Slide 1

FİZ4001 KATIHAL FİZİĞİ-I
Bölüm 3.
Örgü Titreşimleri: Termal, Akustik ve Optik Özellikler
Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE
Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

1


Slide 2

Bir Boyutlu İki Atomlu Örgü Titreşimleri
M2

U2n

U2n-1

w
A

–л/2a

0

M1

M2

M1

U2n+1

U2n+2

M2
U2n+3

•
Normal kip frekansları.
A, iki atom zıt fazda titreşir,
kütle merkezi durgundur.
B, M1 titreşir, M2 durgundur.
C, M2 titreşir, M1 durgundur.

B
C

л/2a

л/a

Katıhal Fiziği - I

k

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

2


Slide 3

Bir Boyutlu İki Atomlu Örgü Titreşimleri
Enine optik kip

Titreşim genliği çok yüksektir!

Enine akustik kip
Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

3


Slide 4

Bir Boyutlu İki Atomlu Örgü Titreşimleri

http://dept.kent.edu/projects/ksuviz/leeviz/phonon/phonon.html

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

4


Slide 5

Üç Boyutlu Tek Atomlu Bravais Örgü Titreşimleri
Normal kip çözümü

 


u n  A exp i k  r  wt





 k dalgaboyunu ve ilerleme yönünü belirler.
 A titreşim genliğini ve atomların titreşim yönünü belirler.
 A dalganın polarizasyonunu belirler:
 Boyuna → A, k ya paralel
 Enine → A, k ya dik
Hareket denklemlerinde çözümü yerine
yazarak 3x3 lük bir matris elde ederiz.
 3 farklı dispersiyon ilişkisi (kök)
 3 farklı dispersiyon eğrisi
 Tüm dallar akustik (orijinden geçiyor)

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

5


Slide 6

Üç Boyutlu Tek Atomlu Bravais Örgü Titreşimleri
 3-boyutta dispersiyon ilişkisi belirli bir k-yönü için çizilmiştir.
 Farklı bir doğrultuda çizilmesi ile yeni bir dispersiyon ilişkisi elde edilir.

Al: dispersiyon eğrisi
[100] ve [110] doğrultuları için

Katıhal Fiziği - I

Ge: dispersiyon eğrisi
[100] ve [111] doğrultuları için

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

6


Slide 7

Üç Boyutlu Tek Atomlu Bravais Örgü Titreşimleri

 k yüksek simetriye sahip bir doğrultuda ([100], [110] gibi) ise
 dalgalar saf boyuna/saf enine
dallar  2x enine & 1x boyuna
EA (TA): enine akustik, BA (LA): boyuna akustik
 k yüksek simetriye sahip bir doğrultuda değilse
 dalgalar saf boyuna/saf enine karışık karakterde
 yüksek simetri doğrultusunda iki enine dal üst üste gelir: dallar dejeneredir.
 Dispersiyon eğrisinin dejenereliği ve polarizasyonu  KRİSTAL SİMETRİSİ ne bağlı
Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

7


Slide 8

k-uzayında Simetri: 1. Brillouin Bölgesi (Üç Boyut)
w  w j k 

j: ilgilenilen dal

 

wj k G wj k

G: ters örgü vektörü

Üç boyutlu örgünün dispersiyon ilişkisi
Periyodik olma özelliği:
1.BB ne bakmamız yeterli !!!



w
Yansıma (inversiyon) simetrisi:
Tümü gerçek örgünün simetrisinden
kaynaklanıyor !!!



j



 k   w j k 

Bu simetrilere ek olarak gerçek örgü başka simetriye sahipse (ör. Dönme)
dispersiyon ilişkisi o simetriyi de sağlar.
Örneğin, kübik kristallerde w

j

k 

Katıhal Fiziği - I

da kübik simetriye sahiptir.

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

8


Slide 9

k-uzayında Simetri: 1. Brillouin Bölgesi (Üç Boyut)

FCC örgü yapısına sahip Al nin 1.BB
 Periyodik, inversiyon ve dönme
simetrileri görülüyor.
 Dispersiyon eğrisinin 1.BB ndeki
sadece küçük bir kısmını elde etmemiz
yeterli, çünkü diğer kısımları simetri
sayesinde türetebiliriz.
 Kübik kristalde, 1.BB nin 1/48 ini elde
etmek yeterli! (Kübik dönme grubunun
48 elemanı var: GRUP TEORİ)
Katıhal Fiziği - I

Al nin 1.BB nde frekans konturları (contour)

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

9


Slide 10

Bir Örgünün Durum Yoğunluğu
Bir boyutlu örgü için genel durum
yoğunluğu bağıntısı

g w  

Sürekli durum:

L

1

 d w dk

w  vs k

g w  

Bir boyutlu örgünün durum yoğunluğu
Kesikli (ayrık) durum: w  w sin  ka 2 
m

g w  

2L

aw m

L

vs

cos  ka 2 1

 w>wm durumunda g(w) kaybolur. 1.BB dışındaki bir bölgeye karşılık gelir.
 Eğrinin altındaki alan = kiplerin sayısı (N)

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

10


Slide 11

Bir Örgünün Durum Yoğunluğu
 Üç boyutlu örgünün durum yoğunluğunu bulmak için bir boyutlu duruma benzer şekilde.
 j.nci dalı ele alalım:
frekansı w j  k   w ile w j  k   w  d w arasındaki konturları çizelim.
ky
 Bu yüzeyler arasında kalan kiplerin
sayısı = g j w d w
 g j w  : j.nci dalın durum yoğunluğu
kx

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

11


Slide 12

Bir Örgünün Durum Yoğunluğu
 Toplam durum yoğunluğu:
g w  

 g w 
j

j

Cu için toplam durum yoğunluğu
(nötron saçılması deneyinden elde edilen)

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

12


Slide 13

Isı Sığası: Kesin Teori
 Isı sığası için Debye modeli  lineer dispersiyon ilişkisi
 sadece BB nin merkezi yakınlarında doğrudur.
Bu yaklaşım BB nin kenarlarında (sınırlarında) geçerli değildir.
 uzun dalgaboyu yaklaşımını ortadan kaldırıp, örgünün durum yoğunluğunu
kullanarak ısı sığası için genel bir denklem yazmalıyız.
 örgü termal enerjisi:

E 

  w  g w d w

 Sıcaklığa göre enerjinin türevi, ısı sığası:
2

 w 
 w
cv  k  
 exp 
 kT 
 kT



 w 
  exp 
  1

 kT 


2

g w d w

 Isı sığasını elde edebilmek için gerçek durum yoğunluğu fonksiyonunu (g(w)) yazmak
gereklidir.

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

13


Slide 14

Termal İletkenlik
 İki ucu farklı sıcaklıkta olan bir örnek.
 Isı akım yoğunluğu (Q), sıcaklık gradyenti ile orantılıdır (dT/dx):
Q  K

T
x

K  termal iletkenlik
 örnekteki ısı geçişinin bir ölçüsüdür

 Bir malzemeden ısı iletimi farklı şekillerde olur:
Metallerde, ısı elektronlar (büyük kısmı) ve örgü dalgaları (fononlar) tarafından
iletilir.
Yalıtkanlarda, mobil elektronlar bulunmadığı için ısı fononlar tarafından iletilir.
 Burada, sadece fononlar tarafından iletimi ele alacağız.

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

14


Slide 15

Termal İletkenlik
 Isının fononlar tarafından iletimini, fonon gazı oluşumu olarak düşünebiliriz.

Fonon Gazı

Gerçek Gaz

•Hız yaklaşık olarak sabittir.

•Parçacık akışı yoktur.

•Sayı ve enerji yoğunluğu sıcak uçta
daha yüksektir.

•Ortalama enerji ve parçacık başına kinetik
enerji sıcak uçta daha yüksektir, fakat, sayı
yoğunluğu soğuk uçta fazladır. Basınç sabit
olduğundan enerji yoğunluğu da sabittir.

•Isı akışı öncelikle fonon akışı ile olur.
Sıcak uçta üretilen fononlar, soğuk uçta
tüketilir.

sıcak

•Isı akışı sadece çarpışmalarda bir
parçacıktan diğerine kinetik enerji aktarımı
ile olur. (Fonon gazında bu küçük bir
etkidir.)

soğuk
sıcak

soğuk


Slide 16

Termal İletkenlik
İletim:
 Atomlar örneğin sol ucundan sağ ucuna doğru
hareket ederler (T2  T1)
 Böylece, fonon konsantrasyonu sol uçta daha
büyüktür ve fononlar sol uçtan sağa doğru
akarlar.

Gaz modelinin kullanılması, kinetik teoriyi uygulayabileceğimiz anlamına gelir:

K 

1
3

c v vl

Cv: birim hacimdeki ısı sığası
v: parçacığın (fonon) hızı
l: parçacığın (fonon) ortalama serbest yolu
 v ve l, BB nde doldurulmuş kipler üzerinden
alınan ortalama nicelikler

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

16


Slide 17

Termal İletkenlik & Fonon ortalama serbest yolu
 Bazı örneklerin termal iletkenlikleri ve fonon ortalama serbest yollları
K 

1
3

c v vl

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

17


Slide 18

Termal İletkenliğin Sıcaklığa Bağlılığı
K 

1
3

c v vl

Düşük sıcaklıklarda T3
Yüksek sıcaklıklarda 3R

Yaklaşık olarak ses hızına
eşit, böylece sıcaklıktan
bağımsız.

?
l  sıcaklığa güçlü bir şekilde bağlı
l  fononun iki ardışık çarpışması arasındaki ortalama uzaklık
l  değeri katıdaki çarpışma süreçleri incelenerek belirlenebilir
Çarpışma Süreçleri
1. Bir fononun diğer fononlarla çarpışması
2. Bir fononun kristaldeki hatalarla (safsızlıklar, dislokasyonlar) çarpışması
3. Bir fononun örneğin dış sınırları ile çarpışması

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

18


Slide 19

Termal İletkenliğin Sıcaklığa Bağlılığı
1. Bir fononun diğer fononlarla çarpışması [fonon-fonon]
Bir fonon kristalde diğer bir fononla karşılaştığında aralarındaki
anharmonik etkileşime bağlı olarak saçılma gerçekleşir.
Daha önceki konularda, fononların birbirinden bağımsız olduğu
harmonik yaklaşım kullanılmıştı. Bu yaklaşım yetersizdir.

Atomik yerdeğiştirmeler kayda değer derecede büyükse (yüksek
sıcaklıklarda) fononların arasında anharmonik bir çiftlenim söz konusu
olur. Böylece, fononlar arasında karşılıklı bir saçılma gerçekleşir.
O halde, yüksek sıcaklıklarda, fonon-fonon çarpışmaları önemli hale gelir.

Bu durumda, ortalama serbest yol (l)  1/T
Yüksek T çarpışmaya katılan fonon sayısını artırır.

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

19


Slide 20

Termal İletkenliğin Sıcaklığa Bağlılığı
2.

Bir fononun kristaldeki hatalarla (safsızlıklar, dislokasyonlar)
çarpışması [fonon-hata]
Kristaldeki safsızlıklar ve hatalarda fononların saçılmasına neden olur.
Çünkü, bunlar örgünün periyodikliğini bozar ve serbestçe ilerleyen örgü dalgası
kavramı bozulmuş olur.

Örnek olarak; örgüdeki atomların kütlesinden büyük bir safsızlığın yerleştiğini
düşünelim.
Örgü dalgası bu safsızlıktan saçılacaktır.
Kütle farkındaki artış, safsızlık yoğunluğunu artırır, saçılma artar, ortalama
serbest yol azalır.

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

20


Slide 21

Termal İletkenliğin Sıcaklığa Bağlılığı
3.

Bir fononun örneğin dış sınırları ile çarpışması [boyut (geometrik) etkisi]
Çok düşük sıcaklıklarda (<10K) fonon-fonon (çok az fonon var) ve fonon-hata
(uyarılmış çok az fonon var, tümü uzun dalgaboylu) çarpışmaları etkisizdir.
Saçılma gücü: çap/dalgaboyu [Uzun dalgaboyu  saçılma az]
Düşük sıcaklık bölgesinde, ana saçılma mekanizması örneğin dış sınırlarından
saçılmadır. (Boyut etkisi)
Bu mekanizma, uyarılmış fononların dalgaboyu örneğin boyutu ile
karşılaştırıldığında çok büyük olduğu durumlarda etkindir.
Bu durumda örneğin çapı, ortalama serbest yola (l) eşittir. Böylece l, sıcaklıktan
bağımsızdır.

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

21


Slide 22

Termal İletkenliğin Sıcaklığa Bağlılığı
cv

v

l

K

Düşük sıcaklıklarda

T3

sabit

sabit

T3

Yüksek sıcaklıklarda

sabit

sabit

1/T

1/T

K 

1
3

c v vl

Boyut
etkisi

Fonon
saçılması

1. Örnek kesit alanı: 1,23x0,91 mm
2. Örnek kesit alanı: 7,55x6,97 mm
Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

22


Slide 23

Fonon-Fonon Çarpışması
Normal (N) Etki
k1 ve k2 dalga vektörlü fononların çarpışarak k3 dalga
vektörlü bir fonon oluşturduğunu düşünelim.
Eğer k3 BB içinde ise sistemin enerjisi ve
momentumu korunur.

w 3  w1  w 2
k 3  k1  k 2

w 3  w1  w 2
k 3  k1  k 2
Termal özdirenç = [Termal iletkenlik]-1
Fononların akışına ve böylece termal
özdirence bir etkisi yoktur.

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

23


Slide 24

Fonon-Fonon Çarpışması
Umklapp (U) Etkisi
Eğer k3 BB içinde değil ise k3 BB ne taşınarak, fiziksel
eşdeğeri k4 elde edilir.
Etkin fonon dalga vektörü k4 , k1 ve k2 ye zıt
yöndedir. Momentum farkı örgünün kütle merkezine
aktarılmıştır.

k3  k4  G

Bu süreç, fononun momentumunu
değiştirmede çok etkindir ve yüksek
sıcaklıklarda fononun ortalama serbest
yolundan sorumludur.

k4

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

24


Slide 25

Normal & Umklapp Etkisi

Boyuna
Enine





w

4

3

1

0

a

w
3

1

2
k





a



0

a

2



k

a

Umklapp etkisi

Normal etki

Katıhal Fiziği - I

Dr. Aytaç Gürhan GÖKÇE

25