Transcript PROF. MARIELY GÓMEZ CURVAS DE TRANSICIÓN Clotoide

CURVAS DE TRANSICIÓN
Clotoide Enlace
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CURVAS DE TRANSICIÓN
Elementos:
V: Vértice de la curva.
Le : Longitud espiral
Δ : Angulo de deflexión.
Lc : Longitud arco de círculo
α : Angulo entre rectas o tangentes.
Xc, Yc : Coord. Rectangulares, EC o CE
Өe : Angulo tangencial en el EC o CE.
Cl, φe : Coord. Polares, EC o CE
γ : Angulo al centro del arco circular
K : Abscisa del centro del círculo
O : Origen del circulo.
D : Desplazamiento del círculo
Rc : Radio de la curva circular
Tt: Subtangente total (clotoide+círculo)
TE : Unión tangente-espiral
T: Subtangente de la clotoide
EC : Unión espiral-círculo
TL: Tangente larga dla clotoide
CC : Centro de la curva circular
U: Subtangente corta de la clotoide
EC : Unión círculo-espiral
N: Normal
ET : Unión espiral-tangente
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G: Subnormal
CURVAS DE TRANSICIÓN
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CURVAS DE TRANSICIÓN
Fórmulas para el cálculo:
•
• Los datos básicos son Rc, Le y ∆
• La figura anterior muestra el arco de
clotoide entre el TE y el EC
• En un PSC situado a L metros del TE,
se obtienen las siguientes fórmulas:
• Radio de curvatura en PSC=R
dL
,
R
R  Le
R c
L
L  dL
d



 Rc  Le
d 
R  L  A2
L2
L2


2 Rc  Le 2 R  L
Rc  Le  A 2
R  L  Rc  Le
Rc  Le
L
A2
R
L
R
• En el EC (o CE) R = Rc
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Ángulo tangencial en un PSC = θ
L2
L


2 A2 2 R
•
En el punto EC (o CE)
L2e
e 
2 Rc  Le
L2e
e 
2 A2
L
e  e
2 Rc
CURVAS DE TRANSICIÓN
• Coordenadas Cartesianas de un PSC (X e Y)
Dividiendo θ entre θe se obtiene
 L2
 2
 e Le
 L
   e  
 Le 
L
X   cos dL
2
Los valores de los ángulos están en
radianes.
El Punto Característico: R=L=A
En este punto θ=L/2R=L/2L=0,5
radianes = 28ª38´52,4”
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dX  dL cos
dY  dL sen
0
L
Y   sen dL
0
L2
  e  2
Le

L2 
dX  dL cos  e  2 
Le 


L2 
dY  dL sen  e  2 
Le 

CURVAS DE TRANSICIÓN
El desarrollo en serie de cosθ es:
cos  1 
2
2!

4
4!

6
6!
 ...


2 4 6
X    1 


 ....dL
2! 4! 6 !

0 
L
2
4
6
1  L 
1  L 
1  L 
 dL   
 dL   
 dL  ...
X   dL   
2 
2 
2 
2! 0  2 A 
4! 0  2 A 
6! 0  2 A 
0
L
L
2
L


2 4
6
X  L 1 


 ...
10 216 9360


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2
L
2
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Del mismo modo, el desarrollo en serie de senθ es:
sen   
3
3!

5
5!

7
7!
 ...


 3  5 7
Y     


 ....dL
3! 5! 7 !

0
L
3
5
7
 L 
1  L 
1  L 
1  L 
dL   
 dL   
 dL   
 dL  ...
Y   
2 
2 
2 
2 
2A 
3! 0  2 A 
5! 0  2 A 
7! 0  2 A 
0
L
2
L
2
  3

5
7
Y  L 


 ...
 3 42 1320 75600

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L
2
L
2
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En el punto EC (o CE) se cumple que:
  e2  e4

 e6
X c  Le  1 


 ...
10 216 9360


7
 e e 3 e 5


e

Yc  Le  


 ...
 3 42 1320 75600

Estando θe en radianes.
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•
Coordenadas Polares de un PSC •
(Φ, C)
C = cuerda
C
X 2 Y 2
Y
tan 
X
Y
  arctan
X
• En el punto EC (o CE):
CL 
X c2  Yc2
Yc
tane 
Xc
Yc
e  arctan
Xc
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Ubicación del arco circular:
El centro del arco del círculo se puede
ubicar respecto del TE (o ET) mediante las
distancias K y Rc+D, donde:
K= abscisa del centro del círculo
D= desplazamiento del círculo o retranqueo
Rc= radio del círculo
En la figura de la clotoide enlace se
observa que:
K  X c  AC
AC  Rc  sen e
 K  X c  Rc  sen e
En la misma figura se observa que:
Rc  D  Yc  Rc  cos e
D  Yc  Rc 1  cos e 
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Si en las ecuaciones anteriores se reemplaza Xc y Yc por las expresiones deducidas
anteriormente, se desarrolla en serie el coseno y el seno de θe y se sustituye Rc
=Le/2θe, se obtienen las siguientes expresiones:
 1  e2

 e4
 e6
K  Le  


 ...
 2 60 2.160 131.040

  e  e3

 e5
 e7

D  Le  


 12 336 15.840 1.209.600 
La distancia D es el desplazamiento que debe efectuarse en la curva circular
respecto de la tangente para poder introducir la clotoide.
Cuando D es muy pequeño, lo cual ocurre en curvas de radios muy grandes, la
diferencia entre la curva circular simple y la curva con clotoide es muy pequeña.
Normalmente se considera que cuando D≤0,10, la curva de transición tiene poca
significación.
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•
Ubicación del TE (o ET)
•
Ubicación del CC
En la figura clotoide enlace, se
puede observar que:
E  OV  Rc
TT  K  AV
AV   Rc  D   tan
Entonces:
TT   Rc  D   tan

2
OV 

Rc  D 
cos
2
K
Entonces:
2
E
Rc  D   R
cos
• Elementos del Arco Circular
    2 e
Lc  Rc   
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

180

2
c
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• Otros Elementos de la clotoide
Yc
TC 
sen e
U  Yc  cot an e
Yc
N
cos e
G  Yc  tan e
TL  X c  U
T  Xc  G
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Enlace de transición total
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CURVAS DE TRANSICIÓN
Nomenclatura correspondiente a la clotoide de enlace:
V: Vértice de la curva.
Xc, Yc: Coord rectangulares de ECE.
Δ : Angulo de deflexión.
Cl, Φe: Coord polares de ECE.
α : Angulo entre rectas o tangentes.
Өe: Angulo tangencial en el ECE.
γ: Angulo al centro del arco circular.
O : Centro del circulo
Rc: Radio de la curva circular.
TE: Unión Tangente - Espiral
ECE: Unión Espiral – Circulo - Espiral
ET: Unión Espiral - Tangente
Le: Longitud de clotoide TE – ECE (ECE – ET).
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K: Abscisa del centro del circulo.
D: Desplazamiento del circulo.
T: Subtangente de la clotoide.
TL: Tangente larga de la clotoide.
TC: Tangente corta de la clotoide.
U: Subtangente corta.
N: Normal.
G: Subnormal
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Ejemplos.
1-. Rc =240
θe= 13°14´48”
Calcule los elementos de la clotoide:
Entramos con
“θe”
θ = 13°14´48” = θe
l = 0,680 x 163,20
Le = 110,976
x = 0,676374 x 163,20
Xc = 109,94
y = 0,052206 x 163,20
Yc = 8.52
k = 0,339395 x 163,20
K = 55,39
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t = 0,688664x 163,20
T = 112.39
r = 1,470588 x 163,20
Rc = 240
d = 0,013076 x 163,20
D = 2.13
c = 0,678386 x 163,20
Cl = 110,71
ф = 04°24´49” = фe
Rc = A x r
A = Rc/ r (mantener fijo Rc)
A = 240/1,470588
A = 163,20
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