Transcript Ćwiczenie VI. Podstawy algebry macierzy cz. I

Ćwiczenie VI. Podstawy algebry macierzy, cz. I
Strona internetowa ćwiczeń:
http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112
Dodatkowe materiały dydaktyczne:
1.
Ulrich W., 2009: Matrix algebra for students of biotechnology (for students of the first year of master
studies). Copyright © 2009 W. Ulrich. http://www.home.umk.pl/~ulrichw/Matrix/Matrix1.pptx (11
października 2011).
2.
Ulrich W., 2007, 2008: Skrypt do matematyki, cz II (wektory i macierze) i cz III (łańcuchy Markowa).
Copyright © 2007-2008 W. Ulrich. http://www.home.umk.pl/~ulrichw/MathStat/MathII.pdf
http://www.home.umk.pl/~ulrichw/MathStat/MathIII.pdf (11 października 2011).
3. Miszczyńska D., 2011a: Podstawy algebry liniowej (Matematyka – materiały dydaktyczne). Copyright ©
2011 D. Miszczyńska i Wyższa Szkoła Ekonomiczno-Humanistyczna w Skierniewicach (Wydz.
Zarządzania). http://wsehsk.home.pl/files/zarzadzanie/materialy/Podstawy_algebry_liniowej.pdf (11
października 2011).
4. Miszczyńska D., 2011b: Wyznaczniki (Matematyka – materiały dydaktyczne). Copyright © 2011 D.
Miszczyńska i Wyższa Szkoła Ekonomiczno-Humanistyczna w Skierniewicach (Wydz. Zarządzania).
http://wsehsk.home.pl/files/zarzadzanie/materialy/Wyznaczniki.pdf (11 października 2011).
5. Volpi L. & Foxes Team, 2007: Matrix Functions and Linear Algebra for Excel (freeware). Copyright ©
2007 L. Volpi. http://digilander.libero.it/foxes/SoftwareDownload.htm (11 października 2011).
Biologiczne bazy danych bardzo często mają charakter macierzy. Np.
występowanie różnych organizmów żywych w różnych miejscach
(stanowiskach) można zapisać w formie tabeli, w której gatunki
będą wierszami, a stanowiska – kolumnami. Z matematycznego
punktu widzenia jest to macierz prostokątna, której zapis i definicja
są następujące:
Macierze, w których
m = n, nazywamy
kwadratowymi,
gdzie n – to stopień
macierzy. Ponadto
mogą jeszcze być
macierze diagonalne, jednostkowe
(ang. „unity matrix”;
odpowiednik „1”
wśród liczb, ozn.
„I”), zerowe,
symetryczne,
ortogonalne,
górnotrójkątne
i dolnotrójkątne.
Źródło – poz. 3 z dodatkowych materiałów dydaktycznych
Przegląd podstawowych elementów macierzy i ich typów:
Liczby, które np. mogą być
elementami macierzy, z matematycznego punktu widzenia są
skalarami,zaś wiersze i kolumny
- wektorami. Znajomość algebry macierzy, wymaga podstawowej znajomości algebry
wektorów i praw/twierdzeń
związanych z nimi. Wektory
można dodawać, odejmować
do/od siebie. Można je także
mnożyć lub dzielić (mnożenie
przez odwrotność) przez skalar.
Możliwy jest także iloczyn skalarny wektorów, zgodnie z równaniem:
Tego typu iloczyn jest zerowy
wtedy, gdy jeden z wektorów
jest zerowej długości lub wtedy,
gdy mnożone wektory są prostopadłe, czyli ortogonalne. Istnieje
również inny typ iloczynu wektorów – tzw. iloczyn wektorowy,
którego wynikiem jest inny wektor – pod warunkiem, że wektory
znajdują się nie na płaszczyźnie, ale w przestrzeni, co najmniej
trójwymiarowej. Mnożenie wektorów jest łączne i rozdzielne.
Iloczyn skalarny jest przemienny, ale wektorowy – nie. Dzielenie przez
wektor, nie jest możliwe (brak jednoznacznego wyniku –
nieskończenie wiele rozwiązań).
W biologii (ekologia, genetyka, taksonomia) często spotykane
są kwadratowe macierze asocjacji, które mogą być albo macierzami
podobieństwa (1 na przekątnej) lub odległości (0 na przekątnej).
Miarami podobieństwa mogą być współczynniki Soerensena lub
Jackarda, a odległości – odległość euklidesowa lub jej kwadrat
(wykorzystanie w praktyce: taksonomia numeryczna/analiza
skupień). Przykład tworzenia tego typu macierzy (ze skryptu):
I. Podstawowe operacje i działania na macierzach
1.
Transpozycja (przestawienie) macierzy – polega na zamianie jej
wierszy na kolumny, a kolumn – na wiersze (transponowaną
macierz A, oznaczamy A’ lub AT).
Przykład:
W wyniku transpozycji kwadratowej macierzy symetrycznej, uzyskujemy macierz identyczną z wyjściową:
Transpozycja macierzy ma własności:
(AT)T = A
(A + B)T = AT + BT
(A  B)T = BT  AT
Suma wszystkich elementów na przekątnej kwadratowej macierzy
symetrycznej, nazywana jest jej śladem (ang.: trace):
2. Dodawanie i odejmowanie macierzy
Sumą macierzy Amxn i Bmxn nazywamy taką macierz Cmxn (C = A + B), że
dla każdej pary wskaźników (i,j) zachodzi równość: cij = aij + bij.
Stąd wniosek, że można dodawać tylko macierze o takich samych
wymiarach (w przypadku macierzy kwadratowych – tego samego
stopnia). Przykład dodawania:
Dodawanie macierzy jest przemienne: A + B = B + A i łączne:
(A + B) + C = A + (B + C).
Odejmowanie macierzy można potraktować, jako dodawanie
elementów macierzy ze znakiem ujemnym/przeciwnym. Przykład
odejmowania macierzy:
Powtarzane dodawanie do siebie tej samej
macierzy, równoważne jest jej przemnożeniu
przez skalar, odpowiadający liczbie
powtarzanych operacji dodawania:
Mnożenie macierzy przez skalar jest przemienne, łączne i rozdzielne
względem dodawania.
3. Mnożenie macierzy
Ogólny algorytm mnożenia przez siebie macierzy jest następujący (za
źródłem: http://www.bazywiedzy.com/mnozenie-macierzy.php ):
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, jest łączne i rozdzielne względem dodawania:
Macierze można mnożyć  liczba kolumn I-szej mac.=liczbie wierszy mac.II.
Przykład na nieprzemienność mnożenia
macierzy:
Nawet mnożenie macierzy kwadratowych najczęściej nie jest
przemienne; jeśli tak – to macierze nazywamy przemiennymi.
Mnożenie macierzy kwadratowej przez siebie, równoznaczne jest z
podnoszeniem jej do potęgi, np.: A  A = A2 i A  A  A = A3. Iloczyn
macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną. Przykład na
mnożenie macierzy – z rozpisaniem wyników pośrednich:
4. Odwracanie macierzy
O ile macierze, można dzielić przez skalar (co jest traktowane jako
mnożenie – przez jego odwrotność), to dzielenie macierzy przez
macierz nie jest możliwe (podobnie, jak w przypadku wektorów:
brak jednoznacznego wyniku – nieskończenie wiele rozwiązań).
Macierze można odwracać. Odwracanie macierzy polega na
znajdowaniu macierzy odwrotnej w stosunku do danej. Jest ono
możliwe tylko wtedy, gdy macierz jest niesosobliwa i gdy ma niezerowy wyznacznik (patrz dalej). Macierz kwadratową B = [bij]nxn nazywamy odwrotną do macierzy kwadratowej A = [aij]nxn , jeśli spełniony
jest warunek: A  B = B  A = In. Macierz odwrotną wobec A ozn. A–1.
Macierz osobliwa, to taka macierz kwadratowa, która nie daje się
odwrócić. W macierzach osobliwych, pewne wiersze lub kolumny
można wyrazić jako kombinacje liniowe innych kolumn/wierszy.
Takie kolumny wiersze nie zawierają unikalnej informacji (są
zbyteczne). Macierz 22, można odwrócić zgodnie z równaniem:
Odwracanie większych macierzy jest kłopotliwe i w praktyce są tu pomocne programy
komputerowe. Przy analitycznym odwracaniu
macierzy, przydatna jest znajomość jej wyznacznika (patrz dalej).
Jeżeli A jest macierzą nieosobliwą, to: (A–1)T = (AT)–1 oraz (A–1 )–1 = A.
Jeżeli A i B są nieosobliwymi macierzami tego samego stopnia, to:
(A  B)–1 = B–1  A–1 (kolejność jest tu istotna, gdyż zazwyczaj
mnożenie macierzy jest nieprzemienne). Macierz kwadratową A
spełniającą warunek: AT  A = A  AT = I, jest macierzą ortogonalną.
Przykład odwracania macierzy:
Przykład macierzy osobliwej:
(inaczej: zdegenerowanej;
ang.: „singular”)
W podanym uprzednio przykładzie macierzy osobliwej, trzecia kolumna
powstała przez przemnożenie kolumny II-giej przez 4 – czyli jest jej
liniową kombinacją. Odwracanie macierzy można przeprowadzić
zgodnie z algorytmem Gaussa-Jordana (wykład, skrypt). Przy odwracaniu macierzy diagonalnej, uzyskujemy również macierz diagonalną, na przekątnej której są odwrotności elementów macierzy wyjściowej:
II. Wyznaczniki macierzy
Ważnym parametrem macierzy kwadratowych są ich wyznaczniki (dla
macierzy Anxn, wyznacznik zapisywany jest jako det A lub |A|). Dla
n = 1, wyznacznik jest równy jedynemu elementowi macierzy. Jeżeli
macierz A ma stopień n > 1, to jej wyznacznik można obliczyć
ze wzoru:
, gdzie det Aij oznacza wyznacznik
powstały po skreśleniu i-tego wiersza
i j-tej kolumny wyjściowej macierzy
(czyli jej minor). Dopełnieniem algebraicznym (Dij) elementu macierzy kwadratowej nazywamy iloczyn jej
minora przez (–1)i+j. Wartość wyznacznika |A| stopnia n obliczamy ze
wzoru: |A| = a1jD1j + a2jD2j +…+ anjDnj (j = 1, 2, 3,…n)
lub
|A| = ai1Di1 + ai2Di2 +…+ ainDin (i = 1, 2, 3,…n). Są to tzw. wzory
Laplace’a na rozwinięcie wyznacznika odpowiednio wg j-tej kolumny
lub i-tego wiersza. W praktyce, wyznacznik macierzy 22, można
wyliczyć z równania:
Przykład:
Dla macierzy 33, możemy zastosować tzw. regułę Sarrusa, gdzie po
prawej stronie macierzy dopisujemy jej I-sze 2 kolumny, a następnie
tworzymy iloczyny elementów macierzy ze znakami „+” wzdłuż
strzałek czerwonych i „–” – wzdłuż strzałek niebieskich:
Ogólny schemat Sarrusa:
Przykład:
Współcześnie, wyznaczniki macierzy większych niż 33, wyliczane są
za pomocą programów komputerowych. Wyznacznik macierzy trójkątnej (tak górnej, jak i dolnej), jest iloczynem elementów jej przekątnej głównej:
Podstawowe własności wyznaczników:
1. Wyznacznik transpozycji macierzy,
równy jest wyz. macierzy wyjściowej:
det AT = det A;
2. Jeżeli 1 z wierszy (lub kolumn)
macierzy A składa się z samych zer, to det A = 0;
3. Jeżeli zamienimy miejscami 2 wiersze (lub 2 kolumny), to wyznacznik zmieni znak na przeciwny;
4. Jeżeli do elementów jednego wiersza (lub kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (lub kolumny) pomnożone przez
pewną stałą, to wartość wyznacznika nie zmieni się;
5. det (AB) = det A  det B;
6. Jeżeli w macierzy A 2 wiersze (lub 2 kolumny) są identyczne,to |A|=0.
Zależność pomiędzy wyznacznikiem a odwracaniem macierzy:
Z definicji macierzy odwrotnej – dla odwracalnych macierzy: AA–1 = I.
Można to rozpisać:
Wniosek: macierz jest odwracalna  ma niezerowy wyznacznik.
Tylko wtedy nie jest ona osobliwa. Dla każdej macierzy osobliwej, |A| = 0.
Wyznacznik można też wykorzystać przy analitycznym odwracaniu macierzy:
Dopełnienie algebraiczne elementu aij macierzy A liczymy:
dij = (–1)i+j  Mij, gdzie Mij jest minorem macierzy A, czyli wyznacznikiem podmacierzy powstałej po
skreśleniu i-tego wiersza i j-tej
kolumny z wyjściowej macierzy A.
Transponowana macierz dopełnień algebraicznych, nazywana jest też macierzą dodaną (AD, ang:
„adjoint matrix”): AD = [dij]T.
Wyznaczniki, są ważne przy rozwiązywaniu układów równań liniowych
oraz przy wyznaczaniu rzędu macierzy.
III. Rząd macierzy
Rząd macierzy A (rzA) o wymiarach mn jest to maksymalna liczba
niezależnych liniowo kolumn/wierszy lub jest stopniem
najwiekszej kwadratowej podmacierzy nieosobliwej, zawartej w A.
Dla macierzy prostokątnej o wymiarach mn, rzA  min (m, n).
Minorem (podwyznacznikiem) stopnia k macierzy A (o wymiarach
mn), nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k,
która powstała po skreśleniu m – k wierszy oraz n – k kolumn
w macierzy A. Rzędem macierzy niezerowej nazywamy największy
stopień jej niezerowego minora. Rząd macierzy nie ulega zmianie,
gdy:
a.
wykreślimy kolumnę (wiersz) zerową;
b. --------”------------ wszystkie kolumny (wiersze) proporcjonalne do danej
kolumny (wiersza);
c. Przestawimy kolumny (wiersze);
d.
Dodamy do kolumny (wiersza) inną kolumnę (wiersz) lub sumę innych kolumn (wierszy) pomnożonych przez współczynniki rzeczywiste.
Podstawowe własności rzędu macierzy:
1. rzA  min (m, n).
2. rzA = 0  A = 0 (tj. A jest macierzą zerową).
3. Macierz kwadratowa jest odwracalna  jej rząd = jej stopniowi.
4. Jeżeli B jest macierzą prostokątną o wymiarach nk rzędu n, to
rz(AB) = rzA. Podobnie jeśli C jest macierzą o wymiarach lm rzędu m,
to rz(CA) = rzA.
5. Dla macierzy kwadratowych A i B stopnia n, zachodzi nierówność:
rzA + rzB – n  rz(AB) (nierówność Sylvestera).
6. Jeżeli B jest macierzą o wymiarach o wymiarach mn, to:
rz(A + B)  rzA + rzB.
7. rzAT = rzA, czyli transpozycja nie zmienia rzędu.
Rząd macierzy można oszacować wyliczając wyznaczniki podmacierzy kwadratowych, pozostających po wykreśleniu kolejnych
wierszy i kolumn (jeśli wyznacznik jest niezerowy, to rząd macierzy
wyjściowej jest równy stopniowi podmacierzy, której wyznacznik
wyliczono). Postępowanie takie jest bardzo żmudne i obecnie rząd
macierzy wylicza się korzystając z programów komputerowych
(patrz – ostatnie zadanie w praktycznej części ćwiczenia). Znajomość rzędu macierzy jest niezbędna przy rozwiązywaniu układów
równań liniowych z wykorzystaniem algebry macierzy.
Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. VI.
• Wskazówki do zadania 1:
Licząc iloczyn skalarny wektorów: [1 2 3 4] i , mnożymy I-szy wyraz
(liczbę) z wektora poziomego z I-szym – z wektora pionowego. Analogicznie – mnożymy: II z II, III z III i IV z IV. Uzyskane iloczyny – sumujemy:
[1 2 3 4] 
= 1  5 + 2  6 + 3  7 + 4  8 = 5 + 12 + 21 + 32 = 70
Chcąc wyliczyć to samo, stosując program on-line – po otwarciu
wskazanej witryny internetowej, uzyskujemy następujący ekran
(następne przeźrocze):
Traktując mnożone przez siebie wektory, jako szczególne przypadki
macierzy (pierwsza: 1  4, druga: 4  1), należy wskazać liczbę
kolumn i wierszy w odpowiednich polach:
Następnie klikamy w przycisk:
z polami do wprowadzania liczb:
Uzyskujemy wektory/macierze:
Po wprowadzeniu liczb,
otrzymujemy (następne
przeźrocze):
…gotowe do mnożenia (wypełnione liczbami) wektory/macierze:
Dalej – klikamy w przycisk:
„Wykonaj”
Klik
.....i uzyskujemy wynik:
W celu uruchomienia rozszerzenia MS Excel 2003 („Matrix Functions
and Linear Algebra”), należy kliknąć w odpowiednią ikonę MS Excel:
Klik
Ukazuje się zestaw menu
rozszerzenia:
Klikamy w celu otwarcia
w menu „Macros”
Spośród komend menu „Macros”, na niniejszym ćwiczeniu potrzebna
będzie komenda „Matrix operations…”
Klik
Na ćwiczeniu kolejnym, użyteczna
będzie też komenda:
„Eigen-solving…”:
Po wprowadzeniu do roboczego arkusza Excela odpowiednich
wektorów/macierzy, uruchamiamy: Matrix  Matrix operations. Dalej
– wybieramy „Multiplication” (następne przeźrocze):
Klik (1)
Klik (2)
Wreszcie klikamy w
suwak pola wyboru
drugiej macierzy /
wektora: „Matrix /
Vector B” (pierwsza
macierz/wektor –
„Matrix / Vector A”,
jak również zakres
pola wyników –
„Output, są już
wybrane)
…pojawia się okienko:
…które zamykamy (o ile nie
zamknie się samo) i wybieramy blok z II-gim
wektorem/macierzą.
Klik
Ekran po wyborze:
Wybrany blok:
Dalej klikamy w przycisk
„Run”
Uzyskujemy wynik:
Wskazówki do zadania 2:
Czynności mnożenia, zarówno za pomocą programu on-line, jak
i dodatku do MS Excel: „Matrix Functions and Linear Algebra” –
wykonujemy analogicznie, jak w zadaniu poprzednim. Końcowy
wynik mnożenia wymienionych w zadaniu macierzy (AB),
w programie on-line – wygląda następująco:
Ostateczny wynik mnożenia tych samych macierzy w MS Excel +
„Matrix Functions and Linear Algebra”:
Wyniki są identyczne – niezależnie od programu użytego do liczenia.
Wyniki mnożenia macierzy w odwróconej kolejności (BA), są
odmienne. Licząc w programie on-line, uzyskujemy:
W MS Excel + „Matrix Functions and Linear Algebra”:
Wniosek: mnożenie macierzy nie jest przemienne.
Wskazówki do zadania 3:
Operacja transpozycji macierzy polega na takim jej przekształceniu,
aby wiersze stały się kolumnami:
W rozpatrywanej na ćwiczeniu
macierzy:
To samo zadanie, wykonane za pomocą MS Excel + „Matrix
Functions and Linear Algebra” – wyniki zgodne! (następne
przeźrocze):
Wskazówki do zadania 4:
Odwracanie macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy nie jest ona
osobliwa (ang.: „singular”), czyli – gdy żaden jej element (wiersz,
kolumna) nie jest liniową kombinacja innych elementów. Wynik
odwrócenia I-szej macierzy:
Wynik odwracania II-giej macierzy nie jest pomyślny:
Poddawana odwracaniu macierz, jest osobliwa – gdyż jej drugi wiersz,
jest wynikiem przemnożenia wiersza pierwszego przez -2.
Wskazówki do zadania 5:
Wyznacznik macierzy 22, liczony jest zgodnie z równaniem:
W konkretnym przypadku naszego
zadania, będzie to:
Wyliczenie wyznacznika pierwszej spośród dwu macierzy z
poprzedniego zadania (w „Matrix Functions…”), jest na następnym
przeźroczu:
Wyznacznik niezerowy – stąd wniosek, że macierz nie jest osobliwa:
Wyznacznik = 0  macierz osobliwa!
Wskazówki do zadania 6:
Macierz A jest ortogonalna, gdy AT  A = I. W przypadku macierzy z naszego zadania:
Po przemnożeniu macierzy
transponowa
-nej przez wyjściową,
uzyskujemy (zgodnie z definicją) – macierz jednostkową (I):
Identyczny wynik uzyskujemy, mnożąc macierze w kolejności
odwrotnej, czyli A  AT:
Macierz odwrotna rozpatrywanej macierzy ortogonalnej, jest równa jej
transpozycji, czyli: AT = A-1:
Macierz ortogonalna, która spełnia powyższy warunek, nazywana
jest ortonormalną.
Wskazówki do zadania 7:
Poprzez rząd macierzy rozumiemy maksymalny wymiar nieosobliwej
podmacierzy, jaką możemy wyznaczyć w obrębie macierzy badanej.
Mając zainstalowany dodatek „Matrix Functions…”, rząd macierzy
możemy łatwo wyznaczyć w MS Excel za pomocą funkcji „MRank”,
którą wprowadzamy następująco: „=mrank(k_pocz:k_końc)”, gdzie:
k_pocz – adres komórki początkowej macierzy, k_końc – adres komórki
końcowej macierzy. Dla pierwszej macierzy z zadania:
Dla drugiej:
Zaś dla trzeciej:
W każdym przypadku rząd badanej macierzy wynosił 5.
Wskazuje to, że w pierwszym przypadku cała macierz (a ściślej mówiąc
– jej podmacierz kwadratowa: 55) jest nieosobliwa, a jej wszystkie
wektory (kolumny i wiersze) są liniowo niezależne.
W przypadku drugiej macierzy, ostatnia (VII-ma) kolumna zawiera wyniki przemnożenia liczb występujących w kolumnie III-ciej –
przez –0,5, a ostatni (VI-ty) wiersz – wyniki przemnożenia liczb
zawartych w wierszu IV-tym przez 4. Tak więc wspomniane: ostatni
wiersz i kolumna są liniowo zależne od innych wierszy/kolumn
wewnątrz macierzy.
Trzecia macierz: obok takiej samej zawartości, jak macierz 2ga, jej ostatnia (VIII-ma) kolumna zawiera wyniki przemnożenia
kolumny I-szej przez 0,25, a w ostatnim (VII-mym) wierszu – są wyniki przemnożenia wiersza III-go przez –1,5. Tak więc liniowo niezależna jest tutaj górna podmacierz 55 – podobnie, jak w przypadku
macierzy 1 i 2.
Z powyższych względów rząd wszystkich trzech badanych
macierzy jest taki sam i wynosi 5.
Znajomość rzędu macierzy może być przydatna przy
rozwiązywaniu układów równań liniowych (zapisanych w formie
macierzowej) – a konkretnie przy wstępnej ocenie, czy dany układ
równań jest niesprzeczny (rozwiązywalny) i czy ma jednoznaczne
rozwiązanie.
Dziękuję
za uwagę ;-)