Transcript 第十五章量子物理基础

第十五章
量子物理基础
§15-1 黑体辐射、普朗克量子假说
§15-2 光的量子性
§15-3 玻尔的氢原子理论
§15-4 粒子的波动性
§15-5 测不准关系
§15-6 波函数 薛定谔方程
§15-7 薛定谔方程在几个一维问题中的应用
§15-8 量子力学对氢原子的处理
§15-9 斯特恩－盖拉赫实验
§15-10 电子自旋
§15-11 原子的壳层结构
1
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§ 15-1 黑体辐射、普朗克量子假说
一、热辐
射1 、辐射：
指物质以发射电磁波的形式向外界输出能量。如
化学发光、光致发光、场致发光、阴极发光、热辐射等。
2、热辐射：
组成物质的诸微观粒子在热运动时都要使物体辐射电磁波，
产生辐射场。这种与温度有关的辐射现象，称为热辐射。
3 、热辐射的一般特点：
(1）物质在任何温度下都有热辐射。
(2）温度越高，发射的能量越大，发射的电磁波的波长越短。
4 、平衡热辐射
在任一时刻,如果物体辐射的能量等于所吸收的能量，辐射过
程达到热平衡，称为平衡热辐射。此时物体具有固定的温度。
以下只讨论平衡热辐射。
2
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二、单色辐射本领
为了定量地描述不同物体在不同的温度下物体进行热辐射
的能力，而引入单色辐射本领。
1,单色辐射本领 Mλ(T)
单位时间内从物体单位表面发出的波长在λ附近单位波长
间隔内的电磁波的能量 M λ（ T ）称单色辐射本领。(或单
色辐出度)
即
dM 
M  (T ) 
d
• 单色辐射本领 M λ（ T ）是温度 T 和波长λ的函数。
• 单色辐射本领反映了在不同温度下辐射能按波长分布的情况。
• 实验表明：不同的物体，不同的表面（如光滑程度）其单色
辐射本领是大不相同的。
（例如：如果我们目的是散热，则应：加大表面积，使表面粗
糙，使其颜色加深）
3
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2 、吸收比 反射比
定律
（ 1 ）吸收比反射比
基尔霍夫
吸收比：物体吸收的能量和入射总能量的比值，（，T）
反射比：物体反射的能量和入射总能量的比值，（，T)
（ 2 ）基尔霍夫定律
基尔霍夫在 1860 年从理论上推得物体单色辐射本领与
单色吸收比之间的关系:
所有物体的单色辐射本领 Mλ(T) 与该物体的单色吸收比
的比值为一恒量。
M  (T )
 恒量
 (  T )
①这个恒量与物体的性质无关，而只与物体的温度和辐射
能的波长有关。
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②说明单色吸收比大的物体，其单色辐出度也大。
（例如黑色物体，吸热能力强，其辐出本领也大）
③若物体不能发射某一波长的辐射能，那么该物体也就不能吸
收这一波长的辐射能。
＊关于物体颜色的说明：――均指可见光范围。例如，
红色――表示除红光外，其余都吸收（余类推）
白色――表示对所有波长的光都不吸收。
黑色――表示对所有波长的光都吸收。
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三、绝对黑
体1 、绝对黑体模型
有一类物体不论它们组成成分如何，它们在常温下，几乎对
所有波长的辐射能都能吸收。
例如优质烟煤和黑色珐琅对太阳光的吸收能力可达 99 ％。
黑体: 能完全吸收照射到它上面的各种波长的光的物体。
由于物体辐射的光和吸收的光相同，因此黑体能辐射各种波
长的光，它的M (T）最大且只和温度有关。
用不透明材料制成的开一个小孔的空
腔，小孔面积远小于空腔内表面积，射
入的电磁波能量几乎全部被吸收。小孔
能完全吸收各种波长的入射电磁波而成
为黑体模型。
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2 、绝对黑体就是吸收系数( ,T)＝1的物体。
由基尔霍夫定律
M1 (T )
M 2 (T )
ＭＢ（Ｔ）


 ＝
＝ＭＢ（Ｔ）

1 (  T )  2 (  T )
（


Ｔ）
B
可知，这类物体在温度相同时，发射的辐射能按波长分布的
规律就完全相同。
式中 MB(T）叫做绝对黑体的单色辐射本领。
（ 1 ）任何物体的单色辐射本领和单色吸收比等于一个恒量，
而这个恒量就是同温度下绝对黑体的单色辐射本领。
（ 2 ）若知道了绝对黑体的单色辐射本领，就可了解所有物
体的辐射规律，因此，研究绝对黑体的辐射规律就对研究热
辐射极为重要。
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3 、绝对黑体单色辐射本领按波长分布曲线
MBλ(T) 只和温度有关
保持一定温度，用实验方法可测出单色辐射本领随波长的
变化曲线。取不同的温度得到不同的实验曲线，如图：
MB（T）
2000
3000
(Å)
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对待这个实验曲线，许多物理学家从不同的侧面进行了研究，
并得出许多重要结论，下面是有代表意义的两条：
 斯忒藩――玻尔兹曼定律
该定律主要是计算分布曲线下的面积

M B T    M B T d
0
MB T  T
4
  5.67010 W .m .K
8
2
 维恩位移定律
4
称为斯忒藩常数
T m  b
由图可看出，对应于每一条单色辐射本领按波长分布的曲
线都有一个极大值，与这极大值对应的波长，叫做峰值波长 λm.
3
b  2.89810 m.K
称维恩常数
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四、经典物理学所遇到的困难
上述结果并没有给出单色辐射本领的具体函数式，十九世
纪末，有许多物理学家用经典理论导出的MB（T）公式与实
验结果不符合，其中最典型的是维恩公式和瑞利—金斯公式。
1 、维恩公式
维恩假设：黑体的辐射可看成是由许多具有带电的简谐振
子（分子，原子的振动）所发射，辐射能按频率（波长）分
布的规律类似于麦克斯韦分子速度分布律，于 1896 年得出
绝对黑体的单色辐出度与波长、温度关系的一个半经验公式。
c1
E d  c  / T d
e
3
2
M B (T )  C1 e
5

C2
T
按照这个函数绘制出的曲线,其在高频 (短波) 部份与实验
曲线能很好地相符,但在低频 (长波) 部份与实验曲线相差较远。
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E
实验结果
瑞-金线
维恩线

2 、瑞利－金斯公式
他们把分子物理中的能量按自由度均分原理运用到电磁
辐射上，并认为在黑体空腔中辐射的电磁波是谐振子所发射
的驻波，这样得到的公式为
11
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8
2
E d 3 kT d
c
M B (T )  2c kT
4
在低频段，瑞--金线与实验曲线符合得很好；
在高频段，瑞--金线与实验曲线有明显的偏离
其短波极限为无限大(0，E)“紫外灾难”。
E
瑞-金线
实验结果
维恩线

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五、普朗克的能量子假说和黑体辐射公式
普朗克既注意到维恩公式在长波(即低频）方面的不足，
又注意到了瑞利－金斯在短波（即高频）方面的不足，为了找
到一个符合黑体辐射的表达式，普朗克作了如下两条假设。
1 、普朗克假定（ 1900 年）
(1) 黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子辐射电磁波，并和
周围的电磁场交换能量。
(2)这些谐振子的能量不能连续变化，只能取一些分立值，这
些分立值是最小能量ε的整数倍，
ε,2ε， 3ε，…， nε，
n 为正整数，
而且假设频率为ν的谐振子的最小能量为
ε=hν
 称为能量子， h 称为普朗克常数
h=6.6260755 × 10-34 J · s 。
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2 、普朗克公式
能量不连续的概念是经典物理学完全不容许的。
但从这个假定出发，导出了与实验曲线极为符合的普朗
克公式：
E  d 
c1
e
c2  / T
3
1
d
1
M B (T )  2hc 
2 5
e
hc
kT
1
当，趋于维恩公式；
当0，趋于瑞利—金斯公式。
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3 、普朗克假设的意义
 当时普朗克提出能量子的假设并没有很深刻的道理，仅仅
是为了从理论上推导出一个和实验相符的公式。
 这件事本身对物理学的意义是极其深远的。能量子假设是
对经典物理的巨大突破，它直接导致了量子力学的诞生。
 能量子概念在提出5年后没人理会，首先是爱因斯坦认识
到其深远的意义，并成功地解释了“固体比热”和“光电效
应”。
 普朗克本入一开始也没能认识到这一点。13年后才接受了
他自己提出的这个概念（1918年，获诺贝尔奖）。
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§ 15-2 光的量子性
一、光电效应
金属及其化合物在光波的照射下
发射电子的现象称为光电效应，所发
射的电子称为光电子。
1 、实验装置
2 、光电效应的实验规律
（ 1 ）饱和光电流强度 Im 与入射
光强成正比（ν不变）。
当光电流达到饱和时，阴极 K 上
逸出的光电子全部飞到了阳极上。
单位时间内从金属表面逸出的光电子
数和光强成正比
即 ne  I 
又 Im ＝ n e e
GD
光
A
K
G
V
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（ 2 ）光电子的最大初动能随入射光的频率增大而增大
截止电压(遏止电势差）
当电压 U=0 时，光电流并不为
零；只有当两极间加了反向电压 U=
Ua<0 时，光电流才为零，此电压称
为截止电压 (遏止电势差) 。
im2
im1
I2>I1
-Ua
U
这表明：从阴极逸出的光电子必有初动能 (指光电子
刚逸出金属表面时具有的动能) 则对于最大初动能有
1 2
mv m  eU a
2
光电子的最大初动能与入射光强无关。
(可利用此公式，用测量遏止电势差的方法来测量光电子的
最大初动能)
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截止电压 Ua 与入射光频率ν呈线性关系
实验表明，截止电压与光的强度无关，但与光频率成线性关系，
Ua  K  U0
k ：与金属材料无关的普适常数。
U0 ：对同一金属是一个常量，不同金
属不同。
1
2
mv
m  eU a 代入上式可得
把
2
Ua
O
Cs
v0
Na
v
1 2
mv m  eU a  ek   eU 0
2
从金属表面逸出的最大初动能,随入射光的频率 v 呈线性增加。
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(3)只有当入射光频率大于一定的红限频率0 时，才会产生
光电效应。
U0
0 
K
eU 0
1
2
  0
m v m
2
0
当入射光频率降低到0 时，光电子的最大初动能为零,若
入射光频率再降低，则无论光强多大都没有光电子产生，不发
生光电效应。0 称为这种金属的红限频率 (截止频率)。
（ 4 ）光电效应是瞬时发生的
实验表明，只要入射光频率 > 0 ，无论光多微弱，从光照
射阴极到光电子逸出，驰豫时间不超过 10-9 S ，无滞后现象。
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二、经典物理学所遇到的困难
1、逸出功，初动能与光强、频率的关系
按照经典的物理理论，金属中的自由电子是处在晶格上正电
荷所产生的“势阱”之中。这就好象在井底中的动物，如果没
有足够的能量是跳不上去的。
自由态
逸
出
功
束缚态
当光波的电场作用于电子，电子将从光波中吸取能量，克
服逸出功，从低能的束缚态，跳过势垒而达到高能的自由态，
并具有一定的初动能。
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按照经典的波动理论，光波的能量应与光振幅平方成正比亦
即应与光强有关。因此，按经典理论，光电子的初动能应随入
射光强度的增加而增加。
但实验表明，光电子的初动能与光强无关，而只与入射光的
频率呈线性增加，且存在光电效应的频率红限。
2、 光波的能量分布在波面上，电子积累能量需要一段时
间，光电效应不可能瞬时发生。
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三、爱因斯坦的光量子论及爱因斯坦方程
1 ．普朗克的假定是不协调的
普朗克假定物体只是在发射或吸收电磁辐射时才以“量子”
的方式进行，并未涉及辐射在空间的传播。相反，他认为电磁
辐射在空间的传播还是波动的。
2. 爱因斯坦光量子假设（ 1905 ）
(1)电磁辐射是由以光速 c 运动，并局限于空间某一小范围
的光量子 (光子) 组成，每一个光量子的能量ε与辐射频率
ν的关系为
  h
h 为普朗克常数 h=6.626176 × 10-34 J · s
(2)光量子具有“整体性”，一个光子只能整个地被电子吸
收或放出。
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（３）一束光就是一束以光速运动的粒子流，单色光的能流密
度，等于单位时间内通过单位面积的光子数与每个光子能量之
积，即
S  n h
nφ 表示单位时间内通过单位面积的光子数。
这也说明，在能量密度一定时，每个光子的能量越大（即
频率越高）光子数 n 就越小。
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3 、对光电效应的解释
光照射到金属表面时，一个光子的能量可以立即被金属中
的电子吸收,但只有当入射光的频率足够高，以致每个光量子
的能量足够大时，电子才有可能克服逸出功逸出金属表面。
根据能量守恒与转换律
1
2
h  mvm  A
2
称爱因斯坦光电效应方程
1
mv m2  h  A
2
因此存在红限频率
A
0 
h
24
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又因为
S  n h
Im=nee
I=n  hv
式中Im是饱和电流，，ne是单位时间从金属表面逸出的光电
子数；I是光强，n是单位时间通过单位面积的光子数。
ne  n 
I m  I
v 一定时，光强大的光束，说明包含的光子数多，其照射到金
属板上被电子吸收的机会也多，因而从金属中逸出的电子数也
多，这就说明了光电流随光强增加而增加。
在光子流中，光的能量集中在光子上，电子与光子相遇，
只要hv足够大，电子就可以立刻吸收一个光子的能量而逸出金
属表面，因而不会出现滞后效应。
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四、光的波粒二象性
描述光的波动性：波长λ，频率ν
描述光的粒子性：能量ε，动量 P
  h
每个光子的能量
2  p2c2  m02c4
按照相对论的质能关系
光子无静质量 m0=0
光子的动量
引入
h h
p 

c
c

h

2
  h  

2
k
n

  2
h
p  n  k

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光子具有动量，显示其有粒子性； 光子具有波长，又说
明其有波动性；这说明，光具有波粒二象性，即在传播过程中
显示它的波动性（如干涉，衍射等）,而在光与实物粒子相互
作用时，又显示它的粒子特性。光的波粒二重特性，充分地包
含在
  h
p 
h

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五、光电效应的应用
1,测量普朗克常数 h
1 2
mv m  ek   eU 0
2
1
2
mv m  h  A
2
将爱氏方程与实验方程结果比较有
h  ek
K 可由实验测定，由此可测出值 h ，也能检测爱氏方程
的正确与否。
2 、有声电影、电视、闪光计数器、自动控制中都有着重
要作用。
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六、康普顿效应
1922 — 1923 年康普顿研究了 X 射线被较轻物质 ( 石
墨,石蜡等) 散射后 X 光的成分，发现散射谱线中除了有波
长与原入射 X 波长相同的成分外，还有波长较长的成分，这
种散射现象称为康普顿散射或康普顿效应。
康普顿效应进一步证实了光的量子性。
1 ．实验装置：
X射线源
铅板
散射物质 探测器
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2 ．实验规律
在散射的 X 射线中，除有波长与入射线相同的成分外，
还有波长较长的成分。波长的偏移量为
h
2h
2 
    0 
(1  cos ) 
sin
m0c
m0c
2
λ
0
：入射波波长，λ：散射波波长
：散射角
康普顿散射的波长偏移与散射角的关系如下图所示
I
=0o
=45o
=90o
0
=135o


30
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3 ．康普顿效应的特点：
（ 1 ）波长偏移Δλ只与散射角有关，而与散射物质及入射
X 射线的波长λ0 无关：
  0   0
I
=0o
  0
 0  
  0

=45o
 
=90o
（ 2 ）只有当入射波长λ0 与
电子的康普顿波长λc 可比拟
时，康普顿效应才显著,因此
选用 X 射线观察。
电子的康普顿波长：
=135o
0


0
h
 0.024263A
c 
m 0c
（ 3 ）原子量较小的物质，康普顿散射较强，反之，原子量大
31
的物质康普顿散射较弱。
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七、康普顿效应验证了光的量子性：
1 ．经典电磁理论的困难
按经典理论，入射 X 光是电磁波，散射光的波长是不会改
变的.因为散射物质中的带电粒子是作受迫振动，其频率等于入
射 X 光的频率，故带电粒子所发射光的频率应为入射的 X 光
的频率。
2 ．康普顿的解释：
他假设:入射 X 射线束不是频率为ν0的波，而是一束能
量为 E０＝h０的光子；光量子与散射物质中的电子之间发生
弹性碰撞，（因康普顿位移与物质材料无关，提醒我们，散
射过程与整个原子无关）且在碰撞过程中满足能量与动量守
恒。
32
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（１）当光子与自由电子或束缚较弱的电子发生碰撞时，入射光
子把一部分能量传给了电子，同时光子则沿一定方向被弹开，成
为散射光由于光子的能量 E0 ＝ hν0 已有一部分传给了电子，
因而被散射的光子能量 E ＝ hν 就较之入射光子的能为低，
E＝h < E0＝h0
 < 0
 > 0
（２）如果光子与束缚很紧的电子碰撞，则光子是与整个原
子交换动量和能量但原子的质量相对于光子可视为无穷大，
按碰撞理论，这时光子不会显著地失去能量,故而散射光的频
率就不会明显地改变，所以散射光中会有与入射光波长相同
的成分。
（３）轻原子中的电子一般束缚较弱，而重原子中只有外层电
子束缚较弱，因此，原子量小的物质康普顿散射较强，重原子
物质康普顿散射较弱。
33
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3 、定量计算
光量子能量 >>电子的束缚能，电子可视为“自由”的
hv 
n
c
hv0 
n0
c

e

mv
利用能量与动量守恒定律有：
h 0  m0c2  h mc2

h 
h
n 0  n  mv
0

h
1  cos 
    0 
解出的波长偏移：
m0 c
34
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4 、康普顿散射实验的意义
(1)有力地支持了“光量子”概念，也证实了普朗克假设ε=hν。
(2)首次实验证实了爱因斯坦提出的“光量子具有动量”的假设。
(3)证实了在微观的单个碰撞事件中，动量和能量守恒定律仍
然是成立的。
*光电效应与康普顿效应的区别：
１、光电效应是处于原子内部束缚态的电子与光子的作用，这
时束缚态的电子吸收了光子的全部能量而逸出金属表面；
２、康普顿效应则是光子与准自由电子的弹性碰撞，光子只
是将一部分能量传给电子，故散射光子的能量（因而频率）
低于入射光子的能量。
可以证明：只有处于束缚态的电子才可能吸收光子，自由
电子不能吸收光子。
35
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例 15-1 当波长为 3000Å 的光照射某种金属表面时，光电子的
能量范围从 0 到 4.0 × 10-19 J，在作上述光电效应实验时，遏
止电压|Ua|=＿＿V，此金属的红限频率 0＝＿＿＿＿
解：由题知光电子的最大初动能为
Ek  4.0  1019 J
而
Ek  eU a
Ek 4.0  1019
 Ua 

 2.5V
19
e
1.6  10
hc
A  h  EK ＝  Ek

A
c Ek
14
0   
 4.0 10 Hz
h
 h
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例 15-2 关于光电效应有下列说法：
(1)任何波长的可见光照射到任何金属表面都能产生光电效应；
(2)若入射光的频率均大于一给定金属的红限，则该金属分别
受到不同频率的光照射时释出电子的最大初动能也不同；
(3)若入射光的频率均大于一给定金属的红限，则该金属分别
受到不同频率，强度相等的光照射时，单位时间释出的电子
数一定相等；
(4)若入射光的频率均大于一给定金属的红限，则当入射光
频率不变，而强度增大一倍时，该金属的饱和电流也增大一
倍。
其中正确的是：
(A)， (1),(2),(3);
(B)， (2),(3),(4)
（C)， (2),(3);
(D)， (2),(4).
答(D)
37
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例 15 － 3 设康普顿效应中入射Ｘ射线（伦琴射线）的波长
λ0 ＝ 0.700Å，散射的Ｘ射线与入射的Ｘ射线垂直，求：
（１）反冲电子的动能Ｅ k 。
（２）反冲电子运动的方向与入射的Ｘ射线之间的夹角?（普朗
克常量 h ＝ 6.63 × 10-34 Ｊ·ｓ，电子静止质量 m0 ＝ 9.11
× 10-31 kg）
解：令p0、0和p、  分别为入射
与散射光子的动量和波长， ｍv为
反冲电子的动量（如图）。

根据散射线与入射线垂直，可求得散射Ｘ射线的波长
由公式
h
1  cos 
    0 
m0c
＝ 0＋h／m0c＝0.724Å
38
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（ 1 ）根据能量守恒定律
m0c2＋h0＝h ＋mc2
Ek=mc2－m0c2
∴ Ek＝h 0－h = hc(0) =hc( － 0）／   0
＝ 9.42 × 10-5 Ｊ
(２)根据动量守恒定律
mvsin=h/ 
mvcos=h/ 0
P0=h/0

P=mv
tg = 0/ 
=45.960
39
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例 15 － 4 光电效应和康普顿效应都包含有电子与光子的相
互作用过程。对此，在以下几种理解中，正确的是
（Ａ）两种效应中电子与光子两者组成的系统都服从动量守
恒定律和能量守恒定律。
（Ｂ）两种效应都相当于电子与光子的弹性碰撞过程。
（Ｃ）两种效应都属于电子吸收光子的过程。
（Ｄ）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于光
子和电子的弹性碰撞过程。
答［ D ］
40
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例 15 － 5
设用频率为1，2的两种单色光，先后照射同一种
金属均能产生光电效应，已知金属的红限频率为0 ，测得两次照
射时的遏止电压 |Ua2|=2| Ua1| ，则这两种单色光的频率有如下
关系：
(A)2 10，
（B） 2 1＋0，
（C）2 210， （D） 2 120，
解：红限频率光子的能量刚好等于光电子的逸出功
A  h 0
1 2
mv  e U a
2
电子的最大初动能与截止电压的关系为
由光电效应方程
1
hv1  mv12  A  e U a1  h 0
2
hv2  eUa2  A  2eUa1  h 0
联立得：
v2  2v1  v0
答案[C]
41
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例 15 － 6
已知一单色光照射在钠光表面上，测得电子的
最大动能是 1.2 电子伏，而钠的红限波长是 5400Å，那么入
射光的波长是
（A） 5350Å
（ B ） 5000Å，
（ C ） 4350Å
（ D ） 3550Å
解：由光电效应方程，有
h  Ek  h 0
即
hc

 Ek 
hc
0
hc0
6.631034  3 108  54001010
 

19
34
8
Ek 0  hc 1.2 1.6 10  6.6310  3 10
0
 3550 A
答案 [D]
42
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例16－7
某一波长的X光经物质散射后，其散射光中包含波
长——————和波长—————的两种成分，其中——————的散射
成分称为康普顿散射。
答：
不变
变长
波长变长
43
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例 15 － 8
已知某金属的逸出功为A，用频率为1的光照射
该金属能产生光电效应，则该金属的红限频率0＝－－－－，
10，则遏止电势差|Ua|=－－－－－－。
解：由逸出功与红限频率的关系，有
A
v0  ,
h
由于
所以
hv  e U a  A
hv  A
Ua 
e
hv1  hv0 h

 v1  v0 
e
e
44
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例 15 － 9 、以一定频率的单色光照射在某种金属上，测出其
光电流曲线在图中用实线表示，然后保持光的频率不变，增大
照射光的强度，测出光电流曲线在图中用虚线表示，满足题意
的图是
I
I
（A）
I
（C）
U
（B）
U
I
U
（D）
U
45
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解：
光的强度
S  Nh
N 是单位时间通过单位面积的光子数。
光电流
I  Ne
e 是电子电量。
1
h  mv 2  A  eU a  A
2
由
可见当 不变时， Ua 不变。
∴
S 增大，则I 增大。
答：选图（ B ）
46
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§ 15-3 玻尔的氢原子理论
一、原子光谱的实验规
1 、光谱的分类
律
光谱是电磁辐射的波长成份和强度分布的一种记录。
按光谱的形状，其可分为三类
（1）线光谱—光谱成线状，是分立的，离散的，为原子光谱。
（2）带光谱—谱线分段密集形，每段中有很多波长相近的
谱线，为分子光谱。
（3）连续光谱——光谱为连续变化，谱线密接成一片，这是
一般物体的热辐射光谱，如白炽灯的光谱。
在十九世纪，化学、电磁学的发展，都把原子结构作为自己的
研究对象，而原子发光是反映原子内部结构或能态变化的重要
现象。因此，对光谱的研究,是了解原子结构的重要方法。
47
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2 、氢原子光谱的规律性
下图是氢原子可见光谱图，它是分立的线状光谱,各谱线的波
长是经光谱学测定的,波长越短、谱线的间隔越小。
6562.8H
4861.3H
4340.5H  4101.7H
（1）巴尔麦公式
1885 年，瑞士物理学家巴尔麦总结出氢原子中可见光的波
长满足
2
n
B 2
n 4
式中 n=3,4,5 ，……等为正整数 ,B=3645.7Å 为一恒量，
48
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1890 年，瑞士的里德伯改作波长的倒数（即波数）表示
1
1
1
~
n=3,4,5, …,
   R( 2  2 )

2
n
4
称为里德伯常数。
R   1.096776 10 7 m 1
B
（2）广义巴尔麦公式
赖曼系 （紫外部份）
1 1
~
  R( 2  2 )
1 n
n=2、３、•••
巴尔麦系 （可见光）
1
1
~
  R( 2  2 )
2
n
n=３、４、•••
帕邢系（ 红外部份）
1
1
~
  R( 2  2 )
3
n
n=４、5、•••
布喇开系（远红外）
1
1
~
  R( 2  2 )
4
n
n=５、６•••
49
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推广的巴尔麦公式
1
1
~
  R( 2  2 )
k
n
K可取1，2，3，4，5,.... ,对应于每一个K值就给出一个线系，
在每个线系中，n 从 (K+1) 开始取值。
3 、里兹并合原理
如果把推广的巴尔麦公式前后两项写成
R
R
T (n )  2
T (k )  2
n
k
则
~  T (k )  T (n)
上式称里兹并合原理， T (k ) , T (n)
叫做光谱项，
即原子光谱的任何一条谱线的波数都可以表示为两个光谱项
之差。
50
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实际上，是里兹等人先总结出并合原理，而后才有帕邢系，
赖曼系的发现，故此上述并合原理称为里兹并合原理。
4 、原子光谱的实验规律
~  T (k )  T (n)
到了二十世纪初，关于原子光谱的实验规律已总结出：
（ 1 ）谱线的波数由两个谱项差值决定；
（ 2 ）如果前项整数参量保持不变，后项整数参量取不同值，
则给出同一谱线系中的各谱线的波数；
（ 3 ）改变前项整数参量值，则给出不同的谱系。
这些实验规律实际上已深刻地反映了原子内部的某种规律
性，但用当时的经典理论去研究，仍然是茫无头绪。
51
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二、玻尔的氢原子理论
1 、原子的核式模型与经典电磁理论的困难
1912 年卢瑟夫以其著名的α粒子散射实验最终建立起了经
典的原子核式模型：原子中央有一个带正电的核，它集中了原
子的全部正电荷和几乎全部的质量；核半径比电子轨道半径小
很多，相差 4 个数量级（原子线度约 10-10m ，核半径
10－14 — 10-15 m ）；整个原子中正负电荷之和为零…。
经典电磁理论的困难
按经典的电磁理论，原子应是不稳定系统、原子光谱应是连
续的，经典理论在微观领域内是失败的。
52
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2 、玻尔理论的基本假设
卢瑟福的原子核式模型能正确解释α粒子散射实验，但不能解
释光谱的规律。1913 年，丹麦物理学家玻尔发表了氢原子理论。
※※
爱因斯坦的光子说已经指出：原子发光是以光子的形式发射的，
光子的能量正比于它的频率,从能量守恒的角度来看，原子发射一
个光子，能量就减少了，即从发射前的初态能量En减少到未态能量
Ek ，即光的频率
En Ek


h
h
将此式与里兹并合原理相比较，并将其用波数表示为
1
~
  [ E (n)  E (k )]
ch
~  T (k )  T (n)
53
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可以看出：光量子理论与里兹并合原理是完全对应的，即
谱线的两光谱项分别对应于原子的初未态能量。
由于光子能量等于原子的两个状态能量之差，而原子光谱是
分立的，那么，原子内部各个能量状态也一定是分立的，而不
是连续的。
玻尔在分析原子的量子状态时,提出了著明的对应原理,玻尔
认为，在原子范畴里应该用与经典物理不同的量子理论；但是，
经典物理是宏观世界成功的理论，经过实践考验是正确的,因此，
量子理论如果是客观规律，则必须在经典物理成立的条件下与经
典理论相一致，这就是对应原理。对应原理是建立新规律的指导
性法则。
玻尔把这些思想揉进了原子的核式模型，提出了他的氢原
子理论的三大假设：
54
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(1)稳定态假设
原子系统内存在一系列的不连续的能量状
态，处于这些状态的原子，其相应的电子只
能在一定的轨道上作绕核圆周运动，但不辐
射能量，这些状态称为原子系统的稳定态，
相应的能量分别取不连续的量值 E1 ， E2 ，
E3,…… (E1<E2< E3<……)。
(2)量子化跃迁频率假设
原子能量的改变是由于吸收或辐射光子的结果，或是由于
碰撞的结果，而能量的改变也只能是从一个稳定态跃迁到另一
个稳定态，即能量的改变量不是任意连续的。当原子中某一轨
道上的电子，从该稳定态跃迁到另一稳定态时，其辐射或吸收
的单色光的频率为
h kn  En  Ek
55
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(3)角动量量子化假设
原子中电子绕核作圆周运动的轨道角动量 L （动量矩 L ）
只有取 h／2 π的整数倍的定态轨道是可能存在的。即
h
Ln
 n
2
主量子数， n ＝ 1 ， 2 ， 3 ，………
56
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3 、氢原子轨道半径和能量的计算
（ 1 ）轨道半径
玻尔假定电子绕核运动的轨道角动量满足量子化条件
h
Ln
2
同时又假定库仑定律，牛顿定律在他的原子中仍然成立，即有
 e2
m v2


 4 0 r 2
r

 m vr  n h

2

联立求得
 0h2 2
rn 
n
2
m e
• 稳定的轨道半径 r 正比于主量子数 n 的平方, 是不连续的。
57
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• 当 n=1 时，得 r1=5.29177 × 10-11 m =0.53Å
通常称为第一玻尔半径。
（ 2 ）原子能级的概念
按照经典理论，电子在轨道上运动时，同时具有电势能和动
能，其总能量为
1 2
e2
En  mv 
2
40 rn
mv2
e2
1 2 1
e2


 mv  
2
r
40 r
2
2 40 r
故此轨道总能量为
将
rn 所满足量子化条件
1 e2 1
En  

2 4 0 rn
2

h
2
rn  n 0 2
me
代入
58
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me4
1
En   2 2  2
8 0 h n
n  1,2,3,........
这说明原子系统的能量是不连续的，量子化的。
这种量子化的能量值称为原子的能级。
或者由
1
~
  [ E (n)  E (k )]
ch
1
1
~
  R( 2  2 )
k
n
hcR
E(n )   2
n
1
R
E ( n)   2
ch
n
4 、里德伯常数的计算
由上面两式，得
4
me
R 2 3
8 0 h c
59
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将 e ， m 之值,及常数 ε0 ， h ， c 的值代入可算得
me 4
R  2 3  1.097373  107 m1
8 0 h c
与实验值 R ＝ 1.096776 × 107 m－1 吻合得很好。
5 、氢原子的能级跃迁和氢原子光谱
(1)基态和激发态
根据玻尔的量子化跃迁频率假设,我们可以看到光谱项是与一
定的能级相当的。
4
me
1
En   2 2  2
8 0 h n
2

h
rn  n 2 0 2
m e
 当 n=1 时，能量最小，电子也离核最近；由能量最低原理
知,这时原子系统最稳定。原子处于能量最低的状态称为基态。
60
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E1 ＝－ 13.58 eV
13 .58
En   2 eV
n
 当 n ＝ 2 ， 3 ， 4 ……时，即原子处于高能态时是不
稳定的，它终会释放多余的能量而跃迁到低能态,故称高能态
为激发态。
 当 n →∞时， E∞=0 ，这时电子已脱离原子成为自由电子。
 基态和各激发态中电子都没脱离原子，统称束缚态。
能量在 E∞=0 以上时，电子脱离了原子，与这种状态对应的
原子称电离态，（此时认为电子的能量是连续的，不受量子
化条件限制）。
电子从基态到脱离原子核的束缚所需要的能量称为电离能。
 在通常情况下，原子总是处于基态，只有当它受到外界的
作用，从外界获得足够的能量，才会从基态跃迁到激发态,这
说明原子通常是稳定的。
61
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自
由
态
激
发
态
连续区
n= ∞
0
n=5
n=4
-0.54
-0.85
n=3
-1.51
n=2
-3.39
基态 n=1
-13.57eV
62
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(2) 吸收光谱和发射光谱
由于能级的不连续性，原子中的电子每次吸收的能量只能是本
原子系统的两个能级之差。也就是说，只有外界作用的能量满足
氢原子的两个能级之差时，才能被吸收。因而每类原子有自己的
吸收光谱。
同样，处于激发态的原子,在能级跃迁时,释放出的能量也只能
是本原子系统的能级之差，故原子发光均有自己的特征标识光谱。
同类原子的吸收光谱和发射光谱是重合的。
应该说明的是：一个原子在一次吸收(或辐射)时，只能有一条
吸收(或发射)谱线。至于这条谱线是发生在哪两个能级之间，则
是随机的，由于一般情况下物质中包含的原子数目足够多,因此
能够看到它的全部谱线。
氢原子光谱中的各种线系，可用能级跃迁得到解释，从能级
的观点看，•
所谓同一线系的光谱线:就是从几个不同的高能级跃迁到同
一低能级所发射的谱线。
63
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(3)能级跃迁图与氢原子谱线系
n=

普芳德系
4
3
布喇开系
帕邢系
2
巴尔末系
1
赖曼系
64
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三、玻尔理论的缺陷
玻尔的氢原子理论: 解释氢光谱规律；提出了能量量子化和
角动量量子化概念；提出了定态和能级跃迁假设。
但其也有局限，玻尔理论只能计算光谱频率，而对光谱强度、
宽度、偏振问题无法解决；复杂原子系统不能计算；对氢原子光
谱中的精细结构及1896年发现的塞曼效应也不能解释，这说明玻
尔的氢原子理论还很不成熟。
这是因为他没有一个完整的理论体系，他一方面把微观粒子
看作经典力学中的粒子，还采用了经典的物理理论和方法，如粒
子、轨道来描述,同时还遵守牛顿定律等；另一方面又加上量子
化条件来限定稳定运动状态的轨道。玻尔的氢原子理论是经典理
论与量子化条件的混合物。
玻尔理论尽管不成熟，但他开拓性的工作所作出的贡献还是
巨大的,他的能级概念，谱线频率，量子化跃迁等在现代量子力
学中仍被沿用至今。并对现代量子力学的建立有着深远的影响。
65
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例 15 － 11 组成某双原子气体分子的两个原子的质量均为ｍ，
间隔为一固定值 d ，并绕通过 d 的中点而垂直于 d 的轴旋转，
假设角动量是量子化的，并符合玻尔量子化条件。试求： (1)
可能的角速度； (2) 可能的量子化的转动动能。
解 (1) 此双原子气体分子绕轴旋转时的角动量为：
据
则
Ｌ＝I 2ｍ(d/2)2
L＝nh／(2)，
n=0 , 1 , 2 , 3 …
ｍd2／2 ＝nh／(2)
＝nh／(md2)
d
(2)此系统的转动动能为：
1 2 1 m d2 2
1 n2h2
Ek  I  
  
2
2 2
4 m 2 d 2
n=1,2,3,…
66
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例 15 － 12 实验发现基态氢原子可吸收能量为 12.75 eV的光
子。 (1) 试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级？ (2)
受激发的氢原子向低能级跃迁时，可能发出哪几条谱线？请画
出能级图（定性），并将这些跃迁画在能级图上。
解： (1)
13.6
E  En  E1  2   13.6  12 .75eV
n
ｎ＝４
4
3
-0.83
-1.51
2
-3.39
1
-13.58eV
(2)可以发出 41、 31、 21、 42、 32、 43、六条谱线。能
级图如图所示。
67
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例 15 － 13
根据玻尔理论，氢原子在 n=5 轨道上的角动量
与在第一激发态的角动量之比为
(A)5/2.
(B)5/3.
(C)5/4.
(D)5.
答：根据玻尔理论，其轨道角动量为
L  n
所以在 n=5 和 n=2 的轨道上的角动量之比为 5/2 ，
即选（A）
68
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例 15 － 14
已知氢原子从基态激发到一定态所需能量为
10.19 eV,则氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态
时所发射的光子能量为
(A),
2.56eV (B), 3.41eV (C), 4.25eV (D) 9.95eV
解:
1
E1
 E  En  E1   2  E1  E1 (1  2 )
n
n
10.2
1
E
1
 1
 2  1

13.6
n
E1
4
n  2
光子能量
 13.6
E  0.85 
 2.55eV
2
2
故应选A
'
69
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例 15 － 15
具有下列那一能量的光子,能被处在 n=2 的能
级氢原子吸收?
(A), 1.51eV
解:
(B),1.89eV
(C),2.16eV (D) 2.40eV
n  1,
E1  13.6eV
n  2,
E1
E2    3.4eV
4
E1
E3    1.51eV
9
n  3,
 E2  E3
 3.4  (1.51)
 1.89eV
故选 B
70
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例 15 － 16
要使处于基态的氢原子受激后能辐射氢原
子光谱中波长最短的光谱线,最少需要向氢原子提供____eV
的能量。
R＝1.096776107 m－1
解:最短的谱线,对应最高的频率
E   E1 0  E1
 

h
h
 E  13.6eV
71
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例 15 － 17
欲使氢原子能发射巴耳末系中波长为 6526.8Å
的谱线，最少要给基态氢原子提供_____________ eV的能量。
R ＝ 1.096776 × 107 m－1
解：
由公式
1
1 
 1
~
   R 2  2 

n 
2
解出 n=3
∴给基态氢原子提供的能量为
13.6
E  E3  E1   2   13.6 
3
1
 13.6eV (1  )  12.09eV
9
72
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§ 15-4 粒子的波动性
一、德布罗意波
1 、实物粒子具有波粒二象性
自然界在许多方面都是明显对称的，既然光具有波粒二象
性，那么实物粒子，如电子，是否也应具有波粒二象性？
1924 年法国青年物理学家德布罗意,在
光的波粒二象性的启发下提出了此问题,他
认为： 19 世纪物理学家对光的研究只重视
了光的波动性而忽视了光的微粒性,而在实
物粒子 (即中子，质子，电子，原子,分子
等) 的研究上可能发生了相反的情况，即过
分重视了实物粒子的微粒性，而没有考虑其
波动性。因此他提出实物粒子也具有波动特
性的观点。
73
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实物粒子的能量 E 和动量 P 与它相应的波动频率和波长λ
的关系与光子一样
2
E  mc  hv
 p  mV  h


2
或
E mc

  h  h

h
h
  

P mV
这种和实物粒子相联系的波通常称为德布罗意波, 或叫物
质波。
 考虑到相对论效应，具有静止质量为 m0 的实物粒子，以速
度 V 运动时,则和该粒子相关的平面单色波的波长和频率为
E
 
h
m0c 2
V2
h 1 2
c
h h
V2
 
1 2
p m0V
c
74
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2 、电子的德布罗意波波长的数量级
设电子的运动速度 V<<c ，即不考虑相对论效应,则
h

m0V
又设电子由热阴极逸出时,加速电势差为 U
1
m0V 2  eU
2
2eU
V
m0
于是电子的德布罗意波长为
h
h
h
1



2eU
m0V
2em0 U
m0
m0
75
首 页 上 页 下 页退 出
将e＝1.610－19C，m0＝9.1 10－31kg，
h＝6.632 10－34JS代入
h
1
12.3 0


A
2m0e U
U
例如，当Ｕ１５０Ｖ时，＝１Å，Ｕ＝104Ｖ时，＝0.12Å
这说明德布罗意波的波长一般很短,因而在普通的实验条件
下难以观察出其波动性。
76
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二、德布罗意波的实验验证
1 、戴维孙—革末的电子衍射实验
德布罗意波是 1924 年提出的，
1927 年便得到了验证。戴维孙—革
末看到电子的德布罗意波波长与 X
射线的波长相近，因此想到可用与 X
射线衍射相同的方法验证。
 实验装置和现象
77
首 页 上 页 下 页退 出
B
K
发射电
子阴级
加
速
电
极
U
I

 Ni单晶
M
2d sin   k
电流出现了周期性变化
I
G
电
流
计
实验结果：
U
78
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 实验结果的解释
按德布罗意假设，电子加速后的波长满足
12.3 0

A
U
如果电子束确有波动，则入射到晶体上的电子,当其满足布拉
格公式时，
2d sin   k
应在反射方向上观察到最强电流
戴维孙和革末在实验中，保持d和不变，则波长λ满足布拉
格公式时：
12.3
2d sin   k  k
U
12.3
U k
 kc
2d sin 
当 U 逐渐变化时（即波长逐渐变化时），其平方根值等于
一个常数 C 的整数倍时，接收器测到的电子数量应出现峰值，
结果理论和实验符合很好。
79
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例如，对d=0.91Å的镍片,使＝600 ， 当加速电压U=54V时,
电流有第一级极大 ,
0
12.3 0

A  1.67 A
德布罗意公式,算得
U
0
布拉格公式,
算得
  2d sin   1.65 A
2 、电子多晶薄膜的衍射实验
金多晶
薄膜
电子束
80
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在此之后，人们陆续用实验证实了原子，分子，中子，质
子也具有波动性。
实物粒子波动性的一个重要应用就是电子显微镜，其分辨
本领比普通光学仪器要高几千倍，如我国制造的电子显微镜，
其放大率高达８０万倍,其分辨本领达 1.44Å,可分辨到单个原
子的尺度，为研究分子结构提供了有力武器。
81
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3 、对波粒二象性的理解:
(1)粒子性：“原子性”或“整体性”，
具有能量和动量。
不是经典的粒子！
抛弃了“轨道”的概念！
(2)波动性：“可叠加性”，“干涉”，“衍射”，“偏振”。
具有频率和波矢。
不是经典的波。
82
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三、德布罗意波的统计解释
机械波是机械振动在介质中的传播，电磁波是变化的电磁
场在空间的传播,那么实物粒子波是什么形式呢?
按照经典物理的观点，粒子是分立的，集中在一定的范围内，
而波是连续的，是弥漫在整个空间的。二者如何统一起来呢?
1926 年,玻恩提出了物质波是一种概率波的观点。
爱因斯坦已从统计学的观点指出：光强的地
方，光子到达的概率大；光弱的地方，光子到达
的概率小。
玻恩有同样的观点，认为微观粒子也一样对
个别粒子在何处出现，有一定的偶然性；对大
量粒子在空间何处出现的空间分布服从一定的
统计规律。
物质波的这种统计性解释把粒子的波动性和粒子性正确
地联系起来了，成为量子力学的基本观点之一。
物质波是一种既不同于机械波,又不同于电磁波的一种概率波。83
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用电子双缝衍射实验说明概率波的含义：
(1)强电子束入射
单位时间内许多电子通过双缝，底片上很快出现衍射图样。
这是许多电子在同一个实验中的统计结果。
1961年琼森（Claus Jönsson）将一束电子加速到50Kev，让
其通过一缝宽为a=0.510-6m，间隔为d=2.010-6m的双缝,当电
子撞击荧光屏时,发现了类似的双缝衍射图样。
84
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(2)弱电子束入射
电子几乎是一个一个地通过双缝，衍射图样不是电子相互作用
的结果。
底片上出现一个一个的点子显示出电子具有粒子性。开始时
底片上的点子无规分布，随着电子增多，逐渐形成衍射图样，衍
射图样来源于“一个电子”具有的波动性。
一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果。
85
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(3)概率波的干涉结果。
实验说明电子的干涉图样是大量电子的一种统计运动的结
果。对于单个电子，在某一时刻，它到底是通过哪一个缝,过
缝后落在屏上哪一点是随机的，无规律的；对于大量电子
(或一个电子的多次行为) 来说，它们到达光屏上的位置则是
遵从某种统计规律的。
86
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例 15 － 18 已知某电子的德布罗意波长和光子的波长相同。
（ 1 ）它们的动量大小是否相同？为什么？
（ 2 ）它们的（总）能量是否相同？为什么？
答 (1) 电子和光子的动量大小相同．因为ｐ＝ｈ／λ对两
者都成立，而λ相同，故 p 相同。
(2)电子和光子的能量不相等。
电子的能量 E1 ＝ m1c2
光子的能量 E ＝ mc2
由（ 1 ）知，电子和光子的动量相等 ,即
m1v=mc
E1 ／ E ＝ m1 ／ m
E1>E
=c ／ v
87
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例 15 － 19为使电子的德布罗意波长为1Å ，需要的加速
电压为
V。
解:
h

   mV
 
1
 m V 2  eU
2
h
1
12.3 A
  


2em0 U
U
0
12.3 2
 U (
)  150V

88
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例 15 － 20
能量为 15 eV的光子，被处于基态的氢原子
吸收，使氢原子电离发射一个光电子，求此光电子的德布罗
意波长。
解：远离核的光电子动能为（非相对论效应）
1 2
Ek  mv  E  A  15  13.6  1.4eV
2
2Ek
2 1.4 1.6 1019
5
则 v


7
.
0

10
ms
31
m
9.110
光电子的德布罗意波长为
0
h
h
9
 
 1.04 10 m  10.4 A
P mv
89
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§ 15-5 测不准关糸
一、测不准关
系由于德布罗意波的存在，使我们不得不接
受一个经典概念无法理解的原理，即海森堡
的测不准原理，这是一个普遍原理。
对于宏观粒子来说, 我们可以用某个时刻
粒子确定的坐标、速度、能量等来描述它在
这个时刻的运动状态（自然也就导致了轨道
的出现）。
微观粒子具有波粒二象性，如果我们也把经典力学表征宏观
粒子运动状态的位置和动量的概念应用于微观粒子时，那么粒
子的波动性就会不可避免地要对这种观念加以某种“限制”。
理论和实验都证明：波动性使微观粒子的坐标和动量（或时
间和能量）不能同时取确定值。
90
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1 ．光子的不确定关系
(1)坐标与动量的不确定关系
我们来研究光子在单缝处的位置和动量的不确定程度
U
光子在单
缝的何处
通过是不
确定的!
只知是在
宽为a的缝
中通过。
结论:光子在单缝处的位置 不确定量为
91
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x
Ｐ
Px
x

Py
y
光子沿y轴方向通过狭缝后散布在一衍射角为 2 的范围内,衍
射角、缝宽 x (a) 和入射波波长间满足衍射反比关系
a sin   k
考虑中央极大
K =1
狭缝处的光子在 x 方向坐标不确定范围：
x ~ a
92
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x 方向动量的不确定范围：
 px  p sin 
又由 p 
h


p x
 xp x  
a sin   x 
h
p
 xpx ~ h
再考虑其它衍射条纹
xpx  h
即，如果对光子的坐标测量得越精确 (Δx 越小) ，动量
ΔPx 不确定性就越大；反之亦然。
93
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海森堡（ 1926 ）严格的理论给出光子坐标与动量的不
确定关系为

xp x 
2

yp y 
2

zpz 
2
h

 1.0545887 10 34 J  s
2
94
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(2)时间与能量的不确定关系
E  t   2
即，如果测量光子的时间精确到Δt ，则测得光子能量的精度
就不会好于Δt 。
现由坐标、动量的不确定关系
能量的不确定关系。
xpx/2 出发，导出时间、
由相对论的能量、动量关系，有
两边微分
E 2  E02  p 2c 2
x  Vt
E  E  c 2 pp
x  V t
mc  E  c  mV  p
 E  Vp
E 
xp x  Vt 

V
2
 E  t  
2
2
2
95
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（3）能级宽度和能级寿命
设体系状态的寿命为τ,因测量只能在时间范围τ内进行，则
测得的能量必有宽度为Γ的不确定程度满足关系。
 ~ 
或
E  t  
2
理论上，计算平均寿命→估计能量的范围；
实验上，测量能级宽度→估计不稳态的寿命。
96
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2 ．实物粒子的不确定关系
——量子力学中“测量”理论的基本概念。
不确定关系的物理根源是粒子的波动性，所以实物粒子的不
确定关系与光子的相同。
(1)测不准关系表明，当我们用经典力学中的坐标、动量等物
理量来描述微观粒子时，只能在一定范围内近似地描述，即粒
子在某一方向上位置的不确定量与这一方向上动量的不确定量
成反比。也就是说,我们不可能同时准确地测量粒子的位置和动
量。
(2)ΔxΔPx 分别是粒子位置和相应动量的不确定量，而不是
测量误差。测不准关系是微观粒子二象性的必然结果，是微观
粒子的固有属性，源于微观粒子的（概率）波动性，并不是测
量仪器的不精确或是主观能力的问题。
(3)这种测不准关系在能量与时间的关系中也存在,即有
E  t  
2
97
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二、微观领域内经典理论的适用范围
普朗克常数可作为判断经典理论在微观领域内适用的范围。
如果在我们所研究的问题中,与 h 同量纲的物理量 (如角动
量等) 的数值远大于 h 时，h 这时可近似作零处理，则粒子
的行为可用经典理论来处理；反之，在所研究的问题中，h 是
一个不能忽略的量，则经典物理的方法这时就失效，只能用量
子理论的方法来处理。
V<< c――――
L>> h――――
98
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例 15-21 设电子的动能ＥＫ=10ev，试说明在原子中电子的运
动不存在"轨道"。
解：因能量很低，故属非相对论效应，所以速度为
2 Ek
V
 106 m / s 
me
由测不准关系，
速度的不确定程度
式中 x=0.53－10m
xpx  
p  1

 10 6 m / s
V 
m m x
速度的不确定程度与速度本身数值属同一数量级，故轨道概念
不适用。
99
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例 15-21 试说明作布朗运动的质点（其质量 m=10-12 克）测
量其位置到 10－6 cm 就很精确了。
解：利用不确定关系可估算Δv
在常温下，质点作布朗运动的平均速率为 v=0.4cm/s 。
p  1
V 

m m x
1.0551034 1
11
1
9
1

 10 m  s  10 cm  s
15
8
10
10
则 v/v 10-8 ，这在实验上误差太小，显示不出来,故无需
考虑。
100
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例 15 － 22
在电子单缝衍射实验中,若缝宽为a=0.1nm,电子
束垂直射在单缝上,则衍射的电子横向动量的最小不确定量
Py=——————————————
解:


Py  y  
而 y  a

h
Py 

y 2a
6.631034
 24


1
.
06

10
N S
9
2  3.14 0.110
101
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§ 15-6 波函数 薛定谔方程
一、波函数
1 、关于物质波的波函数
回顾前面关于德布罗意物质波的概念,任何物质粒子都具有
波粒二象性。
物质波不同于经典概念的波,不代表实在的物理量的波动，它
反映的是物质粒子运动的一种统计规律，故也称为概率波。
我们把描述微观粒子概率波的数学函数式称作波函数，
波函数常用Ψ表示。
Ψ是时空函数
Ψ＝Ψ（ x,y,z.t)
102
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2 、光子的波函数
（ 1 ）光的经典 (电磁波) 波函数
波面
x
0
电场强度用 E 表示，光的经典平面简谐波动方程为
E  x ,t   E0 cost  kx 
三维情形为：
式中 k  2 
E r ,t   E0 cost  k  r 
由欧拉公式
波函数形式为：
e
i
 cos  i sin 
Er, t   E0e
i t kr 
在经典物理学中我们只用了其中的实数部分。
103
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（ 2 ）光子的平面波波函数
 Er, t   E0e
i t kr 
波面
利用基本关系式
  h  
r
P
h
p  n  k

将上述各量代入：
得
Er, t   E0e
i t pr / 
于是光子的平面波波函数为
r, t   0e

i
t  p r 

104
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（ 3 ）光子波函数与光的经典波函数的区别
函数形式上的区别：
波函数代表的量
变量
光的经典波函数
E(电矢量)
，k
光子波函数
（无直接意义）
，p
 物理上的区别：
 在光学中， E 表示光的电矢量,E2 表示光波的强度。
 在光子（物质波）中，波函数Ψ本身并无直接的物理意义，
但
 r ,t   r ,t dv
*
表示t时刻 ，在空间 r 处的体积元 dv 中发现光子的概
率。Ψ (r,t) 描述的波称为概率波。
光的概率波不象经典电磁波那样描述某一物理量 (电矢量) 的
105
波动！
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3 、物质波的波函数
对于一个不受外力作用的沿 X 方向运动的单能 (由 E ＝
hv 可知其相当于单色)自由粒子，与其运动状态相对应的单
色物质波波函数，可表示为
( x  t )  0e
i
 ( Et  px )

假如这个单能粒子不是沿 X 轴运动，而是在三维空间沿
矢径 r 方向传播，那么这时的波函数为:

(r .t )  0e

i
 ( E t  pr )

波函数Ψ是复数，模的平方可表示为
  
2
*
106
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4 、波函数的统计解释:
(1)概率密度:
玻恩假定：概率波的波函数Ψ，模的平方
|  r ,t  |2   r ,t   r ,t 
*
代表 t 时刻，在空间 r 点处单位体积元中发现一个粒子的概
率，称为概率密度。
dV  dxdydz
t 时刻在空间 r 附近体
积 dv 内发现粒子的概率为：
 dV     *dV
2
o
r
说明：代表粒子的概率分布的不是波函数本身，而是波函数模
的平方。波函数无直接的物理意义。波函数不是一个物理量。
107
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(2)波函数的标准条件
统计诠释要求，波函数应满足:
标准条件：单值、有限和连续；

归一化条件：
全
 dV  1
2
dp   dV
2
体积dv内粒子出现的概率
2
p    dV
则在体积v内出现的概率
v
由于在一般的原子现象中，可以不考虑粒子的产生与湮灭现
象，故在整个空间范围内去搜寻它，是一定能够找到的，也就
是说,粒子在整个空间范围内出现的概率等于 1 ，

全
 dV  1
2
上式称作波函数的归一化条件，可见波函数也是归一化函数。
波函数必须同时满足标准条件和归一化条件。
108
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5 、波函数的叠加原理
为了使我们对波函数的统计解释理解得全面些,我们简单
地介绍一下波函数的叠加原理---波函数的叠加原理是:波函数可线性叠加
若1和2是描述粒子可能状态的波函数,那么,这两个函数的线性
叠加
＝C1 1+C2  2
也是一个波函数,它所描述的状态是该粒子的另一个可能的状态。
以电子束的双缝干涉 (如图所示) 为例
w
109
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假设只开缝1,电子束到达屏上的波函数 1 在屏上形成单缝衍
射的概率分布为 1 2 。
只开缝2,电子束到达屏上的波函数 2 在屏上形成单缝衍
射的概率分布为 2 2 。
如果双缝同时开放,则到达屏上的波函数为＝ C11＋ C22，
其在屏上形成的概率分布为(此处由于对称，权重 Ｃ１＝Ｃ２=1）
p    (1  2 )  (  2 )  1  2  1  2  12
2
*
1
2
*
2
*
*
可见两缝同时打开的概率分布不是两缝分别打开时的概率之
和而是多了干涉项。
 2   1
*
1
*
2
从宏观来看即出现了干涉，1和2是电子束的两种可能运动
状态，C11＋ C22则是另一种可能运动状态。
110
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二、薛定谔方程
由于微观粒子具有波粒二象性，对于微观粒子的动力学问题，
牛顿方程已不再适用，因此，必须另新建一套处理微观粒子问
题的方法。1926 年，奥地利物理学家薛定谔在德布罗意波假说
的基础上建立了势场中微观粒子的微分方程。
薛定谔方程既不能由经典理论导出，也不能用严格的逻辑推
理来证明，它的正确与否只能用实验来验证。
1 、一般的薛定谔方程
微观粒子的运动状态用波函数
Ψ(x,y,z,t)描述，薛定谔认为，这
个波函数应该是适用于微观粒子的波
动方程的一个解。
111
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
必须能满足德布罗意波公式的要求，
E
h
 
, 
h
p
•必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满足叠加原理 (因
为物质波能够干涉)。
薛定谔提出了波函数Ψ(x,y,z,t)所适用的（在非相对论）
动力学方程：
 2


   U x, y, z, t   i
2m
t
2
2
2
2



2




称之为拉普拉斯算符，
（１）式中
2
2
x
y
z 2
112
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（２）U  x, y, z, t 
表示微观粒子受到的作用势能，它一般的是 r 和 t 的函数，
（３） m 是微观粒子的质量。
引入哈密顿量算符
2

Hˆ   2  U r, t 
2m
哈密顿量代表粒子的总能量 (注意 t)
用哈密顿量表示的薛定谔方程为
i

t
 r, t   Hˆ  r, t 
113
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２、定态的薛定谔方程
如果微观粒子受到的作用势能不随时间变化，亦即
U=U(x,y,z),此时系统的能量不随时间变化，系统的这种状态
称之为定态。
处于定态的微观粒子的波函数称为定态波函数（或称为能量
本征函数），一般用小写的ψ表示，即
   x, y, z 
定态波函数所满足的薛定谔方程称为定态薛定谔方程，
即为
2m
   2 E  U   0

2
式中Ｅ是粒子的总能量，又称为能量本征值。
114
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一维定态薛定谔方程
设微观粒子在外势场中作一维运动，这时该方程为
d 2 x  2m
 2 E  U x  x   0
2
dx

3 、薛定谔方程的意义
薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在经典物理中的
地位相当。
薛定谔方程本身并不是实验规律的总结，也没有什么更基本
的原理可以证明它的正确性。
从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
115
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例 15-23 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍,则粒子
在空间的分布概率将
(A)增大Ｄ２倍;(B)增大 2 D 倍;(C)增大 D 倍;(D)不变。
解：选 D。因为整个场中各点波振幅同时增大 D 倍,对于概率
分布无影响。
116
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§ 15-7 薛定谔方程的应用
一、一维无限深势阱
1 、一维无限深势阱薛定谔方程
U(x)
U(x)
1 ）势函数
阱内:
（0＜x＜a)
阱外:
(x<0 & x>a)
0
a
x
U x  0
U x  
粒子在 0< x<a范围内自由运动，但不能到达 x ≤ 0 或x ≥a
范围，这样的物理模型叫做无限深势阱。阱外无粒子出现，
117
波函数为零。
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2 ）定态薛定谔方程
由于在势阱中, 粒子的势能 U(x) 与时间无关 ( 恒为零)，
因此粒子在势阱中的运动是个定态问题, 方程是
d 2 x  2m
 2 E  U x   x   0
2
dx

在阱内（ 0 ＜ x ＜a)
U(x)=0 所以
 d 2 2m E

 2  0
(0  x  a )
2
 dx

及边值条件（0）＝0， （a )  0
令
2mE
k  2

2
d 2
2

k  0
2
dx
118
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*:和经典力学显著不同的是：
在经典力学中首要的是受力分析，力函数不同，牛顿方程的
形式就不同；而这里首要的是寻找势能函数，势能函数不同，薛
定谔方程的形式就不同，它们的运动状态亦不同。
求解：
其通解若用三角函数表示,则为
 ( x)  A sin kx  B cos kx
再加上边值条件
1
 0  0,  a   0
 A sin(0)  B cos(0)  0
即 
 A sin(ka)  B cos(ka)  0
(2)
(3)
由②式得 B=0 ；
由③式得 Asinka=0
由④式得
ka  n
(4)

或 k  n a , n  1,2,3
119
首 页 上 页 下 页退 出
2m E

由于 k 
n

a
 En  n
2
 2 2
2ma
2
（n=1,2,3,…） ——称为能量本征值
*: 这 个 量 子 化 的 能 量 公 式 与 氢 原 子 中 电 子 的 能 量 公 式
4

me
En 
2
8 0 h 2 n 2 不同,•究其原因是它们的所处的势场不同。
n ，代入解①中，然后由归一化条件可得：
将k 
a

a
0

n
A sin ( x)dx  1
a
2
2
nx 
 nx  1 
sin 
  1  cos 2

a 
 a  2
2
1 a  n 
dx 
d2
x
2 n  a 
#
120
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解方程得
A
2
a
于是得, 能量为Ｅn 的处于一维无限深方势阱中定态粒子的
波函数为
2
n
 n x  
sin
x
a
a
n  1,2,3...0  x  a 
待定系数是由边值条件和归一化条件所决定，与机械波中
完全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特
点。
121
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2 、方程解的物理意义
2
n
 n x  
sin
x
a
a
n  1,2,3...
1)处在势阱中的微观粒子，其德布罗意波只能是驻波。
这是因为在阱壁处（即 x=0,x=a处）其Ψ(x)=0 ，只能是
波节，因此物质波在阱内运动要能够稳定下来，其在阱壁两
端来回反射,必定形成德布罗意驻波。
其波长必须满足
２) 概率密度
n
an
2
P x    x 
2
2a
n 
n
2
2 n
 sin
x
a
a
122
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|ψ4(x)|2
ψ4(x)
E4
0
|ψ3(x)|2
ψ3(x)
0
E3
|ψ2(x)|2
ψ2(x)
0
E2
ψ1(x)
|ψ1(x)|2
E1
0
波函数
a
0
概率密度
x
123
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由于波函数模的平方等于粒子出现的概率密度，由图可看出，
粒子处于不同能级时，在势阱中的概率分布是不相同的(峰值表
示概率最大的地方,谷底表示概率为零的地方)。
按照经典物理的观点，粒子在阱内不停地运动, 因而在阱
内各处找到粒子的概率应该相等；
而量子理论指出，当粒子处于束缚态时,其在各个位置出现
的概率不同。
由图中还可看出,当 n>1 时，即处在激发态时，粒子在各处
出现的概率是有起伏的，且随着能级的升高,粒子在阱内各处出
现的概率就越均衡----- 即峰值越来越多，且彼此越来越靠近，
这就和经典接近了。
当 n→∞时，量子 → 经典 (玻尔对应原理)。
124
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3 、能量本征值
由于 k 
2m E

n

a
En  n 2
 2 2
2m a2
（n=1,2,3,…….）
1)
能量取特定的分立值——能级
——能量量子化，整数 n 叫主量子数。
在此可看到，从定态薛定谔方程出发，利用波函数应遵守的
标准化条件 (边值条件中隐含着函数连续单值) ，可自然地得
出能量的量子化条件，而无须象玻尔那样人为地假定，这是薛
定谔方程的成功处之一。
2)
最低能量 (零点能) ——波动性
2 2
E1 
0
2
2ma
125
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n 不能取 0 ，如 n=0 ，则意味着Ψ（ x ）＝ 0 ，即在方
势阱中到处找不到粒子,这显然是没有意义的。
2
n
  n x  
sin
x
a
a
n  1,2,3...
n ＝ 1 时，称基态能级（零点能）。基态能不为零，是经典
物理不能解释的。
3) 能级间距
 2 2
E  En1  En  (2n  1)
 (2n  1) E1
2
2m a
可看出，能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比。
对于微观粒子,若限制在原子尺度内运动时，ћ2~ma2，即阱宽
很小时，则能量的量子化是很显著的,因此必须考虑粒子的量子
性;
但即使是微观粒子，若其在自由空间运动 (相当于阱宽无穷
大) ，其能级间距就非常小,则可认为能量的变化是连续的; 126
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如果是宏观粒子, 在宏观尺度来讲完全可以忽略其差异而
认为能量的变化是连续的。
量子化 → 连续 (玻尔对应原理)
127
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二、隧道效应
1 ．方形势垒
U=U0
ψ1(x)
E Ⅰ
II
X1 a
设给定势函数Ｕ (x) 为
III
x2
x
 0, x  X 1 , x  X 2
U x   
U 0 , X 1  x  X 2
即势垒的高度不是无限高也不是无限宽，如果一粒子从
Ⅰ区以确定能量Ｅ<U（ E>0 ）入射，该粒子能否在 Ⅲ 区出
现？
现用薛定谔方程处理之。
128
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１）势垒外有相同的薛定谔方程
由
d 2  x  2m
 2 E  U  x   x   0
2
dx

d 2 x  2 m
 2 E x   0
2
dx

令
2 mE
k1  2

2
d 2
2
有

k
1  0
2
dx
解得
129
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 ik1 x
 ik1 x
 1 x   Ae
 Be
 C cos k1 x  D sin k1 x  A1 sin k1 x  1 
在 Ⅲ区：只有透射波
 3 x  A3 sink1 x  3 
说明：在一般情况下，粒子能够穿过比它动能更高的势垒区域，
这种现象称为隧道效应。
130
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２）势垒内 Ⅱ区，薛定谔方程
d 2 2  x  2 m
2





U

E

x

k
0
2
2 2
2
2
dx

2mU 0  E 
2
k2 
2
k x
k x


ψ2 x  A2e  B2e
2
2
第一项随x增大而增大，与实际不符，
 2  B2 e
A2  0
 k2 x
由标准条件和边界条件确定待定常数。
131
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2 、隧道效应
U=U
(x)
0
E
3
1
x1
2
x2
2
x2
代表Ⅰ区进入Ⅲ区的概率，则
x1
p
e
x
3
1
2
x2
2

x1
 2 k 2  x2  x1 
2
2
e
2
x2
2
x1

2a


2
2
2
2
B e
B e
 2 k 2 x2
 2 k 2 x1
2 m U 0  E 
式中a=x2-x1为势垒的宽度，说明势垒的宽度越小，透过
的概率越大;（U0-E）越小，透过的概率越大。
132
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例 16-24 粒子被限制在相距为  的两个不可穿透的壁之间，
如图所示,描写粒子状态的波函数为Ψ=cx(-x)， 其中 c 为待
定常量。求在区间（ 0~l/3 ）发现该粒子的概率。
解:先由波函数的归一化条件来确定 c
l

0
2
l
 dx   c 2 x 2 (l  x) 2 dx  1
0
由此解得
c 2  30
30
l5
c
0
l

1
l
3
l2
则在区间（ 0~l/3 ）内发现该粒子的概率为
2
l
P    dx  0
l
0
3
3
30 2
17
2
x (l  x) dx 
5
81
l
133
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例15-25 粒子在一维矩形无限深势阱中运动,其波函数为
n 
2
nx
sin(
)
a
a
(0  x  a)
若粒子处于 n＝２的状态,
１、粒子出现概率最大的位置；
２、粒子出现概率最小的位置；
３、当n很大时，两相邻概率最小的位置之间的距离；
４、n=1时，在区间(0—a/4)发现粒子的概率是多少?
解： n=2 时
１、概率最大的位置
2
2x
2 
sin(
)
a
a
2 2 2x 当 2x  ( 2k  1) 
     sin
a
2
a
a
3
1
2k  1
x a
x a
x
a
4
4
4
2
有极大值
134
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２、概率最小的位置
2x
 k
a
除 x=0 ， x=a处
３, n 很大时，
k
x a
2
1
还有 x  a
2
n x
 k
a
k
x a
n
ka
x  xk 1  xk  2
n
135
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４,当 n=1 时，在区间 (0 —a/4) 发现粒子的概率是多少?
2 2 x
 dp   dx  sin
dx
a
a
2
a 2 a
2

x
x
4
2
4
2 x
p
sin
dx  
  sin
d( )
0 a
0 a 
a
a
a
a

2


a
0
4
1
2x x
(1  cos
)d ( )
2
a
a
a
2  1 x 1
2x  4
    sin
 2 a 4
a  0
=0.091
136
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§ 15-8 量子力学对氢原子的处理
一、氢原子的薛定谔方程
1 、氢原子的定态薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数
U 
e2
4 0 r
由于 U 只是 r 的函数，不随时间变化 ,是一个定态问题,
故其薛定谔方程为
2
2me
e
   2 (E 
)  0

4 0 r
2
由于原子核的质量比电子质量大很多,故核子在与电子相互电磁
作用中可视为静止。
137
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2 、氢原子的球坐标形式薛定谔方程
由于势能函数只是 r 的函数,球形对称，故采用球坐标方便些，
z


r
P
y
x
x  r sin  cos , y  r sin  sin  , z  r cos
138
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故此时的定态薛定谔方程为
1  2 
1


1  2 2me
e2
(r
) 2
(sin
) 2 2
 2 (E 
)  0
2
2
r r
r r sin  
 r sin  

4 0 r
对波函数进行变量分离,令
(r..)  R (r )()()
将其代入上式，并运用待定系数的方法,经整理可得三个方程：
d 2
2

m
l 0
2
d
2
ml 
1 d
d 
(sin
)  l (l  1)  2    0
sin  d
d
sin  

1 d 2 dR 2me
(r
)
2
r dr
dr

(1)
(2)

e2
 2 l (l  1) 

E 
 R  0 (3)
2
4 0r 2me r 

139
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解上述方程时，注意波函数的标准条件， ()中 ml只能取
某些特定值。
• 然后把ml 代入()的方程，这时只有某些l的值才有可接受
的解。

• 再把符合上述()方程的l 代入R(r) 就会发现，只有对
于某些总能量E <0才有可能的解。
解方程的结果,可得到描述粒子运动状态的三个重要的量子
数
主量子数 n ， 角量子数l ,
磁量力数ml
140
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二、几个重要结果
1,能量量子化（主量子数 n ）
(1) 若 E>0
即E=Ek+U>0
说明 Ek>U
这时电子已不再受氢核的束缚，其能量可取连续的任何值，
此时氢原子处于电离状态,电子可近似地视为自由电子。
(2)若 E<0, 即E=Ek+U<0
则 Ek＜U
根据其波函数必须满足的标准条件,解得
 mee
1
me
1
En 
 2  2 2  2
2
2
8 0 h n
4 0 (2) n
4
4
n=1,2,3,…
n 称为主量子数
n=1,2,3 ，…其决定着氢原子能量的取值。
141
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n=1 ，称之为基态，代入有关数据,算得
E1  13.6eV
n=2.3.4 ……称之为激发态,它们的能量为
E1  13.6ev

2
n
n2
这些结果显然与玻尔的结论一致，但这是解方程的结果，
无须人为地假设,故这是一个自洽的理论体系。
142
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2 、角动量量子化
氢原子核与电子之间的相互作用势函数为
U(r)=-ke2/r
具有球对称性，即具有转动不变性，由此可推知，电子的运动
状态也应具有某种转动不变性，我们不妨把电子运动状态的这种
转动不变性想象为一种 “轨道运动”（量子力学中没有轨道）。
(1)角量子数 l
解上述方程可得轨道角动量的大小为
L
l(l  1)
即轨道角动量 L 的大小是量子化的，式中 l 是角量子数。
计算表明，当主量子数 n 确定后 ,角量子数可取
l=0.1.2.3 … (n-1)
角动量 L 共有 n 个分立的值
这与玻尔理论不同,在玻尔理论中,
L  n
143
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(2)角动量不同态的名称
由于在光谱学中常用 s p d f …等字母分别表示 l=0,1,2，
3, … (n-1) 电子的状态 , 现仍沿用这些称号。
例如， n=2,l=0,1 就分别称之为 2 s态和 2 p 态，其对应关
系详见下节教材。
(3)简并现象，简并态,简并度
上面计算表明，对应于一个主量子数 n,可有 n 个不同的 l
值，也就是说，在同一能级，电子可取 n 个不同的角动量，电
子可取若干个不同的运动状态，这种现象称作 "简并" 现象。
简并态:指不同的运动状态的粒子，对应于同一能级的状态。
简并度:指一个能级所能允许的不同状态数。
144
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3 、角动量空间量子化
索末菲认为:玻尔的轨道平面，不仅轨道半径是量子化的,而且
轨道平面在空间的取向也是量子化的。
即，轨道角动量的大小是量子化的,而对
于一个给定的角动量 L ，其在 z 轴方向的
投影 Lz 也是量子化的。
+
计算表明：
Lz  ml 
ml  0,1,2...... l
Ml 称为磁量子数，其决定了电子角动量在空间的可能取向。
对于一个给定的 l
ml=0， ± 1， ± 2，... ± l，
这时 L 在空间可以有 (2l+1) 个可能取向。
145
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例：当 l=2 时， L 与轴的夹角可有如图的几种形式。
ml=0，± 1,± 2
ml=0 ，表示 L与 Z轴垂直 ,"±"表示 L 对 Z 轴正负向的投影,
Lz与L是矢量的分量与矢量的
模的关系,故mll 。
L 矢量永远不能与 Z 轴重
合，而只能有某些分立的夹角。
B, z
2
1
0
-1
-2
=2
说明: “Z 方向” 的问题在氢原子中，电子在库仑场中的势
函数具有球对称性，因此可选取任何一个方向为 Z 轴。但当
原子处在外场中 (磁场或电场) 时，球对称被破坏，这时外场
就是一个特殊方向，因此，一般选取外场方向为 Z 轴方向。
146
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对于氢原子中的电子简并度
在一个给定的能级 n
角动量的大小是量子化的
L  l (l  1)
l  0.1.2.......(n  1)
角动量在z轴的分量Lz也是量子化的,
Lz  ml 
ml  0.  1.  2....... l
那么，对应于每一个能级En，电子可以取的状态数有
1  (2n  1)
2
(
2
l

1
)


n

n

2
l 0
n 1
对应于每一个能级有 n2 个简并态，
对应于每一个电子状态,需要三个量子数
n, l, ml 来描述。
147
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§ 15-9
斯特恩－盖拉赫实验
一、塞曼效应
1 、轨道磁矩的量子化
根据电磁理论，绕核作轨道运动的电子，相当于一个圆电流，
其轨道磁矩μl 与轨道角动量 L 之间存在如下关系：
e
e
2
me vr
 r 
  IS 
2r / v
2me

e 
l  
L
2 me

B
L
Ly

e电子
式中“－”表示μ与 L 反向
e
l 
2me
l (l  1)  l (l  1)  B
e
式中  B  2m
e
L
叫波尔磁子。
148
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轨道磁矩μl 在 z 轴方向的分量也是量子化的
2 、塞曼效应
 z  ml  B
塞曼效应是把原子置于外磁场中测量其发射光谱，发现原
来无外磁场时的谱线分裂为几条分立的谱线。
原子从能级 Ei 跃迁到 Ef 发出的谱线频率为
0 
Ei  E f
h
当原子在强磁场中进行能级跃迁时，原子磁矩受到磁力矩
作用，磁力矩所做的功,就转换成磁矩和磁场的相互作用能
(即附加在每一能级的附加能)。
根据量子力学理论可知，一条谱线在磁场中将分裂成三条，
其频率为
e
e
0 
B
0 
B
0
4me
4me
这和观察到的结果完全一致。
149

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在磁场中，一条谱线分裂成三条，这种效应称之为正常塞曼效应。
p
l=1
ml=1
ml=0
ml=-1
s
l=0
但在很多情况下，观察到的结果要比这复杂些，即每条谱线
不是分裂成三条，而是更多，这种现象称之为反常塞曼效应。
要解释反常塞曼效应，还须考虑电子的自旋角动量和自旋磁矩。
150
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二、斯特恩-盖拉赫实验
测定原子磁矩的第一个实验是由德国科学家斯特恩与盖拉赫
于 1921 年完成的，他们所用装置如图所示
基态银
原子束
S
N
非均匀磁场
银
原
子
沉
积
斯特恩与盖拉赫用几种原子重复进行实验，都发现原子束经
非均匀场后发生偏转分裂的现象，这是因为原子的磁矩不同，
因而受到的磁力不同，所以偏转不同,这可以说明原子磁矩
(角动量) 在空间的取向是量子化的。
可以证明，这个力的大小与磁矩和磁感应强度的梯度乘积成
正比,即
151
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e Bz
Bz
  z  ml
Fz 
2me z
z
但是实验结果又有与薛定谔方程不能定量相符之处。
用处于基态的银原子作实验时，由于 l=0,故ml＝0，这时原
子束不应有分裂，但实验发现银原子束分裂成两束
基态银
原子束
S
N
非均匀磁场
银
原
子
沉
积
后来，随着光谱仪精度的提高，发现过去的每一条谱线，实
际上是靠得很近的 (即波长很接近) 的两条谱线，这称之为光
谱精细结构。
152
首 页 上 页 下 页退 出
§ 15-10
电子自旋
根据量子力学理论，处于基态的原子l =0 ， L  0 ，
本身没有轨道角动量，也没有磁矩，
   e 2me L，
但实验测得有磁矩，且在空间是量子化的,这又如何解释呢?


1925 年，荷兰物理学家乌仑贝克和高斯米特,针对上述实
验提出了电子自旋的假说：
他们认为，不能把电子看成一个简单的点电荷,电子除有绕
核转动的轨道角动量 L(和轨道磁矩μl)之外，还有一个与绕核
转动无关的,固有的自旋角动量 S(和自旋磁矩μs )。
斯特恩－盖拉赫实验中测得的磁矩正是自旋磁矩。这样电子的
自旋假说圆满地解释了斯特恩-盖拉赫实验、光谱学中的精细结构
(反常塞曼效应)。
153
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一、自旋磁量子数
自旋角动量的大小为
S 
s(s  1)
其中Ｓ是自旋量子数，它只能取一个值
S 
1 1
3
(  1) 

2 2
2
1
S 
2
自旋角动量和自旋磁矩在外场方向上的投影为
S z  ms 
 sz  ms  B
实验证明
m s 称作自旋磁量子数
ms 只能取± 1/2 两个数，
这就说明电子自旋角动量在外场的分量Sz，一个是顺着外场，
154
一个是逆着外场。
首 页 上 页 下 页退 出
z
电子自旋及空间量子化

S
1
ms 
2
3
S

2
O
1
ms  
2
“自旋”不是宏观物体的“自转”
只能说电子自旋是电子的一种内部运动。
155
首 页 上 页 下 页退 出
总起来,描述氢原子核外电子的状态需要
四个量子数： n ， l ，ml， ms
1、主量子数 n ， n =1,2,3,…
其决定了氢原子能量的可能取值
２、角量子数(副量子数)
l
1
m e4
En   2 
n (40 )2 (2h2 )
其决定了电子轨道角动量的可能取值
L
l(l  1)
l  0,1,2......(n  1), 共n个
３、磁量子数 ml
其决定了电子轨道角动量在空间的可能取向
Lz  ml 
ml  0,1,2,...  l
共2l  1个
４、自旋磁量子数 ms
其决定了电子自旋角动量在空间的取向
S z  ms 
ms  
1
2
共２个
156
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• 这样对于同一个主量子数 n ，电子可能具有的运动状态数为
2n2 个，对应于同一主量子数 n 所具有的简并度为 2n2 。
• 在薛定谔方程中，自旋是作为一个单独的假设而引入的，不是
方程本身所包含的，这是因为薛定谔方程没有考虑相对论效应；
1929 年狄拉克建立了相对论性量子力学，在这个理论中,自然地
证明了电子必定有一个固有自旋角动量，这充分说明了实验推动
了理论的发展。
• 进一步的研究表明，对于中子、质子、电子这些实物微观粒子,
它们具有ħ/2的奇数倍的自旋量子数,它们称为费米子;而另一些
如光子、介子等,它们的自旋量子数为 0 或 1，即有偶数个自旋
量子数，它们被称为波色子。
157
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例 15-26 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场
方向上的投影为Ｌz＝ｍlħ 当角量子数 l ＝２时，Ｌz 的可能
取值为________。
答：０， 1 ，－ 1 ，２，－２
例 16-27 下列四组量子数：
（１）ｎ＝３，  ＝２，ｍ l ＝０，ｍ s ＝ 1/2 ．
（２）ｎ＝３，  ＝３，ｍ l ＝１，ｍ s ＝ 1/2 ．
（３）ｎ＝３，  ＝１，ｍ l ＝-１，ｍ s ＝-1/2
（４）ｎ＝３，  ＝０，ｍ l ＝０，ｍ s ＝-1/2 ．
其中可以描述原子中电子状态的
（Ａ）只有（１）和（３）．
（Ｂ）只有（２）和（４）．
（Ｃ）只有（１）、（３）和（４）．
（Ｄ）只有（２）、（３）和（４）． 答：［ c ］
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§ 15-11 原子壳层结构
除氢原子外，从氦到铀的所有原子都是多电子原子，多电子
原子是个复杂的量子系统。
对于多电子系统，除了要考虑原子核对电子的作用，还要考虑
电子间的相互作用,电子间的相互作用与电子与原子核之间的相互
作用相比，一般较小，可以看作“微扰”，用“微扰”求解量子
力学问题，已超出本书范围。
在核外电子不是太多 (比如 Z ＝ 19 的钾以内) 时，作为一
级近似我们可略去电子间的相互作用，即认为每一个电子只受
到核的作用，这种近似称作独立粒子近似。这时原子中的每一
个电子，可以像氢原子中的电子那样，用四个量子数 n ， l ，
ml ,ms 来描述了。
在多电子原子中，由于电子与电子间有相互作用，象氢原子中
那样能级简并的情况已不存在。
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一、原子的 "壳层"
1、在多电子原子中，电子的能量不仅与主量子数 n 有关，
也与副量子数 l 有关。
2、原子核外电子的分布按一定壳层排列。
主量子数 n 相同的电子组成一个主壳层，简称壳层,主量
子数 n =1,2,3,4,5,6,7,…，其壳层分别用大写字母 K ，L ，
M ， N ， O ， P ， Q ，…来命名。
主量子数相同，而副量子数不同的电子分布在不同的支壳
层 (或分壳层) 上，副量子数 l 相同的电子组成一个支壳层，
l=0,1,2,3,4,5 …，相应的支壳层分别称为 s ， p ， d ， f
g ,h ，…。
一般来说，主量子数越小，能级越低；同一主壳层中副量子
数 l 较小的支壳层能级较低。
例如
K 壳层中只有 S 支壳层;
L 壳层中有 S，P 两个支壳层;
M 壳层中有 S，P，d 三个支壳层等。
160
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二、泡利不相容原理
在独立粒子近似下,系统的总波函数可由各个独立的电子波函
数的积构成，而每个电子的波函数又要用四个量子数来描述，那
么处于基态的多电子原子，描述每个电子的四个量子数是不是完
全相同呢?是不是所有的电子都处于能量最低的内层呢?
1925 年奥地利物理学家泡利在仔细分析了原子光谱及光谱在
外磁场中分裂的塞曼效应之后指出:
一个原子中不可能有两个或两个以上的电子处在同一量子状
态，具有完全相同的四个量子数 (n,l,ml，ms)， 这就是泡利
不相容原理。
在多电子系统中，能级的简并已消失，但泡利不相容原理则
起支配作用。这样，在同一个 n 所决定的壳层中所能容许的电
子态数的数目，即在同一主量子数 n 所决定的主壳层中,最多
能允许的电子态数目依然为
n 1
zn  2 (2l  1)  2n 2
l 0
161
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原子中各壳层和分壳层可容纳的最多电子数

n
1, K
2, L
3, M
4, N
5, O
6, P
7, Q
0
s
2
2
2
2
2
2
2
1
p
6
6
6
6
6
6
2
d
10
10
10
10
10
3
f
14
14
14
14
4
g
18
18
18
5
h
22
22
6
i
26
Zn=2n2
2
8
18
32
50
72
98
＊：在钾（Ｋ， z=19 ）之后，原子的能量由 n 和 l 共同决
定,此后原子壳层实际可容纳的电子数与上表不同。
*: 进一步的研究表明，泡利不相容原理只对费米子成立而
对玻色子不成立。
162
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三、能量最低原理
原子系统处于正常状态时，每个电子都趋向于占据最低能级,
这就是能量最低 (小) 原理。
在核外电子数不太多时，即原子在元素周期表中的原子序数不
太大的情况下，主量子数 n 越小，而且当 n 一定时，副量子数l
越小，能级就越低。
163
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例 15-28 写出 Na （ Z ＝ 11 ）的电子组态
K 壳层 (n=1)
s 支壳层 l =0 ，ml =0 ， ms = +1/2 （或 -1 /2）
K 壳层最多可容纳 2 个电子.
L壳层(n=2)
s支壳层 l = 0.
ml=0，ms= 1/2
2s2
ml=1，ms= 1/2
p支壳层 l =1
ml=0，ms = 1/2
2p6
ml=-1, ms= 1/2
L壳层最多可容纳8个电子
M 壳层 (n=3)
s 支壳层 l=0 ,ml =0 ， ms =  1/2
其可以表示为
1 s2 2 s2 2 p6 3 s1
上面符号右上角标的数字为该壳层的电子数，这叫原子的电
164
子组态。
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四、关于元素周期表--１、对于各基态的原子，它们的电子按泡利原理和能量最低原
理，从最低的能级开始依次填充。
当各壳层达到它们所能允许的最大电子数时,则说它们为满
壳层或是闭合壳层。
随着原子序数的增加，即电子数的增加，从最低能级逐级向
高能级填充，填满一个壳层，又一个壳层，从而形成周期性结
构,这就是周期表的来源。
２、 "壳层" 的填充:
下面我们来按照泡利原理和能量最低原理填充几个“壳
层”,
以体会一下原子的壳层结构：
K 壳层 (n=1)
s 支壳层 l=0 ，ml=0 ， ms=  1/2
H(z=1) 1s1
He (z=2) 1s2 氦是第一个填满壳层的元素。
165
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L壳层(n=2)
s支壳层
l= 0.
ml=0，ms= 1/2
ml=1， ms= 1/2
p支壳层
l=1
ml=0， ms = 1/2
ml=-1， ms= 1/2
L壳层最多可容纳8个电子
2s2
2p6
锂(Li, z=3) 1s2 2s1 锂是第一个开始填充L壳层的元素,
是碱金属,化学性质活泼。
铍(Be, z=4) 1s2 2s2
硼(B, z=5) 1s2 2s2 2p
……
氖(Ne,z=10) 1s2 2s2 2p6
为惰性气体。
氖是第二个满壳层的元素,
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M壳层(n=3)
s支壳层
l= 0.
ml=0， ms= 1/2
ml=1， ms= 1/2
p支壳层 l=1
ml=0， ms = 1/2
ml=-1， ms= 1/2
ml=2， ms= 1/2
ml=1， ms= 1/2
＊d支壳层 l=2
ml=0， ms =1/2
ml=-1， ms= 1/2
ml=-2， ms= 1/2
L壳层最多可容纳18个电子
3s2
3p6
3d10
钠（ Na,z=11)1s2 2s2 2p6 3s1
镁（毫克,z=12)1s2 2s2 2p6 3s2
……
氩（ Ar,z=18)1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
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当原子序数增加，电子数增多时，原子能级的高低出现了畸
变，在核外电子还不太多时电子间相互作用较弱，能量主要由
主量子数 n 来决定，故电子按 K ， L 壳层顺序填。但实验
表明,从 (钾 K, Z =19) 开始，电子间相互作用就强到能影响
能级了，这时能量由 n 和 l 共同决定。其结果是,电子能量随
着 l 变化而稍有增大。
能级高低由经验公式（ n ＋ 0.7 l ）来决定。
如4s和3d比较，(4+0.7×0)=4＜(3+0.7×2)=4.4,所以先填4s态。
在第三壳层上,只有3s(n=3,l=0),3p(n=3,l=1)两个支壳层,而
3d(n=3,l=2)支壳层排在4s之上,到了第四壳层中去了，于是在
第三壳层(M壳层)上也只有8个允许的量子态。
第三壳层从钠开始，一直排到氩，刚好填满第三壳层，故氩
是第三个惰性气体。而第一个填充Ｍ壳层的钠原子则是化学性
质非常活泼的碱金属，第三周期也是 8 个元素。
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能级
壳层中电子数 满壳层电子数
7p
6d
5f
7s
6
10
14
2
32
118(?)
6p
5d
4f
6s
6
10
14
2
32
86(Rn)
5p
4d
5s
6
10
2
18
54(Xe)
4p
3d
4s
6
10
2
18
36(Kr)
3p
3s
6
2
8
18(Ar)
2p
2s
6
2
8
10(Ne)
1s
2
2
2(He)
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第四壳层 (N 壳层)
从钾开始,其第19个电子不是先填充3d,而是先占据4s,次3d,后
4p等支壳层,共有18个允许的量子态。所以第四周期共有18个元
素。第四周期中最后一个氩也是惰性气体。
*从上面分析可看出，元素周期律是核外电子按实际的能级高低
分布顺序而划分的，它与壳层排列的理想次序并不完全相同。
*从电子在单电子能级分布的角度来看，每当与相邻高能级间
的能级差特别大的单电子能级被完全占满时，就出现惰性气体,
从能级图可以看出:
1S
2P
3P
4P
－
－
－
－
2S
3S
4S
5S
能级间，级差特大，故
能级间，级差特大，故
能级间，级差特大，故
能级间，级差特大，故
1S
2P
3P
4P
被充满时,就出现氦
被充满时,就出现氖
被充满时,就出现氩
被充满时,就出现氪
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例 15-29 根据泡利不相容原理，在主量子数ｎ＝２的电子
壳层上最多可能有多少个电子？试写出每个电子所具有的四个
量子数 n ， l ，ml ,ms 之值。
答：在ｎ＝２的电子壳层上最多可能有８个电子．
它们所具有的四个量子数（ n ， l ，ml , ms ）分别为
（１） (２，０，０,1 ／ 2) ；
（２） (２，０，０,－ 1 ／ 2)
（３） (２，１，０,1 ／ 2) ；
（４） (２，１，０,－ 1 ／ 2) ；
（５） (２，１，１,1 ／ 2) ；（６） (２，１，１,－ 1 ／ 2) ；
（７）;(２，１，－１,1 ／ 2)
（８） (２，１，－１,－ 1 ／ 2) ．
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例 15-30 锂（Ｚ＝３）原子中含有３个电子，电子的量子态可
用（ n ， l ，ml ,ms ）四个量子数来描述，若已知其中一个电
子的量子态为（１，0，0， 1 ／ 2 ），则其余两个电子的量
子态分别为（________）和（________）
１，０，０，－ 1 ／ 2
２，０，０， 1 ／ 2 或２，０，０，－ 1 ／ 2
例 15-31 钴（Ｚ＝ 27 ）有两个电子在 4s 态，没有其它ｎ≥４
的电子，则3d态的电子可有____________个．
解：有[7] 个；
参考解，钴的电子组态为 1 s2 2 s2 2 p6 3 s2 3 p6 3 d7 4 s2
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