Transcript área entre dos curvas
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Cálculo de área con
LA INTEGRAL DEFINIDA
Elaborado por:
RITA DEDERLÉ
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Cálculo de área con
LA INTEGRAL DEFINIDA
Área entre dos curvas
• Caso 1
• Caso 2
• Caso 3
Haga clic sobre el vínculo deseado
Slide 3
ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Cuando en un plano se encuentran dos curvas cualesquiera, y entre éstas
existe como mínimo dos puntos de intersección, se dice entonces que existe
un área delimitada por las curvas.
Al momento de decir curvas, nos referimos también a segmentos de línea
recta, que pueden ser representadas por una función.
Existen tres casos para hallar el área entre las curvas, dependiendo de
cómo se cruzan dichas curvas.
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 1
El caso 1 es el más sencillo de todos, basta con solo restar el área de cada
curva, entre los límites de intersección, ya que f(x) cubre en su totalidad a
g(x) debajo de los puntos de intersección
b
A
f ( x ) g ( x ) dx
a
f ( x)
b
A
a
g( x )
a
Para poder aplicar esta fórmula, se debe
cumplir que f(x) > g(x). Esto se puede
deducir fácilmente ya que f(x) está encima
de g(x) con respecto a y. Esto hace a f(x)
más positiva que a g(x).
También es posible integrar en y, para ello,
f ( x ) g ( x ) dxlos límites de integración serían las
intersecciones de las curvas en las
ordenadas. Para este tipo de gráfica, no se
puede aplicar el caso 1, ya que si
integramos en y, g(x) no cubre
completamente a f(x) por debajo de los
b
puntos de intersección.
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Caso 1 – Ejemplo
Consideremos las funciones f(x) = 2x-x2, y g(x) = x. Entonces, para encontrar el
área limitada por ellas se hace necesario conocer los puntos de intersección.
Para hacerlo, igualamos las funciones y despejamos a x para conocer las
coordenadas en las abscisas. Luego, las x de cualquiera de las dos funciones
son reemplazadas por los valores obtenidos de x, así conoceremos las
coordenadas en las y.
Escogemos g(x) por ser más sencilla.
Cuando x = 0, entonces,
f (x) g (x)
2x x x
2
xx 0
2
x (1 x ) 0
g (x) x
y x1
y 0
Cuando x = 1 entonces,
x1 0
g (x) x
x2 1
y x2
y 1
Los puntos
corte son:
a [0, 0]
b [1,1]
de
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Caso 1 – Ejemplo (continuación)
1
A
f ( x ) g ( x ) dx
0
1
A
(2 x x x ) dx
2
0
1
A
( x x ) dx
2
Como se observa en el desarrollo, la integral está
limitada entre 0 y 1, que son lo valores
correspondientes a x1 y a x2. Luego, es simplemente
aplicar la fórmula. Remplazamos f(x) y g(x), respetando
los signos.
El área nunca puede ser negativa. Las unidades del
área se representan por u2 y se lee unidades
cuadradas.
0
1
1 2 1 3
A x x
3 0
2
A
1
2
A 1
1
f ( x)
A
g (x )
1
3
6
u
2
0
1
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 2
El caso 2 presenta áreas donde se hace necesario dividir la integral, o
simplemente integrar una parte y multiplicada por dos. Lo segundo siempre
y cuando sea simétrica.
A1 ≠ A2
A1 = A2
g ( x)
f ( x)
g ( x)
A1
c
A1
a
b
f (x)
c
a
A2
A2
Simétrica
Asimétrica
b
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 2 (continuación)
Cuando se presentan áreas simétricas, la fórmula para hallarla es la
siguiente:
A 2 A1
b
A 2 g ( x ) f ( x ) dx
a
En este caso, se toma a g(x) > que f(x), ya que en el intervalo que se está
integrando [a,b] g(x) está por encima de f(x).
g ( x)
f ( x)
A1
c
a
A2
b
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 2 (continuación)
Para las áreas asimétricas, se debe primero calcular el área A1 y luego la de
A2. El área total será la suma de ambas.
A A1 A2
b
A
g (x)
a
f ( x ) dx
a
f ( x ) g ( x ) dx
c
Se debe tener presente que los
límites de integración cambian de
acuerdo al intervalo calculado,
como también la posición de f(x) y
g(x) dentro de la integral.
g ( x)
A1
f (x)
c
a
A2
b
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Caso 2 - Ejemplo
En este ejemplo, tenemos a f(x) = x3 y a g(x) = 2x-x2. Al igual que en el caso
anterior, debemos encontrar los puntos de corte.
Escogemos f(x) por ser más sencilla.
f (x) g (x)
x 2x x
3
x x 2x 0
3
2
x ( x x 2) 0
2
x ( x 2)( x 1) 0
x1 0
x2 2
x3 1
Cuando x = 0, entonces,
2
y x
3
y0
Cuando x = -2 entonces,
y x
3
y 8
Cuando x = 1 entonces,
y x
y 1
3
Los puntos
corte son:
a [0, 0]
b [1,1]
c [ 2, 8]
de
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Caso 2 – Ejemplo (continuación)
0
A
f ( x ) g ( x ) dx g ( x ) f ( x ) dx
2
0
0
A
1
[ x (2 x x )] dx (2 x x x ) dx
3
2
2
2
2
3
0
0
A
Este ejemplo presenta un
área asimétrica, por lo cual
fue necesario realizar el
cálculo
de
ambos
segmentos de área, y
sumarlos al final.
1
f (x)
1
( x x 2 x ) dx (2 x x x ) dx
3
2
2
A
3
-2
0
0
A 4
8
4 1
3
12
1
3
u
0 1
1
1 4 1 3
2 1 3 1 4
2
A x x x x x x
3
3
4
4
2
0
A 37
1
A
2
g ( x)
1
4
2
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 3
Este último caso se presenta cuando la función que se encuentra en la
parte superior no abarca a toda la otra función por debajo de los puntos de
intersección. Esto se puede observar en la siguiente figura.
Como se observa, la función f(x) no
cubre en su totalidad a g(x), por lo que
se hace necesario partir la integral.
f (x )
A1
g( x )
A
b
c
a
El área total de esta figura será la
suma del doble del área en el
intervalo [c,a] y el doble del área en el
intervalo [a,b].
A 2 A1 2 A2
b
A
a
a
f ( x ) g ( x ) dx
c
f ( x ) dx
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 3 (continuación)
Para conocer los límites de integración para A1 se igualan las funciones
como se ha venido haciendo y hallamos un punto. El otro, se halla usando
las fórmulas de la parábola, que nos permitirán conocer el vértice de la
función. Estas fórmulas también nos permitirán conocer los límites para A2.
Un repaso rápido de las ecuación de la parábola con eje en (h,k) nos
permitirá agilizar el proceso de cálculo.
( x h) 4 p( y k )
2
Abre hacia arriba
2
( x h ) 4 p ( y k ) Abre hacia abajo
( y k ) 4 p( x h)
2
Abre hacia la derecha
( y k ) 4 p ( x h ) Abra hacia la izquierda
2
En las fórmulas, el vértice se conforma por los números que acompañan a
cada incógnita. Por ejemplo, en (x-h) la coordenada en x será h, mientras
que con (x+h) la coordenada en x será –h. Lo mismo ocurre con las
coordenadas en y.
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Caso 3 – Ejemplo
Hallaremos el área encerrada entre y2 = 2x, y y2 = x+4. Primero que todo,
buscaremos el punto de intersección de las dos curvas. Como ambas curvas
tiene en común y2 no se hace necesario despejar y.
2x x 4
x4
Escogemos y2 = 2x para
hacer el reemplazo
y 2x
Los puntos de intersección
son
a [4, 2 2 ]
b [4, 2 2]
2
y
2x
y
2 (4 )
y 2 2
Esto es debido a que el
resultado de una raíz
cuadrada
siempre
es
positiva o negativa.
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Caso 3 – Ejemplo (continuación)
Ya conocemos la intersección entre las dos parábolas, ahora, solo debemos
buscar el vértice de cada una de ellas. Para hacerlo, debemos llevar las
ecuaciones a la fórmula de la parábola, guiándonos de su estructura
anteriormente mostrada. Ya cuando la tengamos en la forma de la ecuación
de la parábola, podemos deducir las coordenadas de los vértices.
y 2x
y x4
( y 0) 2( x 0)
( y 0) ( x 4)
Las coordenadas del
vértice de y2 = 2x son
Las coordenadas del
vértice de y2 = x+4 son
2
2
2
2
x0
x 4
y0
y0
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Caso 3 – Ejemplo (continuación)
4
Se hace necesario despejar y
para poder integrar las funciones.
0
A 2 f ( x ) g ( x ) dx 2 f ( x ) dx
4
0
4
0
A 2 [( x 4)
1/ 2
(2 x )
1/ 2
] dx 2 ( x 4)
dx
4
0
2
A 2
3
1/ 2
( x 4)
3
4
2
3
(2 x ) 2
0
3
1
3
0
3
( x 4)
4
Observamos
que
ambas
integrales están multiplicadas por
2. También se observa que el área
A2 es únicamente la función f(x),
puesto que en ese intervalo, [-4,0]
solo interviene esta.
1
2
2
A 2 8 8 8 8 8 2 (8)
3
3
3
A
32
8
3
A
16
32
3
8
u
16
3
8
f (x )
g( x )
32
3
A1
A2
-4
0
4
2
3
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Gráfica ejemplo caso 1
f ( x) 2 x x
g ( x) x
1
f ( x)
A
g (x )
0
1
2
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Gráfica ejemplo caso 2
f (x)
A
f (x) x
1
g (x) 2 x x
-2
0 1
A
3
2
g ( x)
2
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Gráfica ejemplo caso 3
y x4
2
y 2x
2
f (x )
A1
g( x )
A2
-4
0
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Cálculo de área con
LA INTEGRAL DEFINIDA
Elaborado por:
RITA DEDERLÉ
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Cálculo de área con
LA INTEGRAL DEFINIDA
Área entre dos curvas
• Caso 1
• Caso 2
• Caso 3
Haga clic sobre el vínculo deseado
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Cuando en un plano se encuentran dos curvas cualesquiera, y entre éstas
existe como mínimo dos puntos de intersección, se dice entonces que existe
un área delimitada por las curvas.
Al momento de decir curvas, nos referimos también a segmentos de línea
recta, que pueden ser representadas por una función.
Existen tres casos para hallar el área entre las curvas, dependiendo de
cómo se cruzan dichas curvas.
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 1
El caso 1 es el más sencillo de todos, basta con solo restar el área de cada
curva, entre los límites de intersección, ya que f(x) cubre en su totalidad a
g(x) debajo de los puntos de intersección
b
A
f ( x ) g ( x ) dx
a
f ( x)
b
A
a
g( x )
a
Para poder aplicar esta fórmula, se debe
cumplir que f(x) > g(x). Esto se puede
deducir fácilmente ya que f(x) está encima
de g(x) con respecto a y. Esto hace a f(x)
más positiva que a g(x).
También es posible integrar en y, para ello,
f ( x ) g ( x ) dxlos límites de integración serían las
intersecciones de las curvas en las
ordenadas. Para este tipo de gráfica, no se
puede aplicar el caso 1, ya que si
integramos en y, g(x) no cubre
completamente a f(x) por debajo de los
b
puntos de intersección.
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Caso 1 – Ejemplo
Consideremos las funciones f(x) = 2x-x2, y g(x) = x. Entonces, para encontrar el
área limitada por ellas se hace necesario conocer los puntos de intersección.
Para hacerlo, igualamos las funciones y despejamos a x para conocer las
coordenadas en las abscisas. Luego, las x de cualquiera de las dos funciones
son reemplazadas por los valores obtenidos de x, así conoceremos las
coordenadas en las y.
Escogemos g(x) por ser más sencilla.
Cuando x = 0, entonces,
f (x) g (x)
2x x x
2
xx 0
2
x (1 x ) 0
g (x) x
y x1
y 0
Cuando x = 1 entonces,
x1 0
g (x) x
x2 1
y x2
y 1
Los puntos
corte son:
a [0, 0]
b [1,1]
de
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Caso 1 – Ejemplo (continuación)
1
A
f ( x ) g ( x ) dx
0
1
A
(2 x x x ) dx
2
0
1
A
( x x ) dx
2
Como se observa en el desarrollo, la integral está
limitada entre 0 y 1, que son lo valores
correspondientes a x1 y a x2. Luego, es simplemente
aplicar la fórmula. Remplazamos f(x) y g(x), respetando
los signos.
El área nunca puede ser negativa. Las unidades del
área se representan por u2 y se lee unidades
cuadradas.
0
1
1 2 1 3
A x x
3 0
2
A
1
2
A 1
1
f ( x)
A
g (x )
1
3
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2
0
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 2
El caso 2 presenta áreas donde se hace necesario dividir la integral, o
simplemente integrar una parte y multiplicada por dos. Lo segundo siempre
y cuando sea simétrica.
A1 ≠ A2
A1 = A2
g ( x)
f ( x)
g ( x)
A1
c
A1
a
b
f (x)
c
a
A2
A2
Simétrica
Asimétrica
b
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 2 (continuación)
Cuando se presentan áreas simétricas, la fórmula para hallarla es la
siguiente:
A 2 A1
b
A 2 g ( x ) f ( x ) dx
a
En este caso, se toma a g(x) > que f(x), ya que en el intervalo que se está
integrando [a,b] g(x) está por encima de f(x).
g ( x)
f ( x)
A1
c
a
A2
b
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 2 (continuación)
Para las áreas asimétricas, se debe primero calcular el área A1 y luego la de
A2. El área total será la suma de ambas.
A A1 A2
b
A
g (x)
a
f ( x ) dx
a
f ( x ) g ( x ) dx
c
Se debe tener presente que los
límites de integración cambian de
acuerdo al intervalo calculado,
como también la posición de f(x) y
g(x) dentro de la integral.
g ( x)
A1
f (x)
c
a
A2
b
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Caso 2 - Ejemplo
En este ejemplo, tenemos a f(x) = x3 y a g(x) = 2x-x2. Al igual que en el caso
anterior, debemos encontrar los puntos de corte.
Escogemos f(x) por ser más sencilla.
f (x) g (x)
x 2x x
3
x x 2x 0
3
2
x ( x x 2) 0
2
x ( x 2)( x 1) 0
x1 0
x2 2
x3 1
Cuando x = 0, entonces,
2
y x
3
y0
Cuando x = -2 entonces,
y x
3
y 8
Cuando x = 1 entonces,
y x
y 1
3
Los puntos
corte son:
a [0, 0]
b [1,1]
c [ 2, 8]
de
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Caso 2 – Ejemplo (continuación)
0
A
f ( x ) g ( x ) dx g ( x ) f ( x ) dx
2
0
0
A
1
[ x (2 x x )] dx (2 x x x ) dx
3
2
2
2
2
3
0
0
A
Este ejemplo presenta un
área asimétrica, por lo cual
fue necesario realizar el
cálculo
de
ambos
segmentos de área, y
sumarlos al final.
1
f (x)
1
( x x 2 x ) dx (2 x x x ) dx
3
2
2
A
3
-2
0
0
A 4
8
4 1
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12
1
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u
0 1
1
1 4 1 3
2 1 3 1 4
2
A x x x x x x
3
3
4
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0
A 37
1
A
2
g ( x)
1
4
2
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 3
Este último caso se presenta cuando la función que se encuentra en la
parte superior no abarca a toda la otra función por debajo de los puntos de
intersección. Esto se puede observar en la siguiente figura.
Como se observa, la función f(x) no
cubre en su totalidad a g(x), por lo que
se hace necesario partir la integral.
f (x )
A1
g( x )
A
b
c
a
El área total de esta figura será la
suma del doble del área en el
intervalo [c,a] y el doble del área en el
intervalo [a,b].
A 2 A1 2 A2
b
A
a
a
f ( x ) g ( x ) dx
c
f ( x ) dx
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ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Caso 3 (continuación)
Para conocer los límites de integración para A1 se igualan las funciones
como se ha venido haciendo y hallamos un punto. El otro, se halla usando
las fórmulas de la parábola, que nos permitirán conocer el vértice de la
función. Estas fórmulas también nos permitirán conocer los límites para A2.
Un repaso rápido de las ecuación de la parábola con eje en (h,k) nos
permitirá agilizar el proceso de cálculo.
( x h) 4 p( y k )
2
Abre hacia arriba
2
( x h ) 4 p ( y k ) Abre hacia abajo
( y k ) 4 p( x h)
2
Abre hacia la derecha
( y k ) 4 p ( x h ) Abra hacia la izquierda
2
En las fórmulas, el vértice se conforma por los números que acompañan a
cada incógnita. Por ejemplo, en (x-h) la coordenada en x será h, mientras
que con (x+h) la coordenada en x será –h. Lo mismo ocurre con las
coordenadas en y.
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Caso 3 – Ejemplo
Hallaremos el área encerrada entre y2 = 2x, y y2 = x+4. Primero que todo,
buscaremos el punto de intersección de las dos curvas. Como ambas curvas
tiene en común y2 no se hace necesario despejar y.
2x x 4
x4
Escogemos y2 = 2x para
hacer el reemplazo
y 2x
Los puntos de intersección
son
a [4, 2 2 ]
b [4, 2 2]
2
y
2x
y
2 (4 )
y 2 2
Esto es debido a que el
resultado de una raíz
cuadrada
siempre
es
positiva o negativa.
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Caso 3 – Ejemplo (continuación)
Ya conocemos la intersección entre las dos parábolas, ahora, solo debemos
buscar el vértice de cada una de ellas. Para hacerlo, debemos llevar las
ecuaciones a la fórmula de la parábola, guiándonos de su estructura
anteriormente mostrada. Ya cuando la tengamos en la forma de la ecuación
de la parábola, podemos deducir las coordenadas de los vértices.
y 2x
y x4
( y 0) 2( x 0)
( y 0) ( x 4)
Las coordenadas del
vértice de y2 = 2x son
Las coordenadas del
vértice de y2 = x+4 son
2
2
2
2
x0
x 4
y0
y0
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Caso 3 – Ejemplo (continuación)
4
Se hace necesario despejar y
para poder integrar las funciones.
0
A 2 f ( x ) g ( x ) dx 2 f ( x ) dx
4
0
4
0
A 2 [( x 4)
1/ 2
(2 x )
1/ 2
] dx 2 ( x 4)
dx
4
0
2
A 2
3
1/ 2
( x 4)
3
4
2
3
(2 x ) 2
0
3
1
3
0
3
( x 4)
4
Observamos
que
ambas
integrales están multiplicadas por
2. También se observa que el área
A2 es únicamente la función f(x),
puesto que en ese intervalo, [-4,0]
solo interviene esta.
1
2
2
A 2 8 8 8 8 8 2 (8)
3
3
3
A
32
8
3
A
16
32
3
8
u
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3
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f (x )
g( x )
32
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A1
A2
-4
0
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Gráfica ejemplo caso 1
f ( x) 2 x x
g ( x) x
1
f ( x)
A
g (x )
0
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Gráfica ejemplo caso 2
f (x)
A
f (x) x
1
g (x) 2 x x
-2
0 1
A
3
2
g ( x)
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Gráfica ejemplo caso 3
y x4
2
y 2x
2
f (x )
A1
g( x )
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