Transcript TEMA 8_1º_eso_mat - Maristas
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UNIDAD 08
Lenguaje algebraico
1. Lenguaje y expresión algebraica
2. Monomios y polinomios
3. Operaciones con expresiones algebraicas
4. Igualdades, identidades y ecuaciones
5. Soluciones de una ecuación
6. Resolución de ecuaciones de 1ª grado
7. Resolución algebraica de problemas
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LENGUAJE ALGEBRAICO
1.- Lenguaje y expresión algebraica
El lenguaje algebraico permite escribir, lo que
queremos expresar verbalmente, con letras y
números unidos con operaciones matemáticas.
“El triple del resultado de sumar ocho a un número”
3 · (x + 8)
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LENGUAJE ALGEBRAICO
1.- Lenguaje y expresión algebraica
Una expresión algebraica es un conjunto de letras
y números unidos por operaciones matemáticas.
Cada sumando de una expresión algebraica recibe el
nombre de término y tiene una parte numérica
(coeficiente) y una parte formada por letras (parte
literal)
términos
coeficiente
parte literal
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5x2 – 7x + 4
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LENGUAJE ALGEBRAICO
1.- Lenguaje y expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el
número que resulta de sustituir las letras por números
y realizar las operaciones indicadas.
El valor numérico de:
6x3 + 5x2 – 9x + 3, para x = 2, es 53
6 · (2)3 + 5 · (2)2 – 9 · (2) + 3 = 48 + 20 – 18 + 3 = 53
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LENGUAJE ALGEBRAICO
2.- Monomios y polinomios
Monomio: expresión algebraica con un solo término.
5x3y2
2ab
-3
El grado de un monomio es la suma de los
exponentes de la parte literal. El primero es 5.
Dos monomios son semejantes si tienen la misma
parte literal. Así, 3x es semejante a –2x.
Binomio: expresión algebraica con dos términos.
7x – 3
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LENGUAJE ALGEBRAICO
2.- Monomios y polinomios
Polinomio: expresión algebraica con varios términos.
5x2 – 3x + 4
El grado de un polinomio es el del término de mayor grado.
5x2 – 3x + 4
coeficiente
término independiente
Grado del polinomio 2
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LENGUAJE ALGEBRAICO
3.- Operaciones con expresiones
algebraicas. Adición y sustracción
Para sumar o restar monomios deben ser
semejantes. Se suman o restan los coeficientes y
se deja la misma parte literal.
7x3
+ 5x3
12x3
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10 xy2
– 3 xy2
7 xy2
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LENGUAJE ALGEBRAICO
3.- Operaciones con expresiones
algebraicas. Multiplicación y división
Para multiplicar o dividir un monomio por un número
se multiplica o divide el coeficiente del monomio por el
número y se deja la misma parte literal.
5 · (4 x2y) = (5 · 4) x2y = 20 x2y
(4 x2y) : 2 = (4 : 2) x2y = 2 x2y
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LENGUAJE ALGEBRAICO
3.- Operaciones con expresiones
algebraicas. Multiplicación y división
Para multiplicar o dividir dos monomios se multiplican
o dividen por un lado los coeficientes y, por otro, las
partes literales teniendo en cuenta las propiedades de
multiplicación y división de potencias con la misma base.
(5x3y2) · (– 3xy3) = (5 · (– 3)) (x3y2 · xy3) = –15x4y5
(20x6y9) : (5x2y3) = (20 : 5) (x6y9 : x2y3) = 4x4y6
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LENGUAJE ALGEBRAICO
4.- Igualdades, identidades y ecuaciones
Una igualdad es una expresión con dos miembros
separados por un igual, donde el resultado del primer
miembro es igual al del segundo miembro.
(3 + 2) · (3 – 2) = 5
Las igualdades en las que aparecen letras y
números relacionados con operaciones matemáticas
se denominan igualdades algebraicas.
3a + 5a – 2a = 6a
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LENGUAJE ALGEBRAICO
4.- Igualdades, identidades y ecuaciones
Las igualdades tienen las siguientes propiedades
— Si se suma o se resta a los dos miembros de
una igualdad un mismo número la igualdad sigue
siendo cierta.
(3 + 2) · (3 – 2) = 5
(3 + 2) · (3 – 2) + 2 = 5 + 2
— Si se multiplican o dividen los dos miembros de
una igualdad por un mismo número, distinto de
cero, la igualdad sigue siendo cierta.
(3 + 2) · (3 – 2) = 5
(3 + 2) · (3 – 2) · 7 = 5 · 7
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LENGUAJE ALGEBRAICO
4.- Igualdades, identidades y ecuaciones
Una ecuación es una igualdad algebraica que solo es
correcta para algunos valores de las letras.
La igualdad x + 1 = 5 solo se cumple para x = 4, luego
es una ecuación.
En toda ecuación tiene los siguientes elementos:
primer
miembro
segundo
miembro
x + 5 = 2 + 2x
incógnitas
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términos
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LENGUAJE ALGEBRAICO
5.- Soluciónes de una ecuación
Encontrar la solución o soluciones de una ecuación
es hallar el valor o valores de la incógnita o de las
incógnitas que cumplen la igualdad.
La solución de la ecuación:
x – 5 = 3 es x = 8, pues 8 – 5 = 3 3 = 3
Las ecuaciones se pueden clasificar:
- Ecuaciones compatibles determinadas: nº soluciones finito
- Ecuaciones compatibles indeterminadas: nº sol. infinito
- Ecuaciones incompatibles: sin solución.
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LENGUAJE ALGEBRAICO
6.- Resolución de ecuaciones de primer grado
Ejemplo 1:
x–5=7
Sumamos 5 a los dos miembros y operamos:
x – 5 + 5 = 7 + 5 x = 12
La solución de la ecuación es x = 12.
Ejemplo 2:
4x = 28
Dividimos entre 4 a los dos miembros y
operamos:
4 x 28
4
4
x=7
La solución de la ecuación es x = 7.
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LENGUAJE ALGEBRAICO
6.- Resolución de ecuaciones de primer grado
Ejemplo 3:
6 · (x + 2) = x + 3 · (x + 6)
Quitamos los paréntesis aplicando la propiedad
distributiva: 6x + 12 = x + 3x + 18
Reducimos los términos semejantes:
6x + 12 = 4x + 18
Restamos 4x a los dos miembros:
6x – 4x + 12 = 4x – 4x + 18 2x + 12 = 18
Restamos 12 a los dos miembros:
2x + 12 – 12 = 18 – 12 2x = 6
Dividimos entre 2 los dos miembros: 2 x 6 x = 3
2 2
La solución es x = 3.
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LENGUAJE ALGEBRAICO
6.- Resolución de ecuaciones de primer grado
Ejemplo 4:
5 x 2 x 11
4
2
Quitamos los denominadores multiplicando los dos
miembros de la ecuación por el m.c.m., en este caso, 4:
5x
x 11
2
4 · 2
= 4 · 4
Quitamos los paréntesis y operamos:
20x + 8 = 4x + 44 10x + 8 = x + 44
4
2
Restamos x y 8 a los dos miembros:
10x – x + 8 – 8 = x – x + 44 – 8 9x = 36
Dividimos entre 9 los dos miembros:
9x
36
=
9
9 x=4
La solución de la ecuación es x = 4.
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LENGUAJE ALGEBRAICO
7.- Resolución algebraica de problemas
1) Leer y entender el problema para ver que preguntan y
que datos conocemos
2) Planteamos el problema: buscamos igualdad que
relacione la incógnita con los datos
3) Resolvemos la ecuación planteada
4) Comprobamos que la solución cumple el enunciado del
problema
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Lenguaje algebraico
1. Lenguaje y expresión algebraica
2. Monomios y polinomios
3. Operaciones con expresiones algebraicas
4. Igualdades, identidades y ecuaciones
5. Soluciones de una ecuación
6. Resolución de ecuaciones de 1ª grado
7. Resolución algebraica de problemas
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LENGUAJE ALGEBRAICO
1.- Lenguaje y expresión algebraica
El lenguaje algebraico permite escribir, lo que
queremos expresar verbalmente, con letras y
números unidos con operaciones matemáticas.
“El triple del resultado de sumar ocho a un número”
3 · (x + 8)
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LENGUAJE ALGEBRAICO
1.- Lenguaje y expresión algebraica
Una expresión algebraica es un conjunto de letras
y números unidos por operaciones matemáticas.
Cada sumando de una expresión algebraica recibe el
nombre de término y tiene una parte numérica
(coeficiente) y una parte formada por letras (parte
literal)
términos
coeficiente
parte literal
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5x2 – 7x + 4
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LENGUAJE ALGEBRAICO
1.- Lenguaje y expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el
número que resulta de sustituir las letras por números
y realizar las operaciones indicadas.
El valor numérico de:
6x3 + 5x2 – 9x + 3, para x = 2, es 53
6 · (2)3 + 5 · (2)2 – 9 · (2) + 3 = 48 + 20 – 18 + 3 = 53
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LENGUAJE ALGEBRAICO
2.- Monomios y polinomios
Monomio: expresión algebraica con un solo término.
5x3y2
2ab
-3
El grado de un monomio es la suma de los
exponentes de la parte literal. El primero es 5.
Dos monomios son semejantes si tienen la misma
parte literal. Así, 3x es semejante a –2x.
Binomio: expresión algebraica con dos términos.
7x – 3
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LENGUAJE ALGEBRAICO
2.- Monomios y polinomios
Polinomio: expresión algebraica con varios términos.
5x2 – 3x + 4
El grado de un polinomio es el del término de mayor grado.
5x2 – 3x + 4
coeficiente
término independiente
Grado del polinomio 2
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LENGUAJE ALGEBRAICO
3.- Operaciones con expresiones
algebraicas. Adición y sustracción
Para sumar o restar monomios deben ser
semejantes. Se suman o restan los coeficientes y
se deja la misma parte literal.
7x3
+ 5x3
12x3
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10 xy2
– 3 xy2
7 xy2
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3.- Operaciones con expresiones
algebraicas. Multiplicación y división
Para multiplicar o dividir un monomio por un número
se multiplica o divide el coeficiente del monomio por el
número y se deja la misma parte literal.
5 · (4 x2y) = (5 · 4) x2y = 20 x2y
(4 x2y) : 2 = (4 : 2) x2y = 2 x2y
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3.- Operaciones con expresiones
algebraicas. Multiplicación y división
Para multiplicar o dividir dos monomios se multiplican
o dividen por un lado los coeficientes y, por otro, las
partes literales teniendo en cuenta las propiedades de
multiplicación y división de potencias con la misma base.
(5x3y2) · (– 3xy3) = (5 · (– 3)) (x3y2 · xy3) = –15x4y5
(20x6y9) : (5x2y3) = (20 : 5) (x6y9 : x2y3) = 4x4y6
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4.- Igualdades, identidades y ecuaciones
Una igualdad es una expresión con dos miembros
separados por un igual, donde el resultado del primer
miembro es igual al del segundo miembro.
(3 + 2) · (3 – 2) = 5
Las igualdades en las que aparecen letras y
números relacionados con operaciones matemáticas
se denominan igualdades algebraicas.
3a + 5a – 2a = 6a
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4.- Igualdades, identidades y ecuaciones
Las igualdades tienen las siguientes propiedades
— Si se suma o se resta a los dos miembros de
una igualdad un mismo número la igualdad sigue
siendo cierta.
(3 + 2) · (3 – 2) = 5
(3 + 2) · (3 – 2) + 2 = 5 + 2
— Si se multiplican o dividen los dos miembros de
una igualdad por un mismo número, distinto de
cero, la igualdad sigue siendo cierta.
(3 + 2) · (3 – 2) = 5
(3 + 2) · (3 – 2) · 7 = 5 · 7
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4.- Igualdades, identidades y ecuaciones
Una ecuación es una igualdad algebraica que solo es
correcta para algunos valores de las letras.
La igualdad x + 1 = 5 solo se cumple para x = 4, luego
es una ecuación.
En toda ecuación tiene los siguientes elementos:
primer
miembro
segundo
miembro
x + 5 = 2 + 2x
incógnitas
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términos
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LENGUAJE ALGEBRAICO
5.- Soluciónes de una ecuación
Encontrar la solución o soluciones de una ecuación
es hallar el valor o valores de la incógnita o de las
incógnitas que cumplen la igualdad.
La solución de la ecuación:
x – 5 = 3 es x = 8, pues 8 – 5 = 3 3 = 3
Las ecuaciones se pueden clasificar:
- Ecuaciones compatibles determinadas: nº soluciones finito
- Ecuaciones compatibles indeterminadas: nº sol. infinito
- Ecuaciones incompatibles: sin solución.
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6.- Resolución de ecuaciones de primer grado
Ejemplo 1:
x–5=7
Sumamos 5 a los dos miembros y operamos:
x – 5 + 5 = 7 + 5 x = 12
La solución de la ecuación es x = 12.
Ejemplo 2:
4x = 28
Dividimos entre 4 a los dos miembros y
operamos:
4 x 28
4
4
x=7
La solución de la ecuación es x = 7.
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LENGUAJE ALGEBRAICO
6.- Resolución de ecuaciones de primer grado
Ejemplo 3:
6 · (x + 2) = x + 3 · (x + 6)
Quitamos los paréntesis aplicando la propiedad
distributiva: 6x + 12 = x + 3x + 18
Reducimos los términos semejantes:
6x + 12 = 4x + 18
Restamos 4x a los dos miembros:
6x – 4x + 12 = 4x – 4x + 18 2x + 12 = 18
Restamos 12 a los dos miembros:
2x + 12 – 12 = 18 – 12 2x = 6
Dividimos entre 2 los dos miembros: 2 x 6 x = 3
2 2
La solución es x = 3.
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6.- Resolución de ecuaciones de primer grado
Ejemplo 4:
5 x 2 x 11
4
2
Quitamos los denominadores multiplicando los dos
miembros de la ecuación por el m.c.m., en este caso, 4:
5x
x 11
2
4 · 2
= 4 · 4
Quitamos los paréntesis y operamos:
20x + 8 = 4x + 44 10x + 8 = x + 44
4
2
Restamos x y 8 a los dos miembros:
10x – x + 8 – 8 = x – x + 44 – 8 9x = 36
Dividimos entre 9 los dos miembros:
9x
36
=
9
9 x=4
La solución de la ecuación es x = 4.
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7.- Resolución algebraica de problemas
1) Leer y entender el problema para ver que preguntan y
que datos conocemos
2) Planteamos el problema: buscamos igualdad que
relacione la incógnita con los datos
3) Resolvemos la ecuación planteada
4) Comprobamos que la solución cumple el enunciado del
problema
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