Transcript Maria Guzik - Macierze

Macierze
Maria Guzik
Czym jest macierz ?
Macierz najłatwiej wyobrazić sobie
jako tabliczkę z liczbami. Może ona
mieć różną liczbę wierszy oraz
kolumn. Macierze oznaczamy dużymi
literami alfabetu, natomiast ich
elementy małymi. Poniżej
przedstawiłam przykładowe macierze:
Zapis macierzy
Gdy mówimy o elemencie macierzy mamy na myśli
konkretną liczbę znajdującą się w jej określonym
miejscu. Położenie dowolnego elementu macierzy
możemy określić podając numer wiersza oraz numer
kolumny, w której się znajduje. Wygodnym sposobem na
określanie elementów macierzy jest podawanie ich z
indeksami odpowiadającymi numerowi wiersza oraz
kolumny, w której znajduje się dany element, np. element
leżący w trzecim wierszu i drugiej
kolumnie znajdującej się tu
macierzy możemy oznaczyć
jako a32.
Zapis macierzy - przykład
Na poniższym przykładzie
zaznaczyłam numery wierszy i kolumn.
Możemy odczytać, że element a23 leżący
w drugim wierszu i trzeciej kolumnie to 4.
Działania na macierzach
Tak jak dla liczb rzeczywistych, dla
macierzy również istnieją pewne działania.
Macierze można dodawać, odejmować i
mnożyć. Należy pamiętać o tym, że dla
macierzy nie zostało zdefiniowane
dzielenie. Kolejną rzeczą, która jest ważna
przy operacjach na macierzach jest to, iż
mnożenie macierzy nie jest przemienne !!!
Dodawanie macierzy
Dodawanie macierzy można wykonać tylko
dla macierzy o tych samych wymiarach (taka
sama ilość wierszy oraz kolumn). Działanie to
polega na dodawaniu do siebie
odpowiadających sobie elementów, tzn. do
elementu leżącego w pierwszym wierszu oraz
pierwszej kolumnie pierwszej macierzy
dodajemy element leżący w pierwszym wierszu
oraz pierwszej kolumnie drugiej macierzy, itd.
dla kolejnych elementów.
Dodawanie macierzy - przykład
Poniżej został przedstawiony przykład
dodawania macierzy:
+
=
Odejmowanie macierzy
Odejmowanie macierzy można wykonać
podobnie jak dodawanie - tylko dla macierzy o
tych samych wymiarach. Działanie to polega na
odejmowaniu od siebie odpowiadających sobie
elementów, tzn. od elementu leżącego w
pierwszym wierszu oraz pierwszej kolumnie
pierwszej macierzy odejmujemy element leżący
w pierwszym wierszu oraz pierwszej kolumnie
drugiej macierzy, itd. dla kolejnych elementów.
Odejmowanie macierzy - przykład
Poniżej został przedstawiony przykład
odejmowania macierzy:
-
=
Mnożenie macierzy przez skalar
Macierze możemy mnożyć przez liczbę
(skalar). Polega to na pomnożeniu każdego
elementu macierzy przez tę liczbę. Poniżej
przedstawiłam przykład:
5*
=
Mnożenie macierzy razy macierz
Mnożenie macierzy jest nieco bardziej skomplikowane
niż przedstawione wcześniej działania. Aby mnożenie było
możliwe, pierwsza z mnożonych macierzy musi mieć taką
liczbę kolumn, jak druga wierszy, w innym przypadku nie da
się zrealizować mnożenia.
Aby obliczyć pierwszy element wynikowej macierzy
należy pomnożyć element a11 razy element b11, a następnie
do tego iloczynu dodać wynik mnożenia elementu a12 razy
b21, itd. dla kolejnych elementów pierwszego wiersza
pierwszej macierzy i pierwszej kolumny drugiej macierzy.
Podobnie postępujemy dla uzyskania następnych
elementów macierzy wynikowej. Może wydaje się to trochę
skomplikowane, ale kolejne slajdy powinny rozjaśnić to
działanie.
Mnożenie macierzy - przykład
Aby łatwiej było
stwierdzić, jaki wymiar
będzie miała macierz
wynikowa, mnożenie
macierzy zapisujemy
w następujący sposób:
Zapis czynności, które wykonujemy obliczając
element a11 macierzy wynikowej zaznaczony na
czerwono wygląda tak:
7*1+8*7+2*8+3*9=7+56+16+27=106
*
=
Obliczając kolejne elementy iloczynu
postępujemy tak samo, np. dla elementu a22
obliczenie wygląda następująco:
7*2+4*8+1*7+2*0=14+32+7+0=53
Dowód na nieprzemienność
mnożenia macierzy
*
=
*
=
Jak widać na przedstawionym przykładzie, oba
iloczyny są zupełnie różne, chociaż składniki
mnożenia są takie same, tylko w odwrotnej kolejności.
Zastosowanie macierzy
Macierze mogą ułatwić rozwiązywanie
wielu problemów matematycznych.
Najprostszym przykładem wykorzystania
macierzy jest rozwiązywanie układów
równań. Macierze znajdują również
szerokie zastosowanie w wielu
dziedzinach techniki, takich jak
informatyka, elektronika itd.
Dziękuję za
uwagę !