Transcript Document

ISS



– D1: Podstawy dyskretnych UAR
Pojęcia podstawowe.
Układami dyskretnymi nazywamy układy, w których
informacja jest przekazywana za pomocą sygnałów
dyskretnych (nieciągłych).
Rozróżniamy sygnały dyskretne w poziomie i sygnały
dyskretne w czasie.
Sygnałem dyskretnym w poziomie nazywamy sygnał,
który przyjmuje dwie lub więcej wartości dyskretnych.
Sygnałem dyskretnym w czasie nazywamy sygnał
będący ciągiem impulsów. Przekształcenie sygnału
ciągłego w dyskretny nazywamy kwantowaniem
sygnału. Istnieje zatem kwantowanie w poziomie i w
czasie. Skwantowanie tylko w poziomie odpowiada
układom przekaźnikowym lub progowym. Są one
traktowane jako nieliniowe.
1
ISS



– D1: Podstawy dyskretnych UAR
D e f i n i c j a: Układy z kwantowaniem sygnału w
czasie nazywamy układami impulsowymi.
Układy impulsowe są więc układami regulacji
automatycznej,
w
których
informacja
jest
przekazywana tylko w dyskretnych chwilach,
zwanych chwilami impulsowania.
Układy impulsowe mogą być układami liniowymi lub
nieliniowymi. W liniowych układach impulsowych
wartości sygnałów w dyskretnych chwilach czasu są
związane zależnościami liniowymi.
2
ISS


– D1: Podstawy dyskretnych UAR
Sygnały dyskretne wykorzystywane są głównie w
technice przesyłu informacji (głównie modulacji
częstotliwości kodowo-impulsowej), a w technice
sterowania wykorzystuje się modulacje pola sygnału
(szerokość i wysokość) do wysterowania urządzenia
wykonawczego (z uwagi na to, że moc impulsu jest
proporcjonalna do pola).
Idealny impuls (o określonej amplitudzie i zerowym
czasie trwania) nie jest użyteczny (nie „niesie”
energii), stąd też zastępuje się go impulsatorem
rzeczywistym zwanym układem formującym.
3
ISS
– D1: Podstawy dyskretnych UAR
h(t)
1
t
Impulsator rzeczywisty
Wyznaczanie transmitancji członu
formującego
g f  t   1 t   1 t  T 
T
1 1 Ts 1  eTs
G f  s   L[ g f  t ]   e 
s s
s

Element przetwarzający segment
ciągły na dyskretny nazywa się
impulsatorem.
4
ISS
– D1: Podstawy dyskretnych UAR
Idealny impulsator (nierealizowalny fizycznie) przekształca
funkcję ciągłą czasu e(t) w ciąg idealnych impulsów:
e o  t  , e T   t  T  ,..., e nT   t  nT  ,...
Proces modulacji jest zatem z matematycznego punktu
widzenia równoważny pomnożeniu funkcji e(t) przez tzw.
funkcję impulsowania.
s t  

   t  nT 
n 
5
ISS
– D1: Podstawy dyskretnych UAR
Zakładamy e(t)=0 dla t<0, zatem funkcja

e *  t   e t  s t    e nT   t  nT 
n0
jest funkcją dyskretną.
Z dowolnej funkcji ciągłej otrzymujemy dyskretną, jeżeli
weźmiemy pod uwagę tylko ciąg dyskretnych wartości tej
funkcji.
6
ISS
– D1: Podstawy dyskretnych UAR
W dalszej analizie będziemy brali pod uwagę
funkcje dyskretne dla okresu impulsowania równego
jedności (T=1). Funkcję dyskretną o dowolnym okresie
impulsowania można zawsze sprowadzić do funkcji o
jednostkowym czasie impulsowania przez podstawienie
t
t
T
Np.
f(t)=f(nT)
t
 nT 
f  t   f    f    f  n
T
 T
7
ISS
– D1: Funkcje dyskretne
Różnice i sumy funkcji dyskretnych.
Weźmy pod uwagę ciąg wartości funkcji dyskretnej f(0), f(1), f(2),...,f(n)
D e f i n i c j a: Różnicę pierwszego rzędu
f  m
funkcji dyskretnej f(n) w punkcie n=m określamy za pomocą wzoru:
df
f  m  f  m  1  f  m
D e f i n i c j a : Różnicę k-tego rzędu
k f  m
funkcji dyskretnej f(n) w punkcie n=m określamy za pomocą wzoru:
df
 f  m  k 1 f  m  1  k 1 f  m
k
U: Różnica funkcji dyskretnej jest analogiem pochodnej.
8
ISS
– D1: Funkcje dyskretne
D e f i n i c j a: Sumą funkcji dyskretnej nazywamy funkcje
dyskretną określona wzorem:
df m1
 m   f  i 
m = 1,2,...
i 0
U: Suma jest analogiem całki.
9
ISS
– D1: Funkcje dyskretne
Równanie różnicowe.
k

f  m
Wyznaczmy ogólny wzór na różnicę k-tego rzędu
2 f  m  f  m  1  f  m  f  m  2  f  m  1   f  m  1  f  m  
 f  m  2  2 f  m  1  f  m
3 f  m  2 f  m  1  2 f  m 
 f  m  3  2 f  m  2  f  m  1   f  m  2  2 f  m  1  f  m  
 f  m  3  3 f  m  2  3 f  m  1  f  m
Uogólniając powyższe otrzymujemy:
k
k!
 f  m     1
f  m  k  i
 k  1 !i !
i 0
k
i
Z powyższej zależności wynika, że różnicę k-tego rzędu funkcji
dyskretnej można wyrazić za pomocą k+1 kolejnych wartości tej funkcji. 10
ISS
– D1: Funkcje dyskretne
D e f i n i c j a: Różnicowym równaniem liniowym k-tego rzędu
o stałych współczynnikach ak, ak-1,...a0 nazywamy równanie o postaci:
ak k x n  ak 1k 1x n ...a0 x n  f  n
ak  0
gdzie f(n) - dana funkcja dyskretna.
Gdy f(n)≠0 mamy równanie różnicowe niejednorodne,
gdy f(n) = 0 mamy równanie różnicowe jednorodne.
Korzystając z równania (*) możemy równanie różnicowe przedstawić
w równoważnej postaci:
bk x n  k   bk 1 x n  k  1 ...b0 x n  f  n
11