Transcript Sayı Kavramı ve Öğretimi

Sayı kavramının tarihsel
gelişimi ve Doğal sayılar
• İlk insanlar, rakam ve sayı kullanma ihtiyacı
duymuşlardır.
• Avladıkları hayvanların veya sürülerdeki
koyunların sayılarını belirlemek için yaşadıkları
mağara duvarlarına veya bir ağaç dalına
çentikler yapmışlardır.
• Bazen de ipe düğüm atma veya çakıl taşlarını
tercih etmişlerdir.
• İnsanlar ihtiyaçlarını daha iyi karşılamak
için ilk çağlardan beri karşılaştırma adını
verdiğimiz bir eylemde bulunurlar.
• Karşılaştırma ile daha iyiyi, daha güzeli,
daha kuvvetliyi, yeterliyi, uygunu seçmek
mümkün olur. Karşılaştırma yapabilmek
miktarı ya da özelliği anlamak, miktarı
anlama da sayıları kullanmakla
gerçekleşir.
• İlkçağlardan beri kullanmakta olduğumuz
onluk sayı sistemine kadar çok değişik
sayı sistemleri icat edilmiş ve
kullanılmıştır.
• Günümüzde dünyada genelde onluk
sistem kullanılmaktadır. Bunun yanı sıra
halen kullanılan başka sayı sistemleri de
vardır.
Mısırlılarda sayı sistemi
•
•
•
•
Mısırlıların sayı sistemi onluk sistemdir.
Örneğin,
10= “I” işareti
1= ”^” işareti olarak kullanılmıştır.
• Örneğin 53= III II ^^^
• 100= g sembolü kullanılmıştır.
• Örneğin 653=ggg ggg III II ^^^
• Aşağıdaki işlemleri mısır sayı sistemine göre sembolize ediniz ve
işlemi çözünüz.
• a) 165=
• b) 456=
Sümerlilerde sayı sistemi
• Sümerlilerde sayılarını altmışlık sayma
sisteminde yazmışlardır.
• Bu sistemde,
• 1=
küçük koni,
• 10 =
bir bilye
• 60 =
bir büyük koni
• 600=
delikli büyük koni kullanmışlardır.
Romalılarda sayı sistemi
• Romalılar da onluk sisteme göre işlem
yapmışlardır.
• X= 10
• C= 10x10=100
• M= 10X10X10=1000
• 5 sayısı için özel bir şekil oluşturduktan
sonra 5’in katlarını da gruplandırdılar.
V=5
L=50
D=500
• Romalılarda sıfır ve basamak kavramı
yoktur.
• Sadece toplama ve çıkarma işlemleri
yapmışlardır.
Yazım şekilleri şöyledir;
• I, X, C harfleri yan yana en fazla 3 defa yazılır.
• V, L, D, M harfleri birden fazla yan yana
yazılmaz.
• III=1+1+1=3 XX=20
• Küçük sayıları gösteren rakamlar büyük sayıların
soluna yazılırsa çıkarılarak; sağına yazılırsa
toplanarak okunur. VII=7 IV=4
• V, L, D rakamları çıkarma amacıyla kendinden
büyük rakamların soluna yazılmaz.
• I yalnız V ve X’ten;
• X; yalnız L ve C den;
• C yalnız D ve M den çıkarılır.
• Bir rakamın veya rakamların üzerine çizilen bir
çizgi bu sayının 1000 katının iki yatay çizgi 1000
000 katının alındığını gösterir.
Aşağıdaki işlemleri Roma
rakamlarına göre düzenleyin.
a) 165=CLXV
• b) 456=CDLVI
• c) XIV=14
• d) LIV=54
Sayı Kavramı ve Öğretimi
• “Sayı kavramı” tüm matematik
programının yapı taşını oluşturur.
• Ancak; yapılan araştırmalar, sayı ve
işlemleri öğrenmenin çocuklar için
karmaşık bir süreç olduğunu göstermiştir.
• Daha öncede bahsedildiği gibi,
insanoğlunun kullandığı ilk sayılar sayma
sayıları olup, çocuk da ilk defa sayma
sayılarını kullanır.
• Sayma sayıları kümesine 0 (sıfır) ilâve
edildiğinde doğal sayılar kümesi elde edilir.
• Birinci sınıfta doğal sayı kavramıyla ilgili
çalışmalara başlamadan önce bazı hazırlık
çalışmalarının yapılması gereklidir.
• Bu çalışmalar;
• ritmik saymalar,
• varlıklar arasındaki ilişkiler,
• küme ve eleman kavramlarıyla ilgili temel bilgi
ve beceriler ile azlık-çokluk karşılaştırmalarını
• kapsar.
Ritmik Sayma Çalışmaları
• Doğal sayı kavramının öğretimiyle ilgili
etkinliklerinin başlangıcı ritmik saymadır.
• Ritmik sayma mekâniktir; bu yüzden ritmik
saymaya mekânik sayma da denir.
• Ritmik sayma anlamlı değildir, ancak çocuğun
sayı adlarıyla karşılaşmasını sağlar; bu yüzden
sayı kavramının kazanılmasında ilk adım sayılır.
2 kiraz, 4 kiraz, 6 kiraz, 8 kiraz, 10, 12, 14
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Mini mini birler
Çalışkandır ikiler
Tembeldir üçler
Mutludur dörtler
Somurtkandır beşler
Altı altını aldılar
Yediler yemeğini yediler
Sekizler sekseğimi sildiler
Dokuzlar mezun olup
gittiler
•
•
•
•
•
•
•
On, yirmi, otuz, …., yüz
Dere tepe düz
Ördek suda yüz
Vak vak vak
Koca adam kalk
Lambaları yak
İşlerine bak
•
•
•
•
Etkinlik: İleri, geri saymalar, ritmik saymalar
İşlemler:
Makarnaları 2’şer, 2’şer ayırarak sayınız.
Avucunuza 3 Makarna alınız, sonra diğer makarnaları
bunun üzerine ikişer ikişer alarak sayınız.
• Avucunuza bir miktar makarna alınız. Geriye doğru birer
birer, ikişer ikişer geriye doğru sayarak bırakınız.
• Birinci sınıfta çocuğun avucuna 30 makarna sığar. Sizin
avucunuz tahminen kaç makarna sığar?
• Grup üyelerinden kimin avucuna en fazla fasulye sığar?
Geriye doğru sayarak kontrol ediniz.
• Sizde dört kişi bir araya gelin ve sayma ve
ritmik sayma için uygun etkinlikler
oluşturun.
• Etkinlik adı:
• Amacı:
• Süre:
• Materyaller
• Yapılacak İşler:
• İlköğretim matematik programında birinci
sınıfın hedefleri arasında
• 100’e kadar 1’er, 5’er, 10’ar ritmik sayma
• 30’dan geriye sayabilme,
• 20’den geriye 2’şer ritmik sayma yer
almaktadır.
Varlıklar arasındaki ilişkiler,
az-çok, yakın-uzak, altındaüstünde…
• Sizde dört kişi bir araya gelin varlıklar
arasındaki ilişkileri kavratmaya yönelik
etkinlikler oluşturun.
• Etkinlik adı:
• Amacı:
• Süre:
• Metryaller
• Yapılacak İşler:
Sınıflandırma-sıralama çalışmaları
•
•
•
•
•
•
•
Ne gibi etkinlikler yapabiliriz?
Büyükten küçüğe sıralayalım
Küçükten büyüğe sıralayalım
Renklerine göre sınıflayalım
Boyutlarına göre sıralayalım
Yapıldığı maddelere göre sıralayalım
Şekillerine göre sıralayalım
Etkinlik: İki özelliğe göre
sınıflama
• İşlemler1 :Carrol diyagramı
• Tablodaki ? Yerlerin doldurulması
• Seçilen her hangi bir parçanın yerine
doğru konulması için kaç özelliğin
incelendiğinin açıklanması
• Carrol diyagramında satıra turuncu,
pembe gibi başka renkler konulabilir mi?
•
Carrol diyagramında
sütuna paralel kenar,
beşgen konulabilir
mi*
kırmızı sarı yeşil mavi
Daire
?
?
?
?
Kare
?
?
1
?
Dikdörtgen
?
?
?
?
Paralel kenar
?
?
?
?
İşlemler 2:Ağaç diyagramı
•
•
•
•
Her grup ağaç diyagramını kendi nesnelerine
göre sınıflama yapsın.
Ağaç diyagramında ilk olarak renk yerine şekil
dalaması konulabilir mi? (eğer çizilebilirse
buna uygun diyagram çizilmesi)
Ağaç diyagramında çizime üçüncü bir özellik
ile (örneğin büyük, küçük) devam edilebilir mi?
(eğer çizilebilirse buna uygun diyagram
çizilmesi)
Bu diyagramın Carrol diyagramı ile
karşılaştırılması.
• Sayı kavramına hazırlayıcı ikinci sayma çalışması,
• sayı adlarının birer objeye karşı getirilmesidir; bu,
anlamlı saymanın başlangıcıdır.
• Çocuk bu sayma türüyle de okula gelmeden önce
karşılaşmıştır.
• Evde annesi, babası ve öteki büyükleri, çeşitli yollarla
onlara sayı saydırmışlardır.
• Parmakları, odadaki sandalye, koltuk gibi eşyaları,
evdeki bireyleri, adımları ve oyuncaklarını sayma
bunlardan bazılarıdır.
• Çocuklar saymalarda, bire-bir eşlemeden
yararlanır.
• Bu saymanın
• sıralı olması,
• objelerin atlanmaması ve
• bir sayıya birden çok objenin karşı
getirilmemesine özen gösterilmelidir.
Bu saymada birebir eşleme uygun şekilde
yapıldığından sayma doğrudur.
Bu sayma, doğal sayıların sırasına uyulmadığından
yanlıştır.
Bu sayma, her sayı bir objeye karşı
gelmediğinden yanlıştır.
DOĞAL SAYI KAVRAMI VE BİR BASAMAKLI
DOĞAL SAYILARIN ÖĞRETİMİ
• Doğal sayı kavramıyla ilgili öğrenme-öğretme
etkinlikleri bir basamaklı sayılarla başlar.
• Bir basamaklı doğal sayılarla ilgili öğrenmeöğretme etkinliklerine "1" sayısıyla başlanılmalı;
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 sayılarıyla devam edilmeli;
• "0" sayısı, 9'dan sonraya bırakılmalıdır.
• Bu sayıların her biri ayrı bir dersin konusu
yapılmalıdır.
Doğal Sayıların Kuruluşları
• Doğal sayıların kuruluşunda iki temel yol
vardır:
• 1) denk küme kavramından yararlanılır.
Örneğin:
Burda
Burada kaç papağan var?
Burada kaç horoz var?
Burada kaç geyik var?....
Ortak özellikleri nedir?
• Bu kümelerin çoklukların adı 1 ‘dir.
• Böyle kümelerin hepsinin 1 olma özeliği
vardır.
Ortak özellikleri nedir?
Burada kaç papağan var?
Burada kaç horoz var?
Burada kaç kelebek var?
Ortak özellikleri nedir?
• Bu kümelerin çokluklarının adı 2‘dir.
• Böyle kümelerin hepsinin 2 olma özeliği
vardır.
• Benzer çalışmalar diğer sayılar için de
yapılabilir. Ve buradan;
• Bir doğal sayı, birebir eşlenebilen
kümelerin ortak özelliğidir sonucuna
varılır.
• Boş kümelerin ortak özelliği olarak “0”
(sıfır) da elde edilince doğal sayıların
kümesi kurulmuş olur.
• 2) Peano aksiyomudur.
• A) sıfır “0” bir doğal sayıdır.
• B) her doğal sayıya onun ardışığı adı verilen bir
doğal sayı karşılık gelir.
• C) sıfır hiçbir doğal sayının ardışığı olamaz.
• D) farklı doğal sayıların ardışığı da farklıdır.
• E) D, N’nin bir alt kümesi olsun. Eğer sıfır D’nin
bir elemanı ise bir sayının D de bulunması
ardışığının da D d bulunmasını gerektiriyorsa
D=N’dir.
Sayıların öğretimi
• Birinci sınıfta rakamları okuma ve yazma
20’ye kadar sayılarla işlem yapma ve
100’e kadar sayma yapabilme
hedeflenmiştir.
• 1’den 9’a kadar olan sayıların öğretimi üç
basamakta gerçekleşir.
• Öğrenilen her sayı ile ilgili küme şeması
duvara asılarak bir dizi meydana getirilir.
Birinci basamak
• Sayı ile ilgili küme şemasının tahtaya
asılması
• Sayının rakamla ve yazıyla tahtaya
yazılması ve rakamın tanıtılması
• Başka küme şemalarının gösterilmesi ve
öğrencilerin bu kümelerden aynı özelliği
gösterenleri bulmaları ve nedenini
açıklamaları şeklinde sürdürülebilir.
• Yandaki dairenin
içinde kaç tane kalp
var? Yazıyla ve
rakamla altına yazın.
• Yandaki dairenin içine
altında yazan sayı
kadar top resmi çizip
boyayın.
sayıyı kendinden sonra gelen sayı
ile ilişkilendirme
• 1sayısı için yapılan çalışmalar 2 içinde
benzer şekilde tekrarlanır.
Sayıyı kendinden önceki ve sonraki
sayı ile ilişkilendirme
• Bu süreçte öğrencilere rakamların doğru
yazılışları gösterilmelidir.
İkinci basamak: Sayının
kavratılması
• Bu basamakta öğretimi yapılan sayının
parçalara ayrılışı üzerinde çalışılır.
Öncelikle öğrenilen sayının ardışığı olduğu
sayı ile ilişkisi üzerinde durulur.
Örneğin 4 sayısını öğretiyoruz.
• 3’e 1 katarak 4 sayısı elde edilir.
• 3 ile 4’dün ilişki üzerinde durulur.
4’un kombinasyonları şekilde görüldüğü
gibidir.
1,3
2,2
3,1
Üçüncü basamak
(sayının kullanımı)
• Sayının iki türlü kullanımı vardır. Bu sayı
miktar ve/veya sıra göstermede kullanılır.
• Bunlara kardinal ve ordinal kullanımı da
denir.
• Bu aşamadaki çalışmalar, sayıyı hangi
durumlarda miktar anlatmak için, hangi
durumlarda sıra anlatmak için
kullandığımızla ilgilidir.
Sıfırın öğretimi
• Sıfırın öğretimine 9 sayısının öğretiminden
sonra yer verilir.
• Öğretmenin sıfırın özelliğini sezdirici
cümlere yer vermesi sıfırın kavranması
için yeterlidir.
Basamak Kavramı
• Basamak kavramının esası gruplamaya dayanır.
• Kullanmakta olduğumuz sistem 10’ar 10’ar gruplamayı
esas aldığı için onluk sistem adını alır.
• Sayının bulunduğu basamaktaki değerine basamak
değeri, bulunduğu basamak göz önünde alınmadan
taşıdığı değere sayı değeri denir.
• Basamak kavramının öğrenilmesi doğal sayılarla yapılan
işlemlerin öğretiminin de ön şartıdır.
• Çünkü sayılarla yapılan tüm işlemler basamak
kavramına dayanır.
Etkinlik: Gruplayarak sayma
•
•
•
•
İşlemler:
Her gruba bir miktar
makarna verilerek bunların
önce birer birer saymaları
Sonra onar sayılarak
gruplara ayrılması. Bu iki
sayma biçiminin
karşılaştırılması
NOT: öğrenciler yuvarlak
içine almaları yani onarlı
gruplar yapmanın saymayı
kolaylaştırdığını sezmelidir.
• Gruplandırılmış sayma sonucunda 2 onluk
grup ve 4 tane birlik grup olduğu
vurgulanır.
Benzer çalışmalara farklı nesne grupları ile
devam edilir.
•
•
•
Miktar yazarken neden onluklar öne
yazılmalıdır? Grup ile beraber karar
veriniz.
(42 yerine 24 yazarsak ne olur? )
Aynı makarnaları beşerli, altışarlı
gruplayarak yeni bir sayma şekli elde
ediniz.
• Etkinlik: Eşleme
• İşlemler:
• Her masaya bir avuç makarna ve
mercimek dökülmesi
• Grup üyelerinin bunların miktarını tahmin
etmesi
• Makarna ve mercimek bire bir eşleyerek
hangisinin çok olduğunu bulmaları
• Sonra gerçek miktarını yazmaları
• Sonuç: Bire bir eşlemenin azlık, çokluk hakkında
kesin bir fikir verdiğinin anlaşılması.
• Bu çalışmalarda sayma blokları yada
onluk bloklar adı verilen materyaller ve
basamak tablosu kullanılabilir.
• Bu materyallerle verilen sayı
gerçekleştirlmeye çalışılır. Bu materyaller
ile oluşturulan sayılar elde deilmeye
çalışılır.
• Aşağıdaki örneklerde görüldüğü gibi
21 sayısını onluk bloklar kullanarak
gösteriniz
125 sayısını sayma tablosunda gösteriniz.
• Benzer şekilde onluk bloklarla ve
basamak tablosunda verilen sayıları elde
etme çalışmalrı yapılabilir.
Aşağıda onluk bloklarla verilen
sayıyı yazınız.
Örnek: Aşağıda basamak
tablosunda verilen sayıyı yazıınız.
Çok basamaklı sayıların öğretimi
• Üç basamaklı sayıların öğretimi üçüncü sınıfın
konusudur.
• Üç basamaklı sayıların öğretimi iki basamaklı
sayıların öğretimi gibidir.
• Önce 100’ü aşkın saymalar birer birer, onar onar
yapılır. Sonra örneğin 324 fasulyenin 100, 200,
300, 310, 320,321, 322, 323, 324 şeklinde
saymanın daha kolay olduğu öğrencilerle birlikte
kararlaştırılır.
• Basamak kavramının kazandırılmasında
önemli bir etkinlikte bir sayının
çözümlenmesi ve gruplanmasıdır.
• 43= 10+10+10+10+1+1+1=
• 4 onluk+ 3 birlik
• 207= 100+100+1+1+1+1+1+1+1=
• 2 yüzlük+7 birlik
• Öğrenciler böylece sayıyı çözümleme
gruplama daha sonra da çözümlenmiş
veya gruplanmış sayının kendisini
yazabilirler.