doğrusunda gösterir.

Kesir modelleri ile sayı doğrusu ilişkilendirilir.
Kesirleri karşılaştırır.

Somut nesne, şekil veya sayı doğrusu ile iki basit kesir, kesirlerin
birimlerinden yararlanılarak karşılaştırılır. Karşılaştırma sonucu sembol
ile ifade ettirilir
Eşit paydalı en çok dört kesri, büyükten
küçüğe veya küçükten büyüğe doğru sıralar.
Payları eşit, paydaları birbirinden farklı en çok dört
kesri, büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe
doğru sıralar.

Payları eşit kesirlerin sıralanmasında kesrin biriminin esas
alınmasına dikkat edilir. Kesirlerin aynı sayıda fakat farklı kesir
birimlerine sahip olması nedeniyle en büyük kesir birimine
sahip olan kesrin en büyük olduğu belirtilir.
Bir çokluğun belirtilen bir basit
kesir kadarını belirler.

Bir sınıftaki 40 öğrencinin ’ünün kaç öğrenci
olduğunu bulmak için aşağıdaki model
kullandırılabilir:
5.Sınıf
Bileşik kesri tam sayılı kesre, tam sayılı
kesri bileşik kesre dönüştürür.
5
 2
tam sayılı kesri, bileşik kesre dönüştürürken
6
aşağıdaki
modelden yararlanılır.
Bir doğal sayı ile bir kesri
karşılaştırır.

Her doğal sayının kesir olarak ifade
edilebileceği vurgulanır.
Eşit paydalı veya paydası diğerinin katı olan en çok
beş kesri, büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe
doğru sıralar.
Bir kesre denk olan kesirler
oluşturur.

Kağıt katlama etkinlikleri, kesrin ilgili bölümü
boyanır ve kağıt katlanır
Bir basit kesir kadarı verilen
çokluğun, tamamını belirler.
Kesir ile bölme işlemi arasındaki
ilişkiyi açıklar.


Eşit paylaşma etkinlikleri, bölme kavramına vurgu yapılabilir
12 bilyeyi 6 çocuk eşit paylaştığında her birine ne kadar bilye
düşer?