Transcript Área Medios de Representación Curvas cicloideas Ing. Guillermo Ferrario Objetivos  Conceptuales. Conocer el sistema de generación de las curvas cicloidales. Diferenciar las curvas cicloides, hipocicloides y.

Área Medios de Representación
Curvas cicloideas
Ing. Guillermo Ferrario
Objetivos

Conceptuales.
Conocer el sistema de generación de las curvas cicloidales.
Diferenciar las curvas cicloides, hipocicloides y epicicloides, junto a sus características
principales.

Destrezas.
El alumno reconozca y trace una cicloide normal, corta y larga.
Reconozca una epicicloide y hipocicloide. Trace una curva epicicloide.

Actitudinales.
El alumno tendrá iniciativa en el planteamiento de propuestas de resolución de casos
prácticos.
Defenderá y justificará las propuestas planteadas en un marco de respeto a otros
planteamientos y preocupación por la calidad del resultado final.
La construcción del conocimiento se desarrolla relacionándolo con
aquello que ya hemos adquiridos.
Veamos con que podemos relacionar este tema.
Curvas planas
Cinemática
Construcciones Geométricas
Curva cicloide natural o normal
Una cicloide es el lugar geométrico generado por un punto
de una circunferencia al rodar sobre una línea recta; es la
curva que describe un punto perteneciente a una rueda que
gira sin deslizarse
Sea P (x,y) un punto genérico de la cicloide y r el radio del círculo generador
Tomamos como parámetro el ángulo t que forma el radio CP con la vertical AC
El arco AP es rt e igual al segmento OA, y de la figura podemos deducir:
x=OQ=OA-QA=rt-r sen t=r (t-sent)
y=AB=AC-BC=r-r cos t=r (1-cost).
Por tanto las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:
x=r (t- sen t)
y=r (1- cos t).
Descomposición del movimiento
La cicloide puede verse como la suma de dos trayectorias
Donde b es el radio de la ruleta y t el ángulo
Cicloide Acortada
Es el lugar geométrico descrito por un punto P situado sobre el radio de una circunferencia, cuando
esta rueda sin deslizar sobre una recta fija
Cicloide Alargada
Es el lugar geométrico descrito por un punto P situado sobre la prolongación del
radio de una circunferencia, cuando dicha circunferencia rueda sin deslizar sobre
una recta fija
Tipos de cicloide
• Dependiendo de donde se encuentra P respecto
de la circunferencia generatriz, se denomina:
• cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la
circunferencia generatriz, (R < r),
• cicloide común, si P pertenece a la
circunferencia generatriz, (R = r),
• cicloide alargada, si P está fuera de la
circunferencia generatriz, (R > r).
• Donde la circunferencia tiene radio r, y la
distancia del centro al punto P es R.
Cicloides
Ecuaciones paramétricas
Las constantes r y d corresponden, respectivamente, al radio de la
circunferencia y a la distancia CP. El parámetro
es el ángulo
formado por los segmentos CP y CJ.
- Si d>r obtenemos la cicloide alargada
- Si d<r obtenemos la cicloide acortada
Ejemplo de Cicloide
•
Cuando la rueda de ferrocarril avanza hacia
la izquierda, la parte inferior de su reborde
se mueve hacia la derecha, es decir, en
dirección contraria
•
•
Arriba se representa la curva («cicloide»)
que describe al girar cada uno de los puntos
de la llanta de una rueda del carro de
ferrocarril.
Abajo, la curva que describe cada punto
exterior del reborde de una rueda de
ferrocarril.
Trazado de curvas cicloides
Trazado de las tangentes
Para trazar la tangente en un punto cualquiera P
1.
Trazar la recta vertical que pasa por el centro C, obteniéndose el punto de contacto de la
circunferencia A
2.
Unir los puntos P y A, lo cual nos determina la recta normal en el punto P a la cicloide.
3.
Perpendicular a la Normal por P se traza la recta tangente
Cicloide Normal
Cicloide Larga
Cicloide Corta
Curva Epicicloide
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de
una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de
otra circunferencia directriz. Es un tipo de ruleta cicloidal.
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).
Ecuaciones de la Epicicloide
Considerando la figura podemos escribir:
Epicicloide
con γ = α + β − π / 2 y, además, como la circunferencia rueda sin
deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales,
Ecuación Paramétrica
Considerando la figura podemos escribir:
tenemos la ecuación paramétrica de la
epicicloide:
Casos particulares
Cuando r1/r2 es un número racional,
i.e., , siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.
Cuando r1=r2, i.e, k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional, la curva es trascendente y cubre completamente la región
entre los radios r1 y r2.
ejemplos de epicicloides
k=1
k=2
k=3
k=2.1=21/10
k=3.8=19/5
k=5.5=11/2
k=4
Epicicloide Normal de Cuatro Hojas
Trazado para una relación de radios R= 4 r (R= radio base, r= radio ruleta)
•
•
•
•
•
•
Dividir la rodante en un número
de partes iguales , por ejemplo 8
Siendo “a” el punto generador de
la epicicloide se sitúa coincidente
con A al cabo de una vuelta
completa, por la relación de
radios.
8 es la posición del centro de la
ruleta
Se divide el arco 08 en igual
numero de partes que la rodante,
obteniéndose las posiciones 1 a
8 del centro de la rodante para
las sucesivas posiciones del
punto generador.
Para media vuelta de la ruleta , la
posición de “a” es E, su normal
se obtiene uniendo la posición
correspondiente con el centro de
la ruleta, la tangente es la
perpendicular a esta en ese
punto
La normal a D se obtiene uniendo
3 con el centro de la base con
dicho punto y perpendicular a
esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo). Parámetros: R = 3, r = 1, k = 3.
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz, sin deslizamiento.
Es un tipo de ruleta cicloidal.
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una línea directriz (o circunferencia de radio infinito)
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y móvil, respectivamente, y el
parámetro
es el ángulo que forma el segmento OC con la
dirección positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
•
Cuando K = r1/r2 es un número racional, es decir,
siendo p y q números enteros, las hipocicloides son curvas algebraicas.
•
Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x2/3+y2/3=R2/3)
•
Si es irracional, la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro
de la circunferencia directriz.
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2,
Ejemplos]
k=3
k=4
k=5
k=6
k=2.1
k=3.8
k=5.5
k=7.2
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas. Se obtiene cuando R=4r.
R=2; r=0,5
Algunos ejemplos de Epicicloides
Epicicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija.
R=4r
La Nefroide, una
epicicloide con R=2r:
R=1,6; r=0,8
-
La cardioide, una epicicloide con R=r:
Epicicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre el
radio de la rodante C, a una distancia d del centro, describe una curva llamada epicicloide acortada.
R=8; r=2; h=1.5
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre la
prolongación del radio de la rodante C, a una distancia d del centro C, describe una curva llamada epicicloide alargada.
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide. Se obtiene cuando R=3r.
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija.
R=1,40; r=0,4
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P
sobre el radio de la rodante C, a una distancia d del centro de C, describe una curva llamada hipocicloide acortada.
R=5; r=2; h=1
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse:
R=6; r=3; h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R),
un punto P sobre la prolongación del radio de la rodante C, a una distancia d del centro de C,
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5; r=2; h=2.5
Clasificación de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Epicicloide Corta
Epicicloide Normal
Epicicloide Larga
Cicloides
Cicloide Corta
Cicloide Normal
Cicloide Larga
Hipocicloides
Hipocicloide Corta
Hipocicloide Normal
Hipocicloide Larga
TRANSMISIÓN del movimiento POR ENGRANAJES
• Los primeros datos que
existen sobre la transmisión
de rotaciones con velocidad
angular uniforme por medio
de engranajes,
corresponden al año 1674,
Olaf Roemer propuso la
forma o perfil del diente en
epicicloide.
• Robert Willis, profesor de
Cambridge, fue el que
obtuvo la primera aplicación
práctica de la epicicloide al
emplearla en la construcción
de una serie de engranajes
intercambiables.
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
•
Para la transmisión de una relación constante de
velocidades con engranajes cicloidales los círculos
primitivos tienen que permanecer tangentes.
•
En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectúa
entre superficies convexas y cóncavas
•
El diente con perfil de evolvente es más sólido, a
igualdad de paso, que el cicloidal.
•
para la transmisión de una relación constante de
velocidades con engranajes cicloidales los círculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
•
La lubricación de los dientes cicloidales es algo más
eficaz que la de los dientes de evolvente, y esta
propiedad es útil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes.
porción de dos ruedas con
dientes cicloidales
Fin del desarrollo temático
Muchas gracias por su
atención