Transcript Séminaire « Rappels cristallographie 2 - POLYCOP

Séminaire 2
CRISTALLOGRAPHIE
Indexation et représentation
des plans réticulaires
2011
SGM
Auteur : ESNOUF Claude
CLYM
Introduction
Vous êtes autorisé :
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• A modifier ce document, selon les conditions suivantes : Vous devez
indiquer la référence de ce document ainsi que celle de l’ouvrage de
référence :
ESNOUF Claude. Caractérisation microstructurale des matériaux : Analyse par les
rayonnements X et électronique. Lausanne: Presses polytechniques et
universitaires romandes, 2011, 596 p. (METIS Lyon Tech) ISBN : 978-2-88074-884-5.
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INDEXATION et REPRESENTATION des
PLANS RETICULAIRES
Plan réticulaire = plan de réseau (plan qui passe par les nœuds du réseau)
Les homologues parallèles et équidistants passent par tous les nœuds du réseau.
INDICES DE MILLER : h, k, l pour représenter les plans,
u,v, w pour représenter les directions.
x3
PLANS
c/l

c

a
(111)

b
b/k
x2
a/h
x1
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NON
(1 1 0,5)
(221)
OUI
(2 2 1)
h, k, l entiers
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Quelques plans simples :
z
z
(100)
(010)
(010)
(100)
y
x
y
x
Si cubique : (100), (010), (001) sont indiscernables du point de vue
de la symétrie : on dit qu’ils appartiennent à la famille {100}
Si quadratique : {100} comprend (100), (010) mais pas (001)
etc.............
Le plan hkl est noté (hkl) et par {hkl}, les plans de même symétrie.
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Quelques plans simples (suite) :
z
z
(110)
(-110)
y
y
1
x
x
Si cubique : (110), (-110), (011), (01-1), (101), (-101) (et leurs
opposés) appartiennent à la famille {110},
Si quadratique : seuls (110), (-110) (et leurs opposés)
appartiennent à la famille {110}.
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Quelques plans simples (suite) :
z
z
(1-11)
(111)
y
y
1
x
x
Si cubique : (111), (-111), (1-11), (11-1), (et leurs opposés)
appartiennent à la famille {111},
Si quadratique : (111), (11-1), (1-11), (-111) (et leurs opposés)
appartiennent à la famille {111}.
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Q : Comment reconnaître les plans d’une
même famille ?
R : Ceux qui ont la même symétrie et donc la
même distance réticulaire, par exemple.
Exemple :
Cubique
1
2
dhkl
Quadratique
1
2
d hkl
Monoclinique
{125}{251} {152}  .......
= h2 + k 2 + l 2
1
2
dhkl
h2 + k 2 l2
=
+ 2
2
a
c
{125}{215} {-215} {512}
h2
k2
l2
2hl cos
= 2 2 + 2+ 2 2 a sin  b
c sin  ac sin 2 
{125}{1-25} {-125} {12-5}  ...
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AXES

N
Remarque :
x3
wc

c

a

V
D[uvw]

b
(hkl)
vb
ua
x2
x1




V = ua + vb + w c
D appartient à  si :
hu + kv + lw = 0
en toutes bases
 
N.D = 0
De même,

mais N n’a pas pour
composantes h, k, l !!!!!
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Cas particulier de l’hexagonal (le notation à 4 indices) :
-(x+y)
A6
Ajout d’un 4ème axe
(010)

b
(1-10)
y

a
(100)  (10-10)
x
(100)
Plans d’une même famille {100}
Plans d’une même famille { 1 1 00}
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Cas particulier de l’hexagonal (suite) :
Notations 4 indices :
(hkl)  (hkil) avec i = - (h+k)
Par exemple : (125) devient (12-35)
La permutation des 3 premiers indices est autorisée pour les plans d’une même
famille (symétrie 6 oblige) :
(2-315)  {12-35}
c’est à dire que :
ou que :
d2-315 = d12-35 = d-3215
d2-35 = d125 = d-325
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Cas particulier de l’hexagonal (suite) :
Notations 4 indices des directions :
(UVW)  (uvtw) avec t = - (u+v)
Par exemple : [123] devient [01-13]
Le passage d’une notation à l’autre est résumée par le tableau :
3 indices
Directions
U = 2u + v
V = 2v + u
W=w
4 indices
u = (2U - V)/3
v = (2V - U)/3
t = - (u + v)
w=W
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Changements d’axes ?

D
[uvw]

D

c

b

a
(HKL)
[UVW]
(hkl)

A
Ancien
A

C

B
Nouveau
[ ]
u1
v1
w1
a
B = u2
C
u3
v2
v3
w2
w3
b
c
Matrice
si




A = u1 a + v 1 b + w 1 c

B = etc........
[M]
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Changements d’axes (suite) :

Soit un vecteur r:







r = ua + vb + w c = UA + VB + WC




r = Uu1a + Uv1b + Uw1c



+ Vu 2a + Vv 2b + Vw 2 c
d’où :



+ Wu 3a + Wv 3b + Ww 3 c
u = Uu1 + Vu 2 + Wu 3
v = Uv1 + Vv 2 + Wv 3
w = Uw1 + Vw 2 + Ww 3
ce qui s’écrit :
u
[ ]
u1
u2
u3
U
v = v1
w
w1
v2
w2
v3
w3
V
W
u
soit
[MT]
v =
w
U
V
W
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A
Tableau d’application :
(M)
~
u
a*
M
{
h
{ a
v
b*
w
c*
k

b
l

c
{
MT
[M]
B =
C
a
b
c
anciens
{
{
*
M
{
U A
V B*
W C*

H A

K B

L C
nouveaux
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A
Tableau d’application :
[M]
B =
C
M-1
{
{
u a*
v b*
w c*
h
k
l
V
W
*
B*
C*
K

B
L

C
{A
H
{ A
b
c
nouveaux
M-1
{

a

b

c
U
{
~
(M-1)
a
anciens
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ESPACE et RESEAU RECIPROQUES
Direct
Réciproque

a

b

c
  
v = a.b c
*   
a = b c/ v
*  
b = c a / v
 *  
c = a b/ v
 * *  *
*
v = a .b c
compatibles avec :

a a* = 1
 *
bb =1

c c* = 1
  *  *
ab =ac = 0
 *  *
ba =bc =0
 *   *
ca =cb =0
Exemple : HEXAGONAL

b
60°

a

a*
*
b

a b  a 2 cos(30 )
v  a 2c cos(30 )
 
b  c  ac
donc

a* 
1
2

a cos(30 ) a 3
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Réseau réciproque
PROPRIETES :
1 - Produit scalaire :




V(direct) = ua + vb + w c
*

* *
**
V (réciproqu e) = u a + v b + w*c*
 *
V V = u u* + v v* + w w*
2 – Indices de Miller :
x3
x3*
c/l

N

c
H
DIRECT

a

b
o
lc*

c*
o

a*
ha*
b/k
x2
a/h
x1

OH = dhkl
RECIPROQUE

ghkl
*
b
kb*
x2*
x1*
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Réseau réciproque
Soit :
 * *
*
ghkl = ha + kb + lc



ga=h ; gb=k ; gc=l
Or :

 

dhkl = OH = N a / h = N b / k = N c / l
  
h = g a = N a / dhkl
D’où :
ghkl
 plan 
g= 1/dhkl
(hkl)
(dhkl : distance interréticulaire)
R.R.  Espace de points
Application : Droite [uvw] d’un plan (hkl) est telle que :

hu + kv + lw = 0
ghklest  à la droite et donc :
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Réseau réciproque
3 – Espace réciproque – Espace de Fourier :
Rappel : Notion de série de Fourier
f(t) = -+F(n).exp(2int)
F(n) = 1 t=0 Tf(t).exp(-2int) dt
T
f(t)
F(n)
T
n
t
Périodique
1/T
Discret
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Réseau réciproque

Soit une fonction tripériodique f (r ) = f ( x, y , z ), qui se développe de la



manière suivante :
f (r ) = g f (g ). exp( 2iRr )

 3
1

f (R) =
f (r ). exp(-2iRr ) d r
avec
v maille

= Transformée de FOURIER (TF)


t
r
Si est la période dans l’espace des :

 

f (r + t ) = f (r )
exp(2iR t ) = 1

ou
R t = entier


R
g
Si on identifie à un vecteur
l’espace
:
  de
 * réciproque
*
*
R = g = ha + kb + lc
(h, k , l entiers)




t = ua + vb + w c
(u, v , w entiers)

R t = hu + kv + lw = entier
* Conclusion :
R.R.  Espace de Fourier
En tout point de l’espace réciproque d’un cristal, est associé un coefficient de
FOURIER d’une série à 3 dimensions. Cette série est égale à une fonction
décrivant une propriété f( r ) de l’espace direct.
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Une application directe :
NORMALE à un PLAN (hkl) :
 *
1 - Systèmes à bases orthogonales : ( a // a , etc ....)

 * * à une constante près
*
N = ha + kb + lc
 

Mais,  h k l ha kb lc
N= +  + = 2 + 2 + 2
a b c a
b
c
donc :

N = [h/a2, k/b2, l/c2]
Le cas particulier du système cubique entraîne que la normale à un
plan (hkl) s’indexe [hkl].
Exemple du quadratique a = 2c : Le plan (401) admet pour normale
[4/a2,0,4/a2], c’est à dire : [101].
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Normale à un plan (suite)
2 - Système à base hexagonale :

b
60°

a

a*

4a
3a 2

2b
3b 2

a*
*
b

a.a* = 1 donc


4a
2b

a* = 2 + 2 ;
3a
3b
a* = b * = 2
a 3

 * 2a
4b
b = 2 + 2 et
3a
3b

* c
c = 2
c
4
16
4
*2
=
d
'
où
a
=
9b 2 9a 2
3a 2





2
a
2
b
c


N = ha* + kb* + lc* = 2 ( 2h + k ) + 2 ( 2k + h) + 2
3a
3a
c
car :
2
a* +
En notation 4 indices, u = (2U-V)/3 , ....., il vient :
u = 2(4h+2k-2k-h)/9a2 = 2h/3a2
v = 2(4k+2h-2h-k)/9a2 = 2k/3a2
w = l/c2
Finalement, le plan (hkil) prend pour normale :

N=
[h, k, i, 3/2(a/c)2l]
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LES
FORMULES
USUELLES
Les distances
interréticulaires
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LES
FORMULES
USUELLES
Les angles
entre plans
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LES
FORMULES
USUELLES
Les volumes de maille
Séminaire suivant : « Emission, détection, propagation, optique des rayons X »
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