Transcript PP-U08-MATES1º ÁLGEBRA

UNIDAD 08
AULA 360
Lenguaje algebraico
1. Lenguaje y expresión algebraica
2. Monomios y polinomios
3. Operaciones con expresiones algebraicas
4. Igualdades, identidades y ecuaciones
5. Soluciones de una ecuación
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LENGUAJE ALGEBRAICO
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1. Lenguaje y expresión algebraica
• El lenguaje algebraico permite escribir, lo que
queremos expresar verbalmente, con letras y
números unidos con operaciones matemáticas.
• Una expresión algebraica es un conjunto de
letras y números unidos por operaciones
matemáticas. Cada sumando de una expresión
algebraica recibe el nombre de término y tiene una
parte numérica (coeficiente) y una parte formada por
letras (parte literal)
términos
coeficiente
5x2 – 7x + 4
parte literal
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1. Lenguaje y expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el
número que resulta de sustituir las letras por números
y realizar las operaciones indicadas.
El valor numérico de 6x3 + 5x2 – 9x + 3, para x = 2, es
53:
6 · (2)3 + 5 · (2)2 – 9 · (2) + 3 = 48 + 20 – 18 + 3 = 53
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2. Monomios y polinomios
Monomio: expresión algebraica con un solo
término.
5x3y2
El grado de un monomio es la suma de los
exponentes de la parte literal. En este caso 5.
Dos monomios son semejantes si tienen la misma
parte literal. Así, 3x es semejante a –2x.
Binomio: expresión algebraica con dos términos.
7x – 3
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2. Monomios y polinomios
Polinomio: expresión algebraica con varios
términos.
5x2 – 3x + 4
El grado de un polinomio es el del término de mayor
grado.
5x2 – 3x + 4
coeficiente
término independiente
Grado del polinomio 2
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3. Operaciones con expresiones
algebraicas. Adición y sustracción
Para sumar o restar monomios deben ser
semejantes. Se suman o restan los coeficientes y
se deja la misma parte literal.
7x3
+ 5x
12x3
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10 xy2
– 3 xy2
7 xy2
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3. Operaciones con expresiones
algebraicas. Multiplicación y división
Para multiplicar o dividir un monomio por un número
se multiplica o divide el coeficiente del monomio por el
número y se deja la misma parte literal.
5 · (4 x2y) = (5 · 4) x2y = 20 x2y
(4 x2y) : 2 = (4 : 2) x2y = 2 x2y
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3. Operaciones con expresiones
algebraicas. Multiplicación y división
Para multiplicar o dividir dos monomios se multiplican
o dividen por un lado los coeficientes y, por otro, las
partes literales teniendo en cuenta las propiedades de
multiplicación y división de potencias con la misma base.
(5x3y2) · (– 3xy3) = (5 · – 3) (x3y2 · xy3) = –15x4y5
(20x6y9) : (5x2y3) = (20 : 5) (x6y9 : x2y3) = 4x3y3
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4. Igualdades, identidades y ecuaciones
Una igualdad es una expresión con dos miembros
separados por un igual, donde el resultado del primer
miembro es igual al del segundo miembro.
(3 + 2) · (3 – 2) = 5
Las igualdades en las que aparecen letras y
números relacionados con operaciones matemáticas
se denominan igualdades algebraicas.
3a + 5a – 2a = 6a
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4. Igualdades, identidades y ecuaciones
Las igualdades tienen las siguientes propiedades:
— Si se suma o se resta a los dos miembros de
una igualdad un mismo número la igualdad sigue
siendo cierta.
(3 + 2) · (3 – 2) = 5
(3 + 2) · (3 – 2) + 2 = 5 + 2
— Si se multiplican o dividen los dos miembros de
una igualdad por un mismo número, distinto de
cero, la igualdad sigue siendo cierta.
(3 + 2) · (3 – 2) = 5
(3 + 2) · (3 – 2) · 7 = 5 · 7
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4. Igualdades, identidades y ecuaciones
Una ecuación es una igualdad algebraica que
solo es correcta para algunos valores de las
letras.
La igualdad x + 1 = 5 solo se cumple para x = 4,
luego es una ecuación.
En toda ecuación hay que distinguir los siguientes
elementos:
primer
miembro
segundo
miembro
x + 5 = 2 + 2x
incógnitas
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términos
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5. Solución de una ecuación
Encontrar la solución o soluciones de una ecuación
es hallar el valor o valores de la incógnita o de las
incógnitas que cumplen la igualdad.
La solución de la ecuación x – 5 = 3 es x = 8, pues
8–5=33=3
Las ecuaciones se pueden clasificar según tengan
solución o no y según el número de soluciones.
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6. Resolución de ecuaciones de primer
grado
Ejemplo 1:
x–5=7
Sumamos 5 a los dos miembros y operamos:
x – 5 + 5 = 7 + 5  x = 12
La solución de la ecuación es x = 12.
Ejemplo 2:
4x = 28
Dividimos entre 4 a los dos miembros y
operamos:
4x  28  x = 7
4 4
La solución de la ecuación es x = 7.
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6. Resolución de ecuaciones de primer
grado
Ejemplo 3:
6 · (x + 2) = x + 3 · (x + 6)
Quitamos los paréntesis aplicando la propiedad
distributiva: 6x + 12 = x + 3x + 18
Reducimos los términos semejantes:
6x + 12 = 4x + 18
Restamos 4x a los dos miembros:
6x – 4x + 12 = 4x – 4x + 18  2x + 12 = 18
Restamos 12 a los dos miembros:
2x + 12 – 12 = 18 – 12  2x = 6
Dividimos entre 2 los dos miembros: 2x  6  x = 3
2 2
La solución es x = 3.
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6. Resolución de ecuaciones de primer
grado
5x
x
Ejemplo 4: 2  2  4 11
Quitamos los denominadores multiplicando los dos
miembros de la ecuación por el m.c.m., en este caso, 4:


x

 5x




2
11


4 · 2
= 4 ·


4



Quitamos los paréntesis y operamos:
20x + 8 = 4x + 44  10x + 8 = x + 44
4
2
Restamos x y 8 a los dos miembros:
10x – x + 8 – 8 = x – x + 44 – 8  9x = 36
Dividimos entre 9 los dos miembros:
9x
36  x = 4
=
9
9
La solución de la ecuación es x = 4.
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