Slide 1

AUTOMATYKA
i
ROBOTYKA
(wykład 5)
Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz
Nazwa wydziału: WIMiR
Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH


Slide 2

Schematy blokowe układów sterowania i ich
przekształcenia
Połączenie szeregowe
U(s)

G1(s)

G2(s)

Gn(s)

U(s)

n

G (s) 



i 1

Y(s)

Gi (s)

Y(s)

G(s)


Slide 3

Schematy blokowe układów sterowania i ich
przekształcenia
Połączenie równoległe

G1(s)
+

U(s)

Y(s)

U(s)

Y(s)

G2(s)

G(s)

Gn(s)

n

G (s) 

G
i 1

i

(s)


Slide 4

Schematy blokowe układów sterowania i ich
przekształcenia
Połączenie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym
U(s)

+

Y(s)

G1(s)

U(s)

Y(s)

G(s)

H(s)

G (s) 

G1 ( s )
1  G1 ( s ) H ( s )


Slide 5

Schematy blokowe układów sterowania i ich
przekształcenia
Połączenie z dodatnim sprzężeniem zwrotnym
U(s)

Y(s)

+

G1(s)

+
U(s)

H(s)

G (s) 

G(s)

G1 ( s )
1  G1 ( s ) H ( s )


Slide 6

Schematy blokowe układów sterowania i ich
przekształcenia

Przenoszenie węzła zaczepowego:
U(s)

Y(s)

G(s)

U(s)

Y(s)

G(s)
Y(s)

G(s)

Y(s)


Slide 7

Schematy blokowe układów sterowania i ich
przekształcenia
Przenoszenie węzła zaczepowego:

U(s)

Y(s)

G(s)

U(s)

Y(s)

G(s)
U(s)

Y(s)

1/G(s)


Slide 8

Schematy blokowe układów sterowania i ich
przekształcenia
Przenoszenie węzła sumacyjnego:

U1 (s)

U2 (s)

Y(s)

G(s)

U1 (s)

Y(s)

G(s)

U2 (s)

G(s)


Slide 9

Schematy blokowe układów sterowania i ich
przekształcenia
Przenoszenie węzła sumacyjnego:
U1 (s)

Y(s)

G(s)

U2 (s)
U1 (s)

Y(s)

G(s)
U2 (s)

1/G(s)


Slide 10

Upraszczanie schematów blokowych - przykład

G4(s)
U1 (s) +

+

G1(s)
-

1
U2 (s)

+

G2(s)

G3(s)

-

G5(s)


Slide 11

Upraszczanie schematów blokowych - przykład

G3-1(s)

G4(s)
U1 (s) +

+

G1(s)
-

U2 (s)

+

G2(s)

G3(s)

-

G5(s)
2


Slide 12

Upraszczanie schematów blokowych - przykład

G3-1(s)

G4(s)
U1 (s) +

+

G1(s)
3

G 2  s G 3 ( s )

1  G 2 ( s ) G 3  s G 5 ( s )

U2 (s)


Slide 13

Upraszczanie schematów blokowych - przykład

G4(s)

G3-1(s)

5
U1 (s) +

+

-

G 1  s G 2  s G 3 ( s )

1  G 2 ( s ) G 3  s G 5 ( s )

U2 (s)


Slide 14

Upraszczanie schematów blokowych - przykład

G4(s)G3-1(s)

U1 (s) +

+

-

G 1  s G 2  s G 3 ( s )

U2 (s)

1  G 2 ( s ) G 3  s G 5 ( s )
6


Slide 15

Upraszczanie schematów blokowych - przykład

G 1  s G 2  s G 3 ( s )

U1 (s) +

1  G 2 ( s ) G 3  s G 5 ( s )
-

1-G4(s)G3-1(s)
7

U2 (s)


Slide 16

Upraszczanie schematów blokowych - przykład

U1 (s)

G 1  s G 2  s G 3 ( s )

1  G 2 ( s ) G 3  s G 5 ( s )  G 1 ( s ) G 2 ( s ) G 3  s (1  G 4  s G 3  s )
1

U2 (s)


Slide 17

Przykłady analogii pomiędzy układami
elektrycznymi i mechanicznymi
Przykład 1
Dwójnik RC
i(t)

ic

R

du c ( t )
dt

u(t)

C

uc(t)

i

u c (t )  u (t )
R

G (s) 

U c (s)
U (s)



1
RCs  1


Slide 18

Przykłady analogii pomiędzy układami
elektrycznymi i mechanicznymi
Zbiornik ciśnieniowy:

pz(t)

C

R

p(t)
q(t)

pz(t) – ciśnienie zasilające,
R – opór pneumatyczny,
q(t) -natężenie przepływu,
C – pojemność zbiornika,
p(t) – ciśnienie w zbiorniku


Slide 19

Przykłady analogii pomiędzy układami
elektrycznymi i mechanicznymi
Zależności w zbiorniku:

q (t )  C

dp ( t )
dt

q (t ) 

p (t )  p z (t )
R

G (s) 

P (s)
Pz ( s )



1
RCs  1


Slide 20

Przykłady analogii pomiędzy układami
elektrycznymi i mechanicznymi
Analogie w przykładzie 1:
Układ elektryczny

Układ pneumatyczny

Natężenie prądu i(t)

Natężenie przepływu q(t)

Napięcie u(t)

Różnica ciśnień p(t)

Rezystancja R

Opór pneumatyczny R

Pojemność elektryczna C

Pojemność zbiornika C


Slide 21

Przykłady analogii pomiędzy układami
elektrycznymi i mechanicznymi

Przykład 2
Obwód RLC
L

R

u1(t)

C

i(t)

uc(t)


Slide 22

Przykłady analogii pomiędzy układami
elektrycznymi i mechanicznymi

k
Układ mechaniczny:

m

f(t)

R


Slide 23

Przykłady analogii pomiędzy układami
elektrycznymi i mechanicznymi
Analogie w przykładzie 2:
Układ elektryczny

Natężenie prądu i(t)
Napięcie u(t)
Rezystancja R (element
rozpraszający energię )
Pojemność elektryczna C (element
magazynujący energię potencjalną
)
Indukcyjność L (element
magazynujący energię kinetyczną )

Układ mechaniczny

Prędkość v(t)
Siła f(t)
Współczynnik tarcia R (element
rozpraszający energię )
Stała sprężystości k (element
magazynujący energię
potencjalną )
masa m (element magazynujący
energię kinetyczną )


Slide 24

Przykłady analogii pomiędzy układami
elektrycznymi i mechanicznymi
W układzie dynamicznym oscylacje mogą wystąpić
tylko wtedy, gdy:
• są w nim magazyny energii zarówno kinetycznej, jak i
potencjalnej,
• Rozpraszanie energii podczas przejścia jednej formy
w drugą nie jest zbyt silne.
• Matematyczne warunki na wystąpienie oscylacji były
podane na wykładzie 4.


Slide 25

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
Uwagi wstępne
•Model systemu dynamicznego opisany równaniem
stanu dostarcza znacznie więcej informacji o
systemie, niż model transmitancyjny, omawiany
dotychczas.
•Budowa modelu w postaci równania stanu wymaga
większej wiedzy o modelowanym procesie, niż ma to
miejsce w przypadku modelu transmitancyjnego.


Slide 26

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.

Definicja
Stanem procesu nazywamy zbiór liniowo niezależnych
wielkości x1(t) … xn(t):
1. określających w pełni skutki przeszłych ( w przedziale
czasu [0, t0 ] ) oddziaływań na system,
2. wystarczający do wyznaczenia przebiegów dowolnych
wielkości w systemie w przyszłości. ( dla t > t0 )

Wielkości x1(t) … xn(t) – zmienne stanu


Slide 27

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
Zmienne stanu budują wektor stanu systemu:

 x1 ( t ) 


x 2 (t )
n


R
x (t ) 
.... 


 x n (t ) 


Slide 28

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
Uwagi nt. wektora stanu:
• Znajomość stanu procesu w chwili początkowej
x(t0) oraz sterowań U w przedziale [t0;t1) pozwala na
wyznaczenie stanu x i wyjścia procesu y w
przedziale (t0;t1) .
• Wybór wektora stanu dla procesu nie jest
jednoznaczny dla tego samego systemu można
wybrać wiele równoważnych wektorów stanu) .
• Liczba zmiennych stanu procesu równa jest liczbie
niezależnych zbiorników energii w układzie.


Slide 29

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
R
Przykład:
a/ układ opisany
1 zmienną stanu:
Jest nią uc(t)

C1

u1(t)

uc (t)

C2

i(t)
R

u1(t)
b/ układ opisany 2
zmiennymi stanu:
Są to uc1(t) i uc2(t)

C1

i(t)

uc1 (t)

i2 (t)

C2

uc2 (t)


Slide 30

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
Znajomość zmiennych stanu pozwala na wyznaczenie
wszystkich innych wielkości w systemie.

Przypadek a/:

i (t ) 

u1 (t )  u c (t )
R

i2 (t ) 

u c1 ( t )  u c 2 ( t )
R

Przypadek b/:

i (t )  i2 (t )  C 1

du c 1 ( t )
dt


Slide 31

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.

•Zmienne stanu najczęściej są powiązane z sobą
zależnością w postaci równania różniczkowego.
•W przypadku ogólnym stan systemu x(t) nie jest
dostępny (mierzalny). Dostępne jest tylko wyjście
systemu opisane przez y(t).


Slide 32

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.
Wektor sterowań:

u1 (t ) 


u 2 (t )
 R
u (t )  
....



 u p ( t ) 

p

Wektor sterowań opisuje od strony formalnej
wszystkie oddziaływania sterujące działające na
system .


Slide 33

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.
Wektor wyjść:

 y1 ( t ) 


y 2 (t )
r


y (t ) 
R
.... 


 y r (t ) 
Wektor wyjść opisuje tę część systemu, która jest
dostępna do obserwacji i pomiarów.


Slide 34

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.
Równanie
stanu
jest
wektorowym
równaniem
różniczkowym I rzędu (liniowym lub nieliniowym)
Nieliniowe ciągłe równanie stanu:

x ( t )  f ( x ( t ), u ( t ), t )
Nieliniowe równanie wyjścia:

y ( t )  g ( x ( t ), u ( t ), t )
f, g – funkcje wektorowe o odpowiednich wymiarach


Slide 35

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.
Schemat blokowy systemu opisanego nieliniowym ciągłym
równaniem stanu:

u(t)

x ( t )  f ( x ( t ), u ( t ), t )

x(t)

y ( t )  g ( x ( t ), u ( t ), t )

y(t)


Slide 36

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
Równanie stanu dla systemu liniowego stacjonarnego:

 x ( t )  Ax ( t )  Bu ( t )

 y ( t )  Cx ( t )  Du ( t )
Gdzie:
A- macierz stanu o wymiarze n x n,
B – macierz sterowań o wymiarze n x p,
C – macierz wyjść o wymiarze r x n,
D – macierz bezpośrednich sterowań o
wymiarze r x p