Macierze, wyznaczniki, odwracanie macierzy i wzory Cramera

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 1

Macierze - definicja

Definicja

: Macierzą nazywamy prostokątną tablice     

a a a

 11 21

m

1

a

12

a

22 

a m

2    

a a

 1

n

2

n a mn

     utworzoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) a ij gdzie a ij skrzyżowaniu i-tego wiersza i j-tej kolumny.

(i=1,…,m; j=1,…,n), jest wyrazem (lub elementem) macierzy znajdującym się na Macierz o m wierszach i n kolumnach oznaczamy [a ij ], [ a ij ] m×n , A m×n i nazywamy macierzą o wymiarze m×n.

lub A Jeżeli w macierzy jest m = n, to macierz tą nazywamy kwadratową stopnia n.

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 2

Macierze – podstawowe wiadomości

Definicja (równość macierzy)

: Macierze A= [a ij ] i B= [b ij ] nazywamy macierzami równymi, co zapisujemy A = B, jeżeli mają ten sam wymiar m×n i jeżeli a ij = b ij dla i=1,…, m oraz j=1,…, n.

Definicja (macierz transponowana)

: Macierz A ’ , która uzyskana z macierzy A przez zamianę wierszy macierzy A w miejsce kolumn (i odwrotnie) z zachowaniem ich kolejności nazywa się macierzą transponowana (względem A) lub macierzą przestawioną.

Zachodzi też zależność: ( A’)’ = A

A

     1 2  1 7 1 2 3 4 5    

A

'      1 7 3 2 1 4 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011  2 5 1     3

Macierze – podstawowe wiadomości

Definicja (macierz jednostkowa)

przekątnej.

: Macierzą jednostkową oznaczana przez E lub E n , gdzie n jest jej stopniem, nazywamy macierz diagonalną o jedynkach na głównej

E

    1   0  0 0 1  0     0 0  1     

Definicja (macierz zerowa)

: Macierzą zerową, oznaczaną symbolem 0, nazywamy każdą macierz, której wszystkie elementy są zerami.

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 4

Macierze – podstawowe działania

Definicja (suma macierzy)

: Sumą macierzy A= [a ij ] i B= [b ij ] o tym samym wymiarze m×n nazywamy macierz C= [c ij ] o tymże wymiarze, której elementy są sumami odpowiednich elementów macierzy A i B, mianowicie: C=A+B= [a ij ] + [b ij ]= [a ij +b ij ]= [c ij ] Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 5

Macierze – podstawowe działania

Definicja (mnożenie macierzy przez liczbę)

liczbę α.

: Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz B= αA, której każdy element jest iloczynem odpowiedniego elementu macierzy A przez α[a ij ] =[α a ij ]

a

 2

A

   1 3 2 4  

aA



Aa

   2 6 4 8   Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 6

Macierze – podstawowe działania

Uwaga:

Iloczyn macierzy A i macierzy B jest określony wtedy, gdy „długość” wiersza macierzy A jest równa „wysokości” kolumny macierzy B.

Definicja (iloczyn macierzy)

: Iloczynem AB macierzy A mxn =[a ij ] i macierzy B nxr =[b jk ] nazywamy taką macierz C mxr =[c ik ], której wyrazami są liczby: c ik =a i1 b 1k +a i2 b 2k +…+a in b nk

A

   1 3 2 4  

AB



BA

   1 3   0 0   2  4  6 6

B

   0 6 4 6   1  4 3  4   2 4   6 6      12 24 16 36   Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 7

Wyznaczniki

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 8

Wyznacznik - definicja

Definicja

: Wyznacznikiem det A macierzy kwadratowej A=[a ij ] nazywamy liczbę

j

1 , 2

j

 ,..., (  1 )

t j n a

1

j

1

a

2

j

2 ...

a nj n

gdzie suma jest rozciągnięta na wszystkie możliwe permutacje drugich wskaźników

j 1 , j 2 , … , j n

liczb 1, 2, …,n, przy czym

t



inv

(

j

1

,

j

2

,...,

j n

)

jest ilością inwersji permutacji

j 1 , j 2 , … , j n

.

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 9

Wyznacznik - definicja

Obliczanie wyznacznika macierzy z definicji: • Dla n=1: det[

a

11 ] 

a

11 • Dla n=2: możliwe permutacje: 1, 2 2, 1

t



inv

( 1 , 2 )  0

t



inv

( 2 , 1 )  1 det

A



a

11

a

21

a

12

a

22  (  1 ) 0

a

11

a

22  (  1 ) 1

a

12

a

21 

a

11

a

22 

a

12

a

21 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 10

Wyznacznik - definicja

• Dla n=3: możliwe permutacje: 1, 2, 3 2, 3, 1 3, 1, 2 3, 2, 1 1, 3, 2 2, 1, 3

t t t t t



inv

( 1 , 2 , 3 ) 

inv

( 2 , 3 , 1 )   0 2  

inv inv

( 3 , ( 3 , 1 , 2 ) 2 , 1 ) 

inv

( 1 , 3 , 2 )   2 3  1

t



inv

( 2 , 1 , 3 )  1 det

A



a a

11

a

21 31

a a a

12 22 32

a

13

a

23

a

33   (  1 ) 0

a

11

a

22

a

33  (  1 ) 2

a

12

a

23

a

31  (  1 ) 2

a

13

a

21

a

32  (  1 ) 3

a

13

a

22

a

31  (  1 ) 1

a

11

a

23

a

32  (  1 ) 1

a

12

a

21

a

33  

a

11

a

22

a

33 

a

12

a

23

a

31 

a

13

a

21

a

32 

a

13

a

22

a

31 

a

11

a

23

a

32 

a

12

a

21

a

33 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 11

Schemat Sarrusa

Schemat Sarrusa to prosty algorytm na obliczenie wyznacznika:

a

11 det

A



a

21

a

31

a

12

a

22

a

32

a

13

a

23 

a

11

a

22

a

33 

a

12

a

23

a

31 

a

13

a

21

a

32 

a

13

a

22

a

31 

a

11

a

23

a

32 

a

12

a

21

a

33

a

33 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 12

Wyznacznik – rozwiniecie Laplace’a

Zdefiniujmy pojęcia minoru i dopełnienia algebraicznego:

Definicja:

stopnia

n

Minorem

M ik

elementu

a ik

wyznacznika macierzy kwadratowej nazywamy wyznacznik macierzy stopnia

n-1,

która powstaje z

A

macierzy

A

po opuszczeniu

i

-tego wiersza i

k

-tej kolumny.

Definicja:

Dopełnieniem algebraicznym

A ik

nazywamy iloczyn: elementu

a ik

wyznacznika

A ik

 (  1 )

i



k M ik

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 13

Wyznacznik – rozwiniecie Laplace’a

Twierdzenie (Laplace’a):

Wyznacznik macierzy

A

stopnia dopełnienia algebraicznego:

n

jest równy sumie iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi

|

A

|



a i

1

A i

1 

a i

2

A i

2 

...



a in A in

|

A

|



a

1

k A

1

k



a

2

k A

2

k



...



a nk A nk

( 1 

i



n

) ( 1 

k



n

) Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 14

Własności wyznacznika

Tw.1.

Wyznacznik macierzy A jest równy wyznacznikowi jej macierzy przestawionej: det

A

 det

A

'

Tw.2.

Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy zeru.

Tw.3.

Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów jednego wiersza lub kolumny przez c, to:

det

B



c

det

A

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 15

Własności wyznacznika

Tw.4.

Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy zeru.

Tw.5.

Wyznacznik nie ulega zmianie, gdy do elementów jednej kolumny (wiersza) dodać odpowiednie elementy innej kolumny (wiersza) pomnożone przez dowolną stałą.

Tw.6.

Przez zmianę między sobą dwóch kolumn lub dwóch wierszy wyznacznika otrzymujemy wyznacznik, którego wartość różni się znakiem od wartości danego wyznacznika Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 16

Przykłady

Przykład:

Obliczymy wyznacznik macierzy:

A

     1 2  1 2 1 2 3 4 5     1 det

A

 2  1 2 1 2 3 4  1  1  5  2  4  (  1 )  3  2  2  (  1 )  1  3  2  4  1  5  2  2  5  5  8  12  3  8  20   16 1 2  1 2 1 2 3 1 4 2 5  1 2 1 2 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 17

Przykłady

Przykład:

Obliczymy wyznacznik macierzy A korzystając z twierdzenia Laplace’a i podstawowych własności wyznacznika.

A

       2 3 5 4 3  5 4 2  4 2 3 5  5 4 3 2      Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 18

Przykłady

2 det

A

 3 5  4 3  5 4 2  4 2 3 5 5 4  2 3 

w

4  2

w

1

w

2

w

3  

w

1 2

w

1  2 1 1 0 3  8  2 8  4 6 11  3 5  1  12  13 0 

w

3

w

1  

w

2 2

w

2  1 0 0 19  8 6 8  16 6 5  3 7  1  11 13  (  1 ) 19 6 8  16 5  3 7  11  13 

k k

1  3 

k

2 2

k

2  (  1 ) 35 1 11  16 5  3  25  1 7 

k

2

k

3   5

k

1

k

1  (  1 ) 35 1 11  191 0  58 10 0 18  (  1 )(  1 )  191  58 10 18   2858 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 19

Odwracanie macierzy

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 20

Macierz odwrotna - definicja

Definicja:

Macierz B nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A, jeśli:

AB



BA



E

gdzie E jest macierzą jednostkową.

Macierz A nazywa się macierzą odwracalną, jeśli istniej macierz odwrotna do macierzy A.

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 21

Macierz nieosobliwa

Definicja:

Macierz kwadratową

A

, dla której

detA ≠ 0

, nazywamy macierzą nieosobliwą.

Twierdzenie:

Macierz odwracalna

A

jest macierzą nieosobliwą Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 22

Macierz dołączana

Macierzą dołączaną

A D

macierzy kwadratowej

A =

[

a ik

] nazywamy macierz transponowaną macierzy utworzonej z dopełnień algebraicznych elementów macierzy

A

, tzn.

A D

      

A

 11

A

12

A

1

n A A

 21

A

22 2

n

   

A n

1

A



n A nn

2       gdzie

A ik

jest dopełnieniem algebraicznym elementu

a ik .

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 23

Wyznaczanie macierzy odwrotnej

Twierdzenie:

Dla dowolnej macierzy kwadratowej

A

zachodzi równość:

AA D



A D A



A E

gdzie

E

jest macierzą jednostkową.

Twierdzenie:

Jeśli

A

jest macierzą nieosobliwą, to macierz

A

 1  1

A A D

jest macierzą odwrotną do macierzy

A.

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 24

Przykład

Przykład 1.:

Oblicz macierz odwrotną do macierzy

A

      1 0 4

Rozwiązanie:

Na początku sprawdzamy wyznacznik macierzy det

A

 1  0 Obliczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A: 0 2 1   3 1 3    

A

11  2 1  3  9 3

A

21   0 1  1   1 3

A

12   0  4

A

22   1 4  3  12 3  1   1 3

A

13  0  4 2 1  8

A

23    1 4 0 1   1

A

31  0 2  1  3  2

A

32   1 0  1  3  3

A

11  1 0 0 2  2 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 25

Przykład

Na podstawie wcześniejszych obliczeń tworzymy macierz dołączoną:

A D

     9 12 8  1  1  1 2   3 2  

A D

     

A

 11

A

12

A

1

n A

21

A

22 

A

2

n

   

A n

1

A



n A nn

2      Zgodnie ze wzorem na macierz odwrotną otrzymujemy:

A

 1      9 12 8  1  1  1 2 3 2    

A

 1  1

A A D

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 26

Przykład

Przykład:

Oblicz macierz odwrotną do macierzy A za pomocą przekształceń elementarnych

A

      1 0 4 0 2 1   3 1 3    

Rozwiązanie:

Na początku sprawdzamy wyznacznik macierzy det

A

 1  0 Dostawiamy do macierzy A macierz jednostkową E:      1 0 4 0 2 1  1 1  3 0 3 0 0 1 0 0   0 1   Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 27

Przykład

Stosując przekształcenia elementarne dążymy po lewej stronie do macierzy jednostkowej:      1 0 4   1   0 0 0 2 1 0 2 1  1  3 3 1 0 0  1 1  3 0  1 4   1   0 0 0 0 1  1  1 1  1  8 4 0 1 0 0 1 0 0 0 1     0 0 1     0 1 0  0 1 2    

w

3  4

w

1

w

2  2

w

3

w

2 * (  1 )

w

2 

w

3 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 28

Przykład

  1   0 0 0 1 0  1 1  1 4 1 8 0 0  1 0 1 2       1   0 0 0 1 0 0 9 0 12 1 8  1  1  1 2   3 2  

w

2

w

1 

w

3 

w

3 Ostatecznie otrzymujemy macierz odwrotną:

A

 1      9 12 8  1  1  1 2 3 2     Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 29

Wzory Cramera

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 30

Układ Cramera

Układ

n

równań liniowych o

n

niewiadomych

a a

11

x

1  21

x

1 

a

12

x a

22

x

2 2   

a

1

n x n

  

a

2

n x n



b

1 

b

2

a n

1

x

..........

..........

..........

.....

1 

a n

2

x

2   

a nn x n



b n

nazywamy układem Cramera, jeśli det

A

 det[

a ij

]  0 .

Macierz nazywamy macierzą układu,

detA

– wyznacznikiem układu.

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 31

Twierdzenie Cramera

Twierdzenie

: Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, dane wzorem

x k

 |

D k A

| (

k

 1 , 2 ,....,

n

) gdzie

D k

jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy zastąpienia w niej

k-tej A

w wyniku kolumny kolumną wyrazów wolnych układu.

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 32

Przykład

Przykład:

Rozwiązać układ równań: 2

x x

1 1   3 2

x

2

x

2   4 3

x

3

x

3  

x

4 4

x

4   6  7

x

3

x

1 1   3

x x

2 2   2

x

7

x

3 3   2

x

6

x

4 4   9  7

Rozwiązanie:

Obliczamy wszystkie potrzebne nam wyznaczniki: 1 |

A

|  2 3 1  2 3 1  3 3  4  2 7  1 4  2  35  0 6 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 33

Przykład

|

D

1 |   6 7 9  7 |

D

2 |  1 2 3 1 6  7 9  7  2 3 1  3 3  4  2 7 3  4  2 7  1 4  2  70 6  1 4  2   35 6 1 |

D

3 |  2 3 1 1 |

D

4 |  2 3 1  2 3 1  3  2 3 1  3 6  7 9  7 3  4  2 7  1 4  2  0 6  6 7 9  7   70 Na podstawie wzorów Cramera obliczamy wartości niewiadomych:

x

1  |

D

1

A

|  70 35  2

x

2  |

D

2

A

|   35   1 35

x

3  |

D

3

A

|  0 35  0

x

4  |

D

4

A

|   70   2 35 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 34

Koniec

Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 35

Bibliografia

Prof.. Aleksander Romanowski: Algebra Liniowa, 2003 Marek Ciżmowski, WFTiMS PG 2011 36