Transcript guiaclase-curvas

CURVAS CON HERRAMIENTAS
CAD
Representación y Visualización
Ing. Guillermo Verger
Sistemas de Representación
Objetivo
Presentar las curvas y superficies curvas más
conocidas, obtener su representación gráfica
para apreciar la forma del elemento
geométrico, comprenderlo y trabajar con él.
La discución de una ecuación y su representación gráfica
constituyen, en conjunto, un problema de tan gran
importancia en todas las ramas de la matemática y sus
aplicaciones, que se le ha dado el nombre especia de
'Construcción de Curvas'
Introducción
• Una capacidad interesante de la herramienta CAD que
utilizamos es el manejo que tiene de todos los elementos
geométricos; puntos, rectas, curvas, superficies planas y
curvas, sólidos. A esto se agrega a la obvia aplicación de
modelar y representar objetos en diferentes sistemas.
• Se tiene entonces una herramienta que puede considerarse
de propósito general.
• En la cátedra nos hemos propuestos diferentes desafíos en
relación con el aprovechamiento de la herramienta. Así es
como se han desarrollado nuevos métodos para la
resolución de problemas típicos de la geometría descriptiva.
La experimentación también colaboró en el mejoramiento
progresivo de las soluciones encontradas.
CLASIFICACIÓN
• Pre-definidas por Autocad. Se trazan por comandos y
asignación de parámetros.
– Circunferencias y elipses. Sería ideal tener un comando
similar al de estas curvas para todas las curvas que se
quisieran trazar.
– Espirales y hélices. No es posible utilizar puntos de las
mismas que surjan por intersección.
• No pre-definidas por Autocad.
Se deben determinar los puntos de paso
– por cálculo: Se determinan las coordenadas de una
cantidad adecuada de puntos.
– por método de trazado; similar al trazado con instrumentos
tradicionales.
Ejemplos de Curvas Planas
En lo que sigue se presentan ejemplos de trazado de diferentes tipos
de curvas.
•
•
•
•
Cónicas. Parábola e Hipérbola
Cíclicas
Funciones Circulares
…
Elipse
Definición
Curva plana, cerrada, simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre
sí que se intersecan en el punto medio de ambos y que resulta ser el centro
de la elipse. Sobre el mayor de los ejes se ubican dos puntos fijos llamados
focos. Los puntos de la elipse cumplen la condición que la suma de sus
distancia a los focos es constante e igual a la longitud del eje mayor.
Se puede trazar una elipse especificando sus ejes.
Parábola
Definición
Curva plana, abierta, de una sola rama, simétrica respecto de un eje, sobre
el que se ubica un punto fijo llamado foco. Los puntos de la parábola
cumplen la condición de equidistar del foco y de una recta normal al eje
llamada directriz.
Métodos de trazado
•Construcción geométrica
•A partir de una ecuación
•Puntos de apoyo linea SPLINE
•Se puede trazar una parábola especificando su eje, el vértice y un punto de
paso.
•Se determinan el simétrico del punto dado (respecto del eje de la parábola y
el vértice de control de la línea spline (a una distancia del eje igual a la del
punto dado). Línea spline por vértices de control.
Parábola
• Definición
– Curva plana, abierta, de una sola rama, simétrica respecto de
un eje, sobre el que se ubica un punto fijo llamado foco. Los
puntos de la parábola cumplen la condición de equidistar del
foco y de una recta normal al eje llamada directriz.
• Métodos de trazado
– Construcción geométrica
– A partir de una ecuación
– Puntos de apoyo linea SPLINE
• Se puede trazar una parábola especificando su eje, el vértice y un punto
de paso.
• Se determinan el simétrico del punto dado (respecto del eje de la
parábola y el vértice de control de la línea spline (a una distancia del eje
igual a la del punto dado). Línea spline por vértices de control.
Parábola
JUSTIFICACIÓN DE SU CONSTRUCCIÓN
Se genera la misma parábola anterior como sección plana de una superficie cónica.
Ver SeccPlanaCono-Parabola-6.dwg
Despues de construir una parábola especificada por un punto de paso y su vértice
como resultante de una sección plana, llegamos a la conclusión que se puede
construir perfectamente como spline por vértices de control.
Grado: 3
Propiedades: Plana, Racional, No periódica
Rango de parámetros: Inicio 13.7771
Fin 185.2414
Número de puntos de apoyo: 3
Puntos de apoyo: X = 1280.0000, Y = 50.0000 , Z = 0.0000
Peso 1.0000
X = 1400.0000, Y = 100.0000 , Z = 0.0000
Peso 1.0000
X = 1280.0000, Y = 150.0000 , Z = 0.0000
Peso 1.0000
PARABOLA CÚBICA
X**3 en el intervalo 0-2
Hiperbola
En splines cuadráticas de tres vértices, cuando el peso de los vértices
extremos es 1, el peso del vértice intermedio determina el tipo de cónica
resultante (arco elíptico, parábola o hipérbola)
EDITSPLINE
000-CONICA-SPLINE.DWG
Funciones Trigonométricas o Circulares:
Sinusoide
– Circunferencia de radio adecuado.
– Dividir la circunferencia en partes iguales. Comando
DIVIDE. 16 partes.
– Trazar línea de eje alineada con centro de la
circunferencia
– Dividir el eje en igual cantidad de partes como la
circunferencia. Comando divide(16)
– Trazar líneas auxiliares para determinar los puntos de
paso de la curva.
– 000-sinusoide.dwg
Espiral de Arquímedes.
• Definición: Curva que se aleja del centro
proporcionalmente al ángulo girado alrededor del
mismo.
• Datos: Paso 12 mm, 3 vueltas
• Método 1: por puntos según cálculo.
• Método 2: por construcción geométrica
Espiral de Arquímedes.
• Método 2: comando HELICE y altura cero.
»
La espiral generada de esta forma no admite su utilización para
determinar puntos de intersección.
Espiral logarítmica
Una espiral logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es una clase
de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. Su nombre
proviene de la expresión de una de sus ecuaciones:
También se puede escribir como
Espiral Aurea
TROCOIDES (CÍCLICAS - 1)
Trocoide: del griego 'trocos' = ‘círculo, rueda’ y el sufijo 'oide' =
‘parecido a’
Dicen que la rueda es el invento más impactante del mundo. Es
lógico entonces que existan varias curvas vinculadas a la rueda.
Trocoide es la curva descripta por un punto ubicado a una
distancia 'c' del centro de una circunferencia generatriz
(ruleta) de radio 'r' que rueda, sin resbalamiento, sobre una
línea directriz (curva o recta).
Para pensar:
Como es la forma de la curva que describe el extremo del pedal de una
bicicleta?...
TROCOIDES (CÍCLICAS - 2)
…Trocoide acortada
TROCOIDES (CÍCLICAS - 3)
… o un punto en la parte externa de la llanta de una rueda de tren?
Cicloide
•
•
Cicloide es una trocoide en la que la distancia del punto generador al centro de la
circunferencia generatriz es igual a su radio y la linea directriz es una recta.
Ecuación paramétrica de la cicloide: (t-sen t, 1-cos t)
Epicicloide
Epicicloide es una trocoide en la que la distancia
del punto generador al centro de la circunferencia
generatriz es igual al radio de ésta última que gira
en el exterior de una circunferencia directriz.
Hipocicloide (1)
Hipocicloide es una trocoide en la que la
distancia del punto generador al centro de
la circunferencia generatriz es igual al radio
de ésta última que gira en el interior de una
circunferencia directriz.
Hipocicloide (2)
Ejercicios de trazado
Hipocicloide de tres puntas
o deltoide (figura).
a = 60
b = 20
c = 20
Hipocicloide de cuatro
puntas o astroide
a = 80
b = 20
c = 20
Hipotrocoide
Hipotrocoide de tres
puntas
a = 60
b = 20
c = 40
Hipotrocoide de cinco
puntas
a = 100
b = 20
c = 10
Hipotrocoide
Hipotrocoide de cinco
puntas
a = 100
b = 20
c = 10
Peritrocoide (epitrocoide)
• Curva generada por el punto extremo 'P', de un brazo rígido fijado
en el centro del círculo giratorio 'B' de radio 'q', cuando este rueda
sin deslizar, a lo largo de la periferia externa del círculo base 'A' de
radio 'p‘.
Peritrocoide
• La ecuación de la peritrocoide puede ser expresada por las
coordenadas de punto P(x, y) en coordenadas rectangulares
referenciadas al centro del círculo de base A, como punto inicial,
así:
Donde:
• e - Distancia central entre el circulo base A y el circulo giratorio B
• R - Longitud del brazo fijo en el circulo giratorio B
• a - Angulo de rotación del giratorio B alrededor del circulo base A
• ß - Angulo de rotación del circulo giratorio B sobre su eje
Peritrocoide
Evolvente de círculo
¿Cuál sería el resultado de
aumentar el radio de la ruleta
hasta que la circunferencia se
transforme en una recta?
Catenaria
Es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos,
sometida a un campo gravitatorio uniforme.
Ecuación cartesiana:
Tractriz
Curva que describe un objeto (situado en P) que es arrastrado por
otro (situado en A), que se mantiene a distancia constante d y que
se desplaza en línea recta.
Es la curva evolvente de la
catenaria.
Ecuación cartesiana:
Caracoles
• Ecuación polar de la forma
– r = a + b cos(theta)
• Ejemplo:
Caracoles
• Ejercicios de trazado
1. Caracol con lazo interior
2. Caracol concavo:
3. Caracol concavo:
4. Caracol convexo
5. ?
Cardioide
• Curva plana que se genera cuando un punto P de una
circunferencia rueda sin deslizarse sobre el exterior de una
segunda circunferencia fija del mismo radio.
– Ejemplo en coordenadas polares
– Trazar
Lemniscata
• Conjuntos de puntos que cumplen que
el producto de las distancias a dos
puntos dados, denominados focos, es
constante.
• Ecuación polar del tipo
• Ecuación cartesiana
• El parámetro a determina la forma de
la curva. Los focos están a distancia 2a
y ese producto de distancias constante
es exactamente a^2.
Lemniscata- Construcción geométrica
• Trazar dos rectas perpendiculares r y s.
• Trazar una circunferencia tangente a las dos rectas.
• Por O trazar rectas secantes a la circunferencia. Interceptan la circunferencia en
puntos como M 1 y M 2.
• Tomar la longitud de cada cuerda y situar en la recta a partir de O obteniendo
puntos exactos de la curva como OM al tomar la cuerda M1-M 2, ON= N1 N2,
OP= P1 P 2…
• Al unir los diferentes puntos M, N, P… queda determinada la curva.
Lemniscata
• Construcción geométrica
Nefroide
• Coordenadas Polares
Nefroide de Freeth
• Coordenadas Polares
Cisoide de Diocles
• Coordenadas Polares
• Ecuación implícita
OA = OC - OB
Cisoide de Diocles – Duplicación del cubo
Given a segment[C,B], we can construct a segment[C,M]
such that distance[C,M]^3==2*distance[C,B]^3, with the
help of cissoid of Diocles. This solves the famous
doubling the cube problem.
Step-by-step description:
1. Given two points C and B.
2. Construct a circle c1, centered on C and passing B.
3. Construct points O and A on the circle such that
line[O,A] is perpendicular to line[C,B]
4. Construct a cissoid of Diocles using circle c1, tangent
at A, and pole at O.
5. Construct point D such that B is the midpoint of
segment[C,D].
6. Construct line[A,D]. Let the intersection of cissoid and
line[A,D] be Q. (the intersection cannot be found with
Greek Ruler and Compass. We assume it is a given.)
7. Let the intersection of line[C,D] and line[O,Q] be M.
8. length[C,M]^3==2*distance[C,D]^3.
• Evoluta de una curva dada es el lugar geométrico
de los centros de curvatura de la curva.
• (Envolvente de las normales del plano a la curva)
• La curva original es la involuta de su evoluta.
Rosas
• De 4 hojas: r = sen(2 t)
• De 3 hojas: r = sen (3 t)
Preguntas
• Construir una parábola por seccionamiento de una
superficie cónica cuando se han especificado sus
datos; vertice y punto de paso o bien eje y foco
(simil lemniscata).
Curvas no planas: hélice.
Trazado de tangentes a curvas.
• Desde un punto externo a la curva (resuelve
Autocad)
• Desde un punto perteneciente a la curva.
Desde punto externo a la curva
• Resuelve Autocad
Desde punto perteneciente a la propia curva.
• Tangente a sinusoide
Tangentes coplanares a dos curvas no
coplanares.
Aplicaciones al Cálculo Gráfico
• Tangentes y Pendientes
• Derivación Gráfica
• Longitudes de líneas curvas
Longitud de líneas curvas.
• Elipses,
• sinusoides
• y otras
Determinación de áreas encerradas entre curvas
Aplicaciones al cálculo de áreas. Ejemplo vacasilo (Stewart)
• Linea de longitud igual semi-circunferencia,
horizontal, donde comienza a despegarse
cuerda del silo.
• Dividir línea en parte iguales (12)
• Matriz para replicar cuerda con marcas
división en media circunferencia. Angulo a
rellenar y angulo entre elementos.
• Recortar segmentos acorde a longitud cuerda
• Trazar evolvente con SPLINE
• Comando SIMETRIA para duplicar
• ARCO de circunferencia para completar línea
que puede alcanzar la vaca
• Crear región con el área encerrada por la
curva (donde come la vaca)
• Ventana de propiedades da el área.
Aplicaciones al cálculo de áreas. Ejemplo vacasilo (Stewart)
Aplicaciones al cálculo de áreas. Ejemplo vacasilo (Stewart)
Aplicaciones al cálculo de áreas. Ejemplo vacasilo (Stewart)
Referencias
• Geometría Analítica, Charles H. Lehmann