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Geometría diferencial: Curvas y Superficies
• Curvas planas
r:I 
• Curvas alabeadas
 2
t  ( x(t ), y(t ))
r:I 
 3
t  ( x(t ), y(t ), z (t ))
Parametrización “natural”: longitud de arco
Dada una representación paramétrica regular r de una curva C se define su longitud L
entre los puntos de la curva r (t0 ) y r (t1 )como L 
t1
 r '(l ) dl
t0
t
Si usamos el parámetro s   r '(l ) dl ; s  s(t ) nos estaremos moviendo por la curva
t0
según la distancia que hemos recorrido por la curva, así:
r : J   0, L  
s  r (s)
m
Curvas planas “interesantes”
• Cicloide
Ecuación: r (t )  ( x(t ), y(t ))  ( R(t  sen(t )), R(1  cos(t )))
t  0, 2 
• Propiedades
- Isocrona
- Marcha atrás
Curvas planas “interesantes”
• Braquistocrona: Ecuación: r (t )  ( x(t ), y(t ))  ( R(t  sen(t )), R(cos(t ) 1))
( griego tiempo menor)
t  0, 2 
• Aplicaciones: Half-pipe perfecto
Curvas planas “interesantes”
• Catenaria: Ecuación: y ( x)  a cosh
x
a

 1  sen t 
x
(
t
)

a
ln



cos t 

r (t )  
 y (t )  a

cos t
  
; t   , 
 2 2
• Aplicaciones: Curva que no ejerce ninguna tensión transversal.
Arcos
Otras Curvas planas
• Persecución: Curva que describe
un objeto que se desplaza a
velocidad w constante, y que
persigue de manera óptima a otro
que se desplaza en línea recta a
velocidad v también constante
• Clotoide
Se utiliza en trazados de carreteras, especialmente
ferroviarios, para minimizar los efectos de la
aceleración centrípeta sobre los vehículos.
Curvas alabeadas “interesantes”
• Ventana de Viviani
cartesianas:
parametrizadas:
Proyección sobre el plano OZX es la lemniscata de Bernuilli
Curvas alabeadas “interesantes”
• Loxodromia: Curva que corta a los meridianos
de una esfera con un ángulo constante.
 es el ángulo de corte constante
En el siglo XIX se pensaba que eran las curvas
que minimizaban distancias en una esfera, así que
se usaban mucho para la navegación (falso
geodésicas)
Escher 1958
Espirales esféricas
Curvas alabeadas “interesantes”
• Hélice circular: Ecuación:
 x(t )  a sent

r (t )   y (t )  a cos t
 z (t )  bt

Cadenas de ADN: dos hélices circulares
Tornillos
Escaleras de caracol
Muelles
…
Curvas alabeadas “interesantes”
• Costura de la pelota de tenis
• …..
Superficies interesantes.
Pringles potato chips are designed using [supercomputing]
capabilities to assess their aerodynamic features so that on the
manufacturing line they don’t go flying off the line.
Dave Turek, vicepresidente del departamento de
computación en IBM
Paraboloide hiperbólico
El paraboloide hiperbólico es la estructura
bidimensional que mejor resiste los esfuerzos de presión-tensión