Transcript Akışkanlar Mekaniği

BÖLÜM 4
BİR BOYUTLU AKIMLARIN
TEMEL DENKLEMLERİ
Ercan Kahya
Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul
Akışkanlar Mekaniği, Salih Kırkgöz, Kare Yayınları, 2009, Istanbul
1
4.1. SÜREKLİLİK DENKLEMİ
Akım borusunun 1-1 kesitindeki kesit alanı dA1, 2-2 kesitindeki kesit alanı
dA2 olsun. Bu şekilde alınan 1221 hacmine kontrol hacmi denir.
• Kütlenin korunumu ilkesine göre:
t anında akışkanın kütlesi = t + dt anında akışkanın kütlesi
t anındaki akışkanın kütlesi:
t + dt anındaki akışkanın kütlesi:
Yukarıdaki 3 denklemden:
Sıkışabilen akışkanlar için süreklilik denklemi:
4.2. ENERJİ DENKLEMİ
t anında sistemin enerjisi:
t + dt anında sistemin enerjisi:
Yukarıdaki denklem ancak bir akım çizgisi boyunca geçerlidir.
4.3. İMPULS-MOMENTUM DENKLEMİ
Momentumun korunumu denklemi (Newton'un ikinci denklemi):
t anında sistemin momentumu:
t + dt anında sistemin momentumu:
dt zamanı zarfında sistemin momentumundaki değişim:
Akım zamanla değişmediğine göre;
Bu denklem, impuls-momentum denklemidir.
BÖLÜM 5
İDEAL AKIŞKANLARIN
BİR BOYUTLU AKIMLARI
İdeal akışkan, sürtünmesizdir → ideal akışkanın viskozitesi sıfırdır.
Önceki bölümde çıkardığımız temel denklemleri, ideal bir akışkanın sonlu
kesitli bir akım borusundaki akımı için yazmaya çalışalım:
Sonlu kesitli akım borusu (hakiki bir boru, bir kanal veya bir akarsu):
5.1. SÜREKLİLİK DENKLEMİ
İdeal akışkanda sürtünme olmadığına göre, hız, kesit içerisinde değişmez,
her noktada aynıdır.
Debi Tanımı
Şekilde 1-1 kesitinden birim
zamanda geçen akışkanın hacmi:
1- 1 ve 2-2 kesitleri, akım borusunun herhangi iki kesiti olduğuna göre, seçilen
her kesitte Hız x Kesit Alanı daima sabittir ve bu büyüklüğüne debi denir.
Yani bir kesitten birim zamanda geçen akışkan hacmidir.
Q nun birimi:
[Q] =m3/s ya da lt/s
5.2. ENERJİ DENKLEMİ
İdeal akışkanın akımda bir enerji kaybı yoktur. Buna göre, enerji denklemi:
İdeal akışkanın akımında hız,
kesit içerisinde değişmez.
Yani
Bernoulli denklemi
Bernoulli Denkleminin GrafikselOlarak Temsili
Bernoulli Denkleminde Enerji Kaybı
Denklemdeki enerji kayıp
yüksekliği, sürtünmelerle ısıya
dönüşerek sistemden çıkan
kayıp enerji yüksekliğini
göstermektedir.
Enerji ilavesi ve Çıkarılması Halinde BernoulliDenklemi
Pompalar akıma enerji veren ve türbinler de akımdan enerji alan makineleridir.
Burada pompa tarafından
akıma verilen ve türbin
tarafından akımdan alınan
hidrolik güç aşağıdaki
gibidir:
5.2.2. Bernouilli Denkleminin Pratikteki Uygulamaları
Venturi Ölçeği
Bir boru içerisindeki akımın
debisini ölçmeye yarayan
bir sistemdir.
Çalışma ilkesi Bernoulli denklemine
dayanır.
Sağdaki boruda a-a seviyesindeki basınç:
Soldaki boruda a-a seviyesindeki basınç:
Süreklilik denklemi:
► Akışkanın gerçek akışkan olması (1-1 ve 2-2 kesitleri arasında bir
enerji kaybının bulunması), bulunan denklemine bir Cd katsayısının
ithali ile göz önüne alınır:
► Cd katsayısına debi katsayısı denir.
Bu katsayı 1 e çok yakın fakat 1 den
küçük bir sayıdır.
Bir Kabın Dibindeki Delikten Akış
Kabın içindeki sıvı seviyesi sabit tutulsun ve enerji kaybı ihmal edilsin.
→ ideal akışkan → Bernoulli Denklemi geçerlidir.
V1 =0 (çünkü sıvı
seviyesi sabit tutulmaktadır)
► Toricelli bağıntısı
Sürtünme etkisi dolayısı:
Kabarma Basıncı
■ 1-2 yakın noktalar → enerji kaybı ihmal edilebilir.
Tam 2 noktasında hız sıfırdır: V2 = 0
Pitot Borusu
► 1 ve 2 noktaları arasındaki
diferansiyel manometre
denkleminden aşağıdaki
gibi elde edilir:
Sifon akımı
5.3. İMPULS-MOMENTUM DENKLEMİ
5.3.2. Impuls-Momentum Denkleminin Pratikteki Uygulamaları
Bir Boru Dirseğine Gelen Kuvvet
- Boru-dirsek sisteminin yatayda bulunsun
- Akışkan ideal akışkan → dirsek cidarında sürtünme gerilmeleri oluşmaz
Özel hal: Boru kesiti değişmiyorsa: Aı =A2 =A
Süreklilik denklemi:
Bernoulli denklemi:
Eğer a =90° olursa:
Su Jeti ve Bir Kanat Üzerine Yaptığı Etki
■ Yüksek hızlı su demetine su jeti denir (itfaiye hortumunun ağzından çıkan su)
- Yatayda eğrisel bir kanata su jetinin çarptığı zaman kanata gelen kuvvet ?
- Sistem tamamen atmosfere açık → 1221 hacminin yüzeylerine etkiyen
atmosfer basıncının bileşkesi sıfır.
- Tek kuvvet: kanatın 1221 hacmine tesir ettirdiği R reaksiyon kuvveti
1-1 ve 2-2 kesitleri için Bernoulli denklemi:
■ Eğer kanat, x yönünde bir u hızı ile ilerliyor ise, kanat üzerinde bulunan
bir gözleyiciye göre, akım zamanla değişmeyen bir akım olacaktır.
► O halde biraz önce bulunan sonuçlarda V gördüğümüz yere V-u rölatif
hızını koyarak:
Buna göre kanata gelen kuvvet şiddet ve yönü
Impuls Türbini (Pelton Türbini)
α = 180° → Rx en büyük olur.
Not: Şeklin simetrisinden, bu halde kanata gelen Ry kuvveti sıfır olmalıdır.
■ Yarım ay şeklindeki kanattan iki tane olması durumunda:
- Böyle bir kanatın her bir parçasına giren ve
çıkan debi, şeklin simetrisinden Q/2 dir.
- İki parçaya birden (tüm kanata) gelen kuvvet:
Pelton Türbini:
Kepçeye etkiyen kuvvet ile, kepçe hızı u
nun çarpımı bize birim zamanda
jetten türbine transfer edilen
enerjiyi (gücü) verecektir:
Gücü en büyük yapan kepçe hızı nedir?
► Eğer kepçe açısı 180° & türbininin çevresel hızı jet hızının yarısı kadar ise, jetin
tüm enerjisi, teorik olarak, %100 bir verim ile türbine transfer edilir.
► Pratikte kepçe açıları, 165° civarındadır; türbinin çevresel hızı jet hızının %48 i
civarında tutulursa → en fazla %90 a kadar bir verim
BÖLÜM 6
GERÇEK AKIŞKANLARIN
BİR BOYUTLU AKIMLARI
6.1. SÜREKLİLİK DENKLEMİ
1-1 kesitinde dAı alanından geçen debi u1 dAı
dir: toplam kesit alanından geçen debi ise:
■ Şimdi, 1-1 kesiti için bir V1 hızı tanımlayalım; öyle ki bu V1 hızı ile
kesit alanını çarptığımız zaman bize Q debisini versin:
V1 : Hızın kesit üzerinde alınmış ortalaması
Süreklilik Denklemi:
6.2. ENERJİ DENKLEMİ
Önce şu Akım çizgilerinin düzgün ve birbirine
paralel olması halinde toplamı bir kesit içerisinde
bir konumdan diğerine değişmez sabittir.
► Akım çizgilerinin düzgün ve birbirine
paralel olması halinde parçanın an
ivmesi sıfır olur.
Şimdi Bölüm 4 de türetilen 4.9 enerji denklemine bakalım ve bu denklemin
her iki tarafının integralini alalım (yukarıdaki prensibi de kulanırsak):
Düzeltme faktörü α boyutsuz büyüklükleri tanımlayalım:
Enerji denklemi:
α: 1 den büyük olmakla beraber, hız dağılımına bağlı olarak 1’e yakın değerler alır.
6.3. İMPULS-MOMENTUM DENKLEMİ
İdeal akışkanın akımı için bulunan impuls-momentum denklemi,
gerçek akışkanın akımı için aşağıdaki şekilde elde edilir:
6.4. LAMİNER AKIM VE TÜRBÜLANSLI AKIM
Bir boru içerisindeki akımın
hızını ölçersek:
Acaba akım ne zaman laminer, ne zaman türbülanslıdır?
Bu kriteri şu şekilde elde etmiştir:
6.4.3. Türbülansın Yarattığı Sürtünme ve Türbülans Viskozitesi
Türbülansın Yarattığı Sürtünme
■ Akışkanın laminer hareketinde:
■ Akışkanın türbülanslı hareketinde:
(1) akışkanın viskoz olması → yukarıdaki kayma gerilmeleri
(2) türbülanslı hareket → akım tabakaları arasında sürtünme
Bunun için, önce, "ortalama"
tanımına ihtiyacımız vardır.
■ Hızın ortalama değeri:
■ Herhangi bir t anındaki u değeri:
■ Radyal doğrultudaki hız bileşeni:
■ Ayrıca şu bağıntılar da geçerlidir:
Şimdi şekilde gösterilen boru içerisindeki akıma bakalım.
► (ρ v dx dz) u büyüklüğü: Birim zamanda dx . dz yüzeyinden geçen
akışkanın x-doğrultusundaki momentumudur.
Yani birim zamanda y-konumunda bulunan akışkanın momentumuna
bu kadarlık bir momentum ilave edilmiştir.
►Newton'un ikinci denklemi → momentumdaki bu değişim bir
kuvvet meydana getirir.
■ Birim yüzey alanına gelen kuvvet
(kayma gerilmesi):
Ortalama kayma gerilmesi:
Sonuç olarak, türbülanslı bir akımda oluşan sürtünme (kayma) gerilmesi:
ÖNEMLİ NOTLAR:
● Türbülanslı akımlarda, akımı çevreleyen katı cidarın yakın civarı hariç
hemen her yerde A terimi, B terimi yanında çok küçük kalmaktadır.
● Bir boru akımında, zamanın büyük bir kısmında
- cidardan boru eksenine doğru yol alan akışkan için
- eksenden cidara doğru yol alan akışkan için
- dolayısı ile u'v' çarpımı zamanın büyük bir kısmında negatif
olacağından,
ortalaması negatif olur.
- Yani
Türbülans Viskozitesi
■ Türbülansın yarattığı sürtünme gerilmesini,
akışkanın viskoz olması dolayısı ile yaratılan
sürtünme gerilmesine benzetirsek:
■ Gazların kinetik teorisine analoji yaparsak
l: Karışım uzunluğu (akışkan parçasının
kişiliğini kaybedinceye kadar aldığı yolun
cidara dik doğrultudaki bileşeni)
V: Türbülansı temsil eden hız
Türbülans Viskozitesi
Deneyler ve bazı fiziksel düşünceler, cidar yakınlarında:
= 0.4 y
■ Türbülans viskozitesi bu denklem yardımı ile hesaplanır.
■ Türbülansın yarattığı sürtünme gerilmesi (Reynolds gerilmesi) →
yukarıdaki denklemler yardımı ile hesaplanır.