Transcript 01 – PENDAHULUAN dan proposisi

Matematika Diskrit





Kontrak Kuliah
Jadwal Kuliah
GBPP (Garis Besar Program Pengajaran)
Pustaka
Pertemuan 1 Proposisi
Kontrak
Dalam menentukan nilai akhir, akan
digunakan pembobotan sebagai berikut:
Kegiatan Bobot Nilai (%)
 Ujian Tengah Semester 25
 Ujian Akhir Semester 35
 Tugas Individu15
 Kelompok 15
 Keaktifan 10

Apa yang dipelajari








Proposisi
Himpunan
Relasi
Algoritma
KOmbinasi
Aljabar Boolean
Teori Graf
Teori Tree
Jadwal Kuliah
Pertemuan 1
Pejelasan kontrak kuliah, GBPP, Jadwal, Pustaka
Proposisi :
 Definisi Proposisi
 Mengkobinasi Proposisi
Pertemuan 2
Tabel Kebenaran
 Hukum-hokum logika
 Proposisi bersyarat
Pertemuan 3
Relasi :
 Definisi relasi
 Sifat-sifat relasi biner
 Relasi keekuivalenan
 Matrik relasi
Pertemuan 4
Algoritma :
 Notasi algoritma
 Algoritma eucilides
 Algoritma rekursif
 Kompleksitas algoritma
Pertemuan 6
Kombinasi
 Definisi Kombinasi
 Permutasi dan kombinasi bentuk umum
Pertemuan 7
 Kombinasi dengan perulangan
 Koefisien binomial
UTS
Pertemuan 8
Aljabar boolean
 Aljabar Boolean
 Aljabar Boolean Dua Nilai
 Hukum – hukum Aljabar Boolean
 Fungsi Boolean
Permuan 9
 Penjumlahan dan perkalian dua fungsi
 Komplemen Fungsi
 Aplikasi Aljabar Boolean
Pertemuan 10
Graf :
 Sejarah graf
 Definisi Graf
 Jenis-Jenis Graf
 Terminologi Graf
 Representasi Graf
Pertemuan 11
 Graf isomorfik
 Graf Planar
 Graf dual
Pertemuan 12
 Lintasan dan sirkuit euler
 Lintasan dan sirkuit Hamilton
 Beberapa Aplikasi Graf
Pertemuan 13
Pohon
 Definisi Pohon
 Sifat-sifat pohon
 Pohon rentang
Pertemuan 14
 Pohon berakar
 Pohon terurut
 Pohon biner
UAS
PUSTAKA



Richard Johnsonbaugh.1993. Discrete
Mathematics forth edition. DePaul University.
Chicago
Rinaldi Munir, “ Matematika Diskrit”, edisi
ketiga, penerbit Informatika Bandung, 2005
Seymour Lipschutz,”Seri Penyelesaian
Schaum”, jilid1, salemba teknika, 2001
MATEMATIKA DISKRIT



•
Apa ?
Cabang matematika yg mempelajari tentang obyek
diskrit.
Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Objek disebut diskrit jika:
 terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda
 elemen-elemennya tidak bersambungan
(unconnected).
Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)
Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus
(continuous).
Contoh: himpunan bilangan riil (real)
Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang
disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam
bentuk diskrit.
Kenapa belajar ?



Matematika diskrit merupakan ilmu dasar
dalam pendidikan informatika atau ilmu
komputer.
Matematika diskrit memberikan landasan
matematis untuk kuliah-kuliah lain di
informatika : algoritma, struktur data, basis
data, otomata dan teori bahasa formal,
jaringan komputer, keamanan komputer,
sistem operasi, teknik kompilasi, dsb.
Matematika diskrit adalah matematika yang
khas informatika  Matematika Informatika.
1. Brp byk almt internet valid yg mungkin pd
suatu jaringan komputer ?
2. Brp probabilitas menang suatu undian ?
3. Bgmn menentukan lintasan terpendek antar
kota ?
4. Bgmn mengurutkan suatu kumpulan data ?
Proposisi



Pengertian Proposisi
Operator Logika
Tabel Kebenaran
Pengertian Proposisi



Proposisi adalah sebuah pernyataan yang
bisa bernilai benar (true/T) atau salah
(false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya.
Kita katakan bahwa nilai kebenaran (truth
value) dari sebuah proposisi adalah benar
atau salah.
Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan
sebagai 1 dan 0
Proposisi atau Pernyataan

“Gajah lebih besar daripada tikus.”
Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
BENAR
Proposisi atau Pernyataan

“520 < 111”
Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
SALAH
Proposisi atau Pernyataan

“y > 5”
Apakah ini sebuah pernyataan?
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
TIDAK
Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut
bergantung pada y, tapi nilainya belum
ditentukan.
Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi
proposisi atau kalimat terbuka.
Proposisi atau Pernyataan

“Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”
Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini?
SALAH
Proposisi atau Pernyataan

“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”
Apakah ini sebuah pernyataan?
TIDAK
Ini adalah sebuah permintaan.
Apakah ini sebuah proposisi?
TIDAK
Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi
proposisi.
Proposisi atau Pernyataan

“x < y jika dan hanya jika y > x.”
Apakah ini pernyataan ?
Apakah ini proposisi ?
… karena nilai kebenarannya
tidak bergantung harga
spesifik x maupun y.
Apakah nilai kebenaran
dari proposisi ini ?
YA
YA
BENAR
Penggabung Proposisi
Beberapa
contoh terdahulu menunjukkan bahwa
beberapa proposisi dapat digabung menjadi sebuah
proposisi gabungan.
Hal
ini kita formal-kan dengan melambangkan
proposisi sebagai huruf-huruf; seperti p, q, r, s; dan
memperkenalkan operator-operator logika.
Operator logika
Kita
akan membahas operator-operator berikut:
Negasi
(NOT)
 Konjungsi (AND)
 Disjungsi
(OR)
 Eksklusif OR (XOR)
 Implikasi (jika – maka)
 Bikondisional (jika dan hanya jika)

Tabel
logika (tabel kebenaran/ truth table) dapat dipakai untuk
menunjukkan bagaimana operator-operator tsb diatas
menggabungkan beberapa proposisi menjadi satu proposisi
gabungan.
Negasi (NOT)

Operator Uner, Lambang: 
P
P
Benar
Salah
Salah
Benar
Konjungsi (AND)

Operator Biner, Lambang: 
P
Q
PQ
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Salah
Salah
Salah
Salah
Disjungsi (OR)
Operator Biner, Lambang: 
Tamu Boleh Menyumbang barang atau uang


P
Q
PQ
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Benar
Salah
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Eksklusif Or (XOR)
Operator Biner, Lambang: 
Saya akan melihat pertandingan itu di TV atau di lapangan


P
Q
PQ
Benar
Benar
Salah
Benar
Salah
Benar
Salah
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Implikasi (jika - maka)
Operator Biner, Lambang: 
Jika besok cerah (p), maka aku akan datang ke rumahmu
(Q)
 P = hipotesis, Q = konklusi


P
Q
PQ
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Bikondisional (jika dan hanya jika)

Operator Biner, Lambang: 
 (P  Q) ( Q  P)
P
Q
PQ
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Pernyataan dan Operasi

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat
digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.
P
Q
P
Q
(P)(Q)
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Salah
Benar
Benar
Salah
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Benar
Pernyataan dan Operasi

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat
digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

P
Q
PQ
 (PQ)
(P)(Q)
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Salah
Benar
Salah
Benar
Benar
Salah
Salah
Salah
Benar
Benar
Pernyataan-pernyataan yang ekivalen

P
Q
(PQ)
(P)(Q)
(PQ)(P)(Q)
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Salah
Benar
Benar
Benar
Salah
Benar
Benar
Benar
Benar
Salah
Salah
Benar
Benar
Benar
Pernyatan (PQ) dan (P)(Q) adalah ekivalen secara logis, karena
(PQ)(P)(Q) selalu benar.
Tautologi dan Kontradiksi
Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar
Contoh:
 R(R)
 (PQ)(P)(Q)


Jika ST sebuah tautologi, kita tulis S  T.
JIka ST sebuah tautologi, kita tulis S  T.
Kontradiksi
Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah.
Contoh:
 R(R)
 ((PQ)(P)(Q))
Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah kontradiksi,
sebaliknya, negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah
tautologi.
Latihan
Kita tahu tautologi berikut:
(PQ)  (P)(Q)
Latihan
di kelas :
Tunjukkan bahwa (PQ)  (P)(Q).
TUGAS